第1章 6.2 探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 【基础落实】 知识点 1.（－φ，0）　向左　向右　｜φ｜ 3.（1）　向左　向右　（2）φ　ωx＋φ 自我诊断 1.（1）√　 （2）√　（3）√　（4）× 2.C　y＝cos xy＝cos（x＋）. 3.2π　－　解析：由题意得周期T＝＝2π，φ＝－. 【典例研析】 【例1】　解：（1）列表： x x－ 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点，，，，. （3）连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示. （4）这样就得到了函数y＝sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度，得函数y＝sin的图象. 此函数周期为4π，频率为，初相为－. 跟踪训练 　解：下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象. 令X＝x＋，则x＝2X－. 先列表，后描点并画图. X 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 【例2】　解：函数y＝sin的图象，可以看作是把函数y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 跟踪训练 　C　因为y＝sin＝sin，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin＝sin（2x＋）的图象. 【例3】　解：（1）因为x＝是函数y＝f（x）的图象的对称轴，所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.因此y＝sin. （2）由（1）知y＝sin. 由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数y＝sin的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 跟踪训练 　解：（1）由题意得T＝5π，所以T＝10π， 所以ω＝＝，则y＝sin. 因为点（π，1）在此函数图象上， 则sin＝1， 又因为0≤φ≤，有φ＝－＝， 所以y＝sin. （2）当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，函数y＝sin单调递增. 所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]（k∈Z）. 随堂检测 1.D　函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后，所得的图象的函数解析式是y＝sin 2＝sin.故选D. 2.A　当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C.故选A. 3.B　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象.由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即平移后图象的对称轴为x＝＋（k∈Z）. 4.C　由题意，得sin（－φ）＝±1，即sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C. 5.10π　　解析：由函数y＝sin的解析式知，最小正周期为T＝＝10π，初相为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 课标要求 1.结合实例，了解φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin（x＋φ）图象间的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握函数y＝sin（x＋φ）的有关性质及应用（数学运算、逻辑推理）. 　　上一节课我们研究了ω对函数y＝sin ωx（ω＞0）图象和性质的影响. 【问题】　你知道参数φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象和性质有什么影响吗？请借助函数y＝sin x，y＝sin和y＝sin的图象加以说明？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 1.φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 函数y＝sin（x＋φ）与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点（0，0）平移到了点　　　　. 函数y＝sin（x＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝sin x图象上的所有点　　　　（φ＞0）或　　　　（φ＜0）平移　　　个单位长度得到的. 2.函数y＝sin（x＋φ）的性质 （1）周期T＝2π； （2）研究y＝sin（x＋φ）的单调性、最值和对称性时，令u＝x＋φ，然后按y＝sin u的性质来求解，这是“整体代换”思想的运用. 3.φ对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响 （1）函数y＝sin（ωx＋φ）与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点（0，0）平移到点　　　　.函数y＝sin（ωx＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝sin ωx图象上的所有点 　　　　（φ＞0）或　　　　（φ＜0）平移个单位长度得到的； （2）在函数y＝sin（ωx＋φ）中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称　　　为初相，　　　为相位. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象.（　　） （2）函数y＝sin的初相为，相位为x＋.（　　） （3）函数y＝sin的图象是由y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的.（　　） （4）要得到y＝sin的图象，只须把y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到.（　　） 2.为了得到函数y＝cos的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　） A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 3.函数y＝sin的周期和初相分别是T＝　　　　和φ＝　　　　. 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝sin的简图，并指出这个函数的周期、频率和初相. 尝试解答 通性通法 　　“五点法”作图的关键是列表，一般有下面两种列表方法： （1）分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想； （2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标. 【跟踪训练】 已知函数y＝sin.利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图. 题型二｜图象平移变换 【例2】　函数y＝sin的图象，可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 尝试解答 通性通法 　　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度. 【跟踪训练】 　要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 题型三｜函数y＝sin（ωx＋φ）的性质与图象的应用 【例3】　设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x＝. （1）求此函数的解析式； （2）求函数y＝f（x）的单调递增区间. 尝试解答 通性通法 函数y＝sin（ωx＋φ）单调性问题的解题策略 　　求y＝sin（ωx＋φ）的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围. 【跟踪训练】 函数y＝sin（ωx＋φ）在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时最大值为1，当x＝6π时，最小值为－1. （1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调递增区间. 1.函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式是（　　） A.y＝sin　　 B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 2.函数y＝sin在区间上的简图是（　　） 3.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　） A.x＝－（k∈Z） B.x＝＋（k∈Z） C.x＝－（k∈Z） D.x＝＋（k∈Z） 4.若函数y＝sin（x－φ）（0≤φ≤π）是定义在R上的偶函数，则φ的值是（　　） A.0 B. C. D.π 5.已知函数y＝sin，则该函数的最小正周期、初相分别是　　　　，　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§6　6.2 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $