第1章 6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 课标要求 理解y＝sin ωx中ω对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系（数学抽象、直观想象）. 　　前面我们学习了“五点法”作正、余弦函数的图象，请用“五点法”在同一平面直角坐标系下画出y＝sin x，y＝sin x，y＝sin 2x的图象. 【问题】　你能说出它们之间的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响 1.对于ω＞0，有sin ωx＝sin（ωx＋2π）＝sin ω. 根据周期函数的定义，T＝　　　　是函数y＝sin ωx的最小正周期. 通常称周期的倒数＝为　　　　. 2.函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标　　　　　　到原来的 （当ω＞1时）或　　　　（当0＜ω＜1时）到原来的　　　　倍（纵坐标不变）得到的. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin x.（　　） （2）ω的大小与函数的周期有关.（　　） 2.要得到y＝sin 2x的图象，只需把y＝sinx的图象上的所有点（　　） A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3.函数y＝sin 3x的最小正周期为　　　　. 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝sin 2x的简图，并指出这个函数的周期，频率. 尝试解答 通性通法 “五点法”作函数图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凹凸方向； （2）五个关键点的确定：使函数中ωx取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象. 【跟踪训练】 用“五点法”作函数y＝sin x的简图，并指出这个函数的周期和频率. 题型二｜图象周期变换 【例2】　（1）函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为（　　） A.2　　　　　　　　B. C.4 D. （2）将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到的函数解析式为　　　　. 尝试解答 通性通法 　　参数ω对y＝sin ωx图象与性质的影响 （1）ω（ω＞0）影响函数y＝sin ωx的周期； （2）y＝sin ωx（ω≠1）与y＝sin x的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换.即y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象. 【跟踪训练】 1.把y＝sin x图象的周期变为原来的倍得到的函数的解析式是　　　　. 2.将函数y＝cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）而得到的函数解析式为　　　　. 题型三｜函数y＝sin ωx（ω＞0）的性质 角度1　函数y＝sin ωx的周期性、奇偶性和对称性 【例3】　（1）函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为　　　　，对称中心为　　　　，奇偶性为　　　　； （2）求下列函数的周期： ①y＝sin x；②y＝cos x. 尝试解答 角度2　函数y＝sin ωx的单调性、最值 【例4】　（1）求函数y＝sin x的单调区间； （2）求函数y＝sin x取得最大值时对应的x的集合. 尝试解答 通性通法 关于函数y＝sin ωx的性质 （1）周期T＝； （2）解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合该函数的性质求解； （3）奇偶性，利用定义f（－x）＝sin（－ωx）＝－sin ωx＝－f（x），则f（x）为奇函数. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝sin x. （1）求f（x）的周期，频率； （2）求f（x）的单调递增区间； （3）求f（x）的对称轴. 1.为了得到函数y＝sinx的图象，需将函数y＝sin x的图象（　　） A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C.横坐标变为原来的，纵坐标不变 D.纵坐标变为原来的，横坐标不变 2.函数y＝sin 6x是（　　） A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 3.利用“五点法”作函数y＝sin 3x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标分别为　　　　. 4.函数y＝sin 3x＋1的值域为　　　　，单调递增区间为　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§6　6.1 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ §6　函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质与图象 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 【基础落实】 知识点 1.　频率　2.缩短　伸长　 自我诊断 1.（1）√　（2）√ 2.B　ω从变为2，三角函数周期变为原来的，故y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝sin 2x的图象，故选B. 3.　解析：由正弦函数的周期公式得T＝，所以函数y＝sin 3x的最小正周期为. 【典例研析】 【例1】　解：（1）列表： x 0 π 2x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，，，（π，0）. （3）连线：将所得五点用光滑曲线连起来，如图. （4）这样就得到函数y＝sin 2x在一个周期内的图象. 周期T＝π.频率＝. 跟踪训练 　解：（1）列表： x 0 3 6 x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，（3，0），，（6，0）； （3）连线：用平滑曲线顺次连接，所得图象如图所示. 周期T＝6，频率＝. 【例2】　（1）B　（2）y＝sin 4x 解析：（1）由题意知＝2， 即ω＝. （2）设所得到的函数解析式为y＝sin ωx（ω＞0），则＝，即ω＝4，故所求函数解析式为y＝sin 4x. 跟踪训练 1.y＝sin x　解析：由题意得所求为y＝sin＝sin x. 2.y＝cos x　解析：由题意得所求为y＝cos＝cos x. 【例3】　（1）x＝π＋（k∈Z）　（k∈Z）　奇函数 解析：由2x＝＋kπ（k∈Z）得x＝＋π（k∈Z），∴函数y＝sin 2x的对称轴方程为x＝＋π（k∈Z）.由2x＝kπ（k∈Z），得x＝π，∴函数y＝sin 2x的对称中心为（k∈Z）.∵sin（－2x）＝－sin 2x，∴函数y＝sin 2x为奇函数. （2）解：①函数y＝sin x的周期T＝＝16π. ②函数y＝cos x的周期T＝＝6. 【例4】　解：（1）由2kπ－≤x≤2kπ＋， 得4kπ－π≤x≤4kπ＋π（k∈Z）， 由2kπ＋≤x≤2kπ＋， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π（k∈Z）， 故y＝sin 的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]（k∈Z），单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]（k∈Z）. （2）当x＝2kπ＋，即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymax＝1， 故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}. 跟踪训练 　解：（1）T＝＝4.＝. （2）令2kπ－≤x≤2kπ＋，得4k－1≤x≤4k＋1， ∴单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. （3）令x＝kπ＋，得x＝2k＋1， ∴对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 随堂检测 1.B　将函数y＝sin x的图象横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝sinx的图象，故选B. 2.C　f（x）＝sin 6x，f（－x）＝sin（－6x）＝－sin 6x，故f（x）为奇函数，最小正周期T＝＝，故选C. 3.0，，，， 4.[0，2]　［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z 解析：∵－1≤sin 3x≤1，∴0≤sin 3x＋1≤2，即函数y＝sin 3x＋1的值域为[0，2]，由－＋2kπ≤3x≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，∴函数y＝sin 3x＋1的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $