第1章 6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 课标要求 理解y＝sin ωx中ω对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系（数学抽象、直观想象）. 　　前面我们学习了“五点法”作正、余弦函数的图象，请用“五点法”在同一平面直角坐标系下画出y＝sin x，y＝sin x，y＝sin 2x的图象. 【问题】　你能说出它们之间的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响 1.对于ω＞0，有sin ωx＝sin（ωx＋2π）＝sin ω. 根据周期函数的定义，T＝　　是函数y＝sin ωx的最小正周期. 通常称周期的倒数＝为　频率　. 2.函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标　缩短　到原来的（当ω＞1时）或　伸长　（当0＜ω＜1时）到原来的　　倍（纵坐标不变）得到的. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin x.（　√　） （2）ω的大小与函数的周期有关.（　√　） 2.要得到y＝sin 2x的图象，只需把y＝sinx的图象上的所有点（　　） A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：B　ω从变为2，三角函数周期变为原来的，故y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝sin 2x的图象，故选B. 3.函数y＝sin 3x的最小正周期为. 解析：由正弦函数的周期公式得T＝，所以函数y＝sin 3x的最小正周期为. 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝sin 2x的简图，并指出这个函数的周期，频率. 解：（1）列表： x 0 π 2x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，，，（π，0）. （3）连线：将所得五点用光滑曲线连起来，如图. （4）这样就得到函数y＝sin 2x在一个周期内的图象.周期T＝π.频率＝. 通性通法 “五点法”作函数图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凹凸方向； （2）五个关键点的确定：使函数中ωx取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象. 【跟踪训练】 用“五点法”作函数y＝sin x的简图，并指出这个函数的周期和频率. 解：（1）列表： x 0 3 6 x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，（3，0），，（6，0）； （3）连线：用平滑曲线顺次连接，所得图象如图所示. 周期T＝6，频率＝. 题型二｜图象周期变换 【例2】　（1）函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为（　B　） A.2　　　　B. C.4　　　　D. 解析：由题意知＝2，即ω＝. （2）将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到的函数解析式为y＝sin 4x. 解析：设所得到的函数解析式为y＝sin ωx（ω＞0），则＝，即ω＝4，故所求函数解析式为y＝sin 4x. 通性通法 　　参数ω对y＝sin ωx图象与性质的影响 （1）ω（ω＞0）影响函数y＝sin ωx的周期； （2）y＝sin ωx（ω≠1）与y＝sin x的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换.即y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象. 【跟踪训练】 1.把y＝sin x图象的周期变为原来的倍得到的函数的解析式是y＝sin x. 解析：由题意得所求为y＝sin＝sin x. 2.将函数y＝cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）而得到的函数解析式为y＝cos x. 解析：由题意得所求为y＝cos＝cos x. 题型三｜函数y＝sin ωx（ω＞0）的性质 角度1　函数y＝sin ωx的周期性、奇偶性和对称性 【例3】　（1）函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为x＝π＋（k∈Z），对称中心为（k∈Z），奇偶性为奇函数； 解析：由2x＝＋kπ（k∈Z）得x＝＋π（k∈Z），∴函数y＝sin 2x的对称轴方程为x＝＋π（k∈Z）.由2x＝kπ（k∈Z），得x＝π，∴函数y＝sin 2x的对称中心为（k∈Z）.∵sin（－2x）＝－sin 2x，∴函数y＝sin 2x为奇函数. （2）求下列函数的周期： ①y＝sin x；②y＝cos x. 解：①函数y＝sin x的周期T＝＝16π. ②函数y＝cos x的周期T＝＝6. 角度2　函数y＝sin ωx的单调性、最值 【例4】　（1）求函数y＝sin x的单调区间； 解：由2kπ－≤x≤2kπ＋， 得4kπ－π≤x≤4kπ＋π（k∈Z）， 由2kπ＋≤x≤2kπ＋， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π（k∈Z）， 故y＝sin 的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]（k∈Z）， 单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]（k∈Z）. （2）求函数y＝sin x取得最大值时对应的x的集合. 解：当x＝2kπ＋，即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymax＝1， 故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}. 通性通法 关于函数y＝sin ωx的性质 （1）周期T＝； （2）解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合该函数的性质求解； （3）奇偶性，利用定义f（－x）＝sin（－ωx）＝－sin ωx＝－f（x），则f（x）为奇函数. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝sin x. （1）求f（x）的周期，频率； 解：T＝＝4.＝. （2）求f（x）的单调递增区间； 解：令2kπ－≤x≤2kπ＋，得4k－1≤x≤4k＋1，∴单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. （3）求f（x）的对称轴. 解：令x＝kπ＋，得x＝2k＋1， ∴对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 1.为了得到函数y＝sinx的图象，需将函数y＝sin x的图象（　　） A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C.横坐标变为原来的，纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的，横坐标不变 解析：B　将函数y＝sin x的图象横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝sinx的图象，故选B. 2.函数y＝sin 6x是（　　） A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 解析：C　f（x）＝sin 6x，f（－x）＝sin（－6x）＝－sin 6x，故f（x）为奇函数，最小正周期T＝＝，故选C. 3.利用“五点法”作函数y＝sin 3x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标分别为0，，，，. 4.函数y＝sin 3x＋1的值域为[0，2]，单调递增区间为，k∈Z. 解析：∵－1≤sin 3x≤1，∴0≤sin 3x＋1≤2，即函数y＝sin 3x＋1的值域为[0，2]，由－＋2kπ≤3x≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，∴函数y＝sin 3x＋1的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 1.函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是（　　） 解析：A　由函数y＝sin x的图象过原点，排除C、D，又当x＝－π时，y＝－1＜0，故选A. 2.函数f（x）＝sin x的图象可以看成是由g（x）＝sin 3x的图象按下列哪种变换得到（　　） A.纵坐标不变，横坐标伸长原来的3倍 B.纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 C.横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D.横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 解析：A　函数g（x）＝sin 3x的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，可得到f（x）＝sin x的图象. 3.函数y＝sin的频率是（　　） A.6　　　B.　　　C.－6　　　D.－ 解析：B　由题意得T＝＝6，∴频率为＝，故选B. 4.若函数y＝sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－，）上只有一条对称轴，则ω的取值范围为（　　） A.1＜ω≤ B.＜ω≤3 C.3≤ω＜4 D.≤ω＜ 解析：B　因为函数y＝sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－，）上只有一条对称轴，所以函数的对称轴只能是ωx＝－，因此有解得＜ω≤3，故选B. 5.函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝（　　） A.4 B.2 C.1 D. 解析：A　因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，又T＝，所以ω＝＝＝4，故选A. 6.〔多选〕函数f（x）＝sin（2x－）（x∈R）的图象的一条对称轴可以是（　　） A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝－ 解析：CD　令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故C选项正确；当k＝－1时，x＝－，故D选项正确.故选C、D. 7.若x∈，则函数y＝3sin 2x的最大值为3，此时x的值为. 解析：当sin 2x＝1时，ymax＝3，由sin 2x＝1，x∈知2x＝，x＝. 8.设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝－9. 解析：因为f（a）＝a3cos a＋1＝11，所以a3cos a＝10，所以f（－a）＝－a3cos（－a）＋1＝－a3cos a＋1＝－9. 9.已知f（n）＝sin（n∈Z），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝. 解析：f（1）＋f（2）＋…＋f（8）＝0，f（9）＋f（10）＋…＋f（16）＝0，依此循环，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝0＋f（2 025）＝f（1）＝ 10.求函数y＝sin x的周期，怎样由y＝sin x的图象得到y＝sin x的图象？ 解：周期T＝＝，把y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变就得到y＝sin x的图象. 11.〔多选〕函数f（x）＝cos，下列说法正确的是（　　） A.y＝f（x）是奇函数 B.y＝f（x）的周期为π C.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称 D.y＝f（x）的最大值为1 解析：ABD　由f（x）＝cos＝－sin 2x，由函数性质知A、B、D正确. 12.〔多选〕将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的单调递增区间为（　　） A.（－，） B.（－，） C.（－，） D.（，） 解析：AD　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝sin 2x的图象.令2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），则函数y＝sin 2x的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0，1时，函数y＝sin 2x在区间（－，），（，）上单调递增. 13.已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），满足f＝f，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω＝4. 解析：由题意及正弦函数的图象及性质，可得函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，即T＝＝，可得ω＝4. 14.已知函数f（x）＝sin 2x. （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间上的最值. 解：（1）令2kπ－≤2x≤2kπ＋， ∴kπ－≤x≤kπ＋. 故单调递增区间为，k∈Z. （2）令μ＝2x，∵x∈， ∴－≤μ≤π，∴－≤sin μ≤1， ∴f（x）max＝1，f（x）min＝－. 15.若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A.0≤ω≤ B.0≤ω≤ C.≤ω≤3 D.≤ω≤3 解析：D　法一　∵f（x）＝sin ωx（x＞0）在［，］上单调递减，∴解得＋6k≤ω≤3＋4k，k∈Z，∵＋6k≤3＋4k，即k≤，又ω＞0，∴取k＝0，则≤ω≤3. 法二　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋（k∈Z）.∵函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，可令解得≤ω≤4k＋3，k∈Z，∵≤4k＋3，得k≤，又ω＞0， ∴取k＝0，∴≤且≥，∴≤ω≤3. 16.已知函数f（x）＝2sin（2x＋）＋1. （1）当x＝时，求f（x）的值； （2）若存在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b），使得y＝f（x）在区间[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的区间[a，b]中，求b－a的最小值. 解：（1）当x＝时，f（x）＝2sin（2×＋）＋1＝2sin 3π＋1＝2sin π＋1＝1. （2）f（x）＝0⇒sin（2x＋）＝－⇒x＝kπ－，k∈Z或x＝kπ－π，k∈Z， 即函数f（x）的零点间隔依次为和. 故若y＝f（x）在[a，b]上至少含有6个零点， 则b－a的最小值为2×＋3×＝. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $