第6章 6 培优课 与球相关的“切”与“接”-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“与球相关的‘切’与‘接’”，系统讲解棱柱、棱锥、圆柱等几何体的外接球与内切球问题，通过案例解析从正方体、长方体等基础模型过渡到复杂几何体，搭建从具体到抽象的知识支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以“通性通法”总结解题规律，如补形转化、轴截面分析等，培养学生的空间观念与推理能力。通过典例研析与跟踪训练结合，引导学生用数学语言表达几何关系，既提升学生解题能力，也为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

培优课　与球相关的“切”与“接” 1 典例研析 01 目录 课时作业 02 2 01 PART 典例研析 目 录 角度1　棱柱的外接球 【例1】　体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （　　） A. 12π B. π C. 8π D. 4π 解析：设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为2 ，所以正方体外接球的半径为 ，所以球的表面积为4π·（ ）2＝12π，故选A. 题型一｜常见几何体的外接球 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　求长方体（正方体）的外接球的基本思路 如图所示，长方体的体对角线为长方体外接球的直径.设长方体的 长、宽、高分别为x，y，z，外接球的半径为R，则（2R）2＝x2＋y2＋z2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【例2】　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面 上，则该球的表面积为（　　） A. πa2 B. πa2 解析：　如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中 心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交 BC于D点，连接AO2.∵AD＝ a，AO＝ AD＝ a， OO2＝ ，∴A ＝ a2＋ a2＝ a2，故该球的表面积S球 ＝4π× a2＝ πa2. C. πa2 D. 5πa2 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求直棱柱的外接球的基本思路 如图所示，可以将直棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球 即其外接圆柱的外接球.设外接圆柱OO1的底面半径为r，直棱柱的高为 h，外接球的半径为R，则（2r）2＋h2＝（2R）2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　棱锥（台）的外接球 【例3】　已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的 直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S -ABC的体 积为9，则球O的表面积为 ⁠. 36π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：如图，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴点 O为SC的中点，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC， BO⊥SC，∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB ＝SC，∴AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB ＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝ ×S△SBC×AO＝ × ×AO，即9＝ × ×R，解得 R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 求棱锥（台）的外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位 置的依据有两个，一是根据球心到球面上各点的距离都等于半径，二是根 据球心与截面圆心的连线垂直于截面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 补形转化求三类特殊三棱锥外接球 （1）两个侧面垂直于底面的三棱锥A1-ABC. 一般将其补形为直三棱柱， 如图①； （2）一个侧面垂直于底面的三棱锥P-ABC可转化为与其同外接球的三棱 锥S-ABC求解，如图②； （3）对棱相等的三棱锥A-BCD，可补形为长方体，再求外接球，如图③. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度3　圆柱、圆锥、圆台的外接球 【例4】　如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最 大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为（　　） A. 64π B. 48π C. 32π D. 16π √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，N为圆柱底面圆的圆心，M为球面上一 点，设圆柱底面半径为r，球的半径R与圆柱底面夹角为 ∠OMN＝α，则MN＝r＝R· cos α＝4 cos α，ON＝R· sin α＝4 sin α，∴圆柱的高h＝8 sin α，∴圆柱的侧面积S＝ 2π·r·h＝32π· sin 2α，结合正弦函数的性质知，当且仅当 sin 2α＝1，即α＝ 时，圆柱的侧面积最大，为32π.此时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为4πR2－2πrh＝64π－32π＝32π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求圆柱、圆锥、圆台的外接球的一般思路 （1）确定几何体的顶点、底面与球面公共点及交线，抽象得出该几何体 的外接球的位置，找到球心； （2）一般过球心作截面，将球的半径、几何体的高、母线、底面半径转 到平面几何中的直角三角形、相似三角形中求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知高为4的圆锥外接球的体积为36π，则圆锥的体积为（　　） A. B. C. D. 32π 解析：设圆锥外接球的球心为O，半径为R，圆锥的底面圆的半径为r.由题意得 R3＝36π，∴R＝3，∴球心O到圆锥底面的距离d＝4－3＝1，∴r2＝R2－d2＝8，∴该圆锥的体积为 πr2h＝ π×8×4＝ ，故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4 ，其顶点都 在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 解析：设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O. 令｜OO1｜＝t，则｜OO2｜＝｜t－1｜.由题意及正弦定理，得2r1＝ ＝6，2r2＝ ＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝ ＋t2＝ ＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得 所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜几何体的内切球 【例5】　若一个圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面 积为（　　） A. 4π（R＋r）2 B. 4πR2r2 C. 4πRr D. π（R＋r）2 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　法一　作圆台的轴截面，如图所示，设球的半 径为r1，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点. 易知AM＝AF，BN＝BF，又BN＝R，AM＝r，则AB ＝R＋r，即CD＝R＋r.过点D作DE⊥BC于点E，在 Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，CD＝R＋r，由勾 股定理得4 ＝（R＋r）2－（R－r）2，解得r1＝ . 故球的表面积S球面＝4π ＝4πRr. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　如图所示，设球O的半径为r2，连接OA，OB，M，N，F分别是圆O与AD，BC，AB的切点.易知AF＝AM＝r，BF＝BN＝R，∠MAO＝∠FAO，∠NBO＝∠FBO，又∠MAO＋∠FAO＋∠NBO＋∠FBO＝180°，所以∠OAF＋∠OBF＝90°，即∠AOB＝90°.在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即 ＝Rr，故r2＝ .故球的表面积S球面＝4π ＝4πRr. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　解决几何体的内切球问题，应先画出示意图（一般画出轴截面或对角 面），再根据题中的数量关系将其转化为平面问题，如转化成三角形问 题、圆的有关问题等. 求解时，需注意以下几点： （1）正方体的内切球的直径等于正方体的棱长； （2）①正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1； ②棱长为a的正四面体的高为 a，其外接球的半径为 a，内切球的半径 为 a； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等 于圆柱底面圆的直径； （4）若球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝4，AC＝2 ，PB＝BC＝2 ，PA⊥ 平面PBC，求三棱锥P-ABC的内切球的表面积. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由PA⊥平面PBC，且PA＝4，PB＝2 ，AC＝2 ， 得AB＝ 2 ，PC＝2 ，所以△PBC为等边三角形，△ABC为等腰三角形.V三棱 锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝ S△PBC×PA＝ × ×（2 ）2×4＝4 .易知三 棱锥P-ABC的表面积S＝ ×2 ×4×2＋ ×（2 ）2＋ ×2 ×5 ＝16 .设内切球半径为r，则V三棱锥P-ABC＝ ×S×r，即4 ＝ ×16 ×r，解得r＝ .所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π× （ ）2＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1. 若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为 （　　） A. 8 B. 8 C. 8 D. 4 解析：　∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的 对角线，即正方体的对角线长为2，不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝ 4，即a2＝ ，∴正方体的表面积为6a2＝6× ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知底面半径为 的圆锥的侧面积为6π，则该圆锥的外接球的体积为 （　　） A. B. 4 π 解析：如图所示，设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，外接球的半径为R. 则πrl＝ πl＝6π，解得l＝2 ，∴h＝ ＝3，又R2＝（h－R）2＋r2，即R2＝（3－R）2＋3，解得R＝2.∴该圆锥的外接球的体积V＝ πR3＝ . √ C. 12π D. 16π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面 上，则该圆柱的体积为（　　） A. π B. 解析：　绘制圆柱的轴截面，如图，则A为球的球心，AC为 半径.由题意可得AC＝1，AB＝ ，结合勾股定理，可知底面 半径r＝ ＝ .由圆柱的体积公式，可得圆柱的 体积V＝πr2h＝π×（ ）2×1＝ π.故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 三棱锥B-ACD的顶点都在同一球面上，其中BA，BC，BD两两垂直， 且BA＝3，BC＝4，BD＝5，则该球的表面积为（　　） A. 100π B. 64π 解析：　在三棱锥B-ACD中，由BA，BC，BD两两垂 直，可将该三棱锥补成长方体BCED-AFGH，如图，则长 方体的外接球即为所求三棱锥的外接球.连接BG，则长方 体BCED-AFGH的体对角线长为BG＝ ＝5 ，所以三棱锥B-ACD的外接球的半径R＝ ＝ ，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝50π.故选C. C. 50π D. 36π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC， AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　） A. 4π B. 解析：　∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.当球与直三棱柱的 三个侧面相切时，有 （6＋8＋10）×R＝ ×6×8，此时R＝2；当球与 直三棱柱两底面相切时，有2R＝3，此时R＝ .∴在封闭的直三棱柱中， 球的最大半径只能为 ，故最大体积V＝ ×π× ＝ . C. 6π D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A. 3π B. 4π 解析：　设球的半径为R，则有 πR3＝ π，解得R＝2.设两个圆锥的高 分别为h，3h，由题意可知h＋3h＝2R＝4，解得h＝1，即两个圆锥的高 分别为1，3，则球心到圆锥的底面的距离d＝R－h＝1.设这两个圆锥的底 面半径为r，根据球的截面性质得R2＝d2＋r2，即4＝1＋r2，解得r＝ ，故两个圆锥的体积之和为 πr2（h＋3h）＝ π×3×4＝4π，故选B. C. 9π D. 12π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB＝ 2 ，AD＝2，它的最大体积为 ，则球O的表面积为（　　） A. 10π B. 15π C. 20π D. 25π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，矩形ABCD的对角线的交点为 O1，当点P在O1O的延长线上，并在球面上时，四棱锥 P-ABCD的体积最大，则有 ×2 ×2×PO1＝ ，所以PO1＝4，连接OA，设球O的半径为R， 则PO＝OA＝R，OO1＝4－R，O1A＝ ＝2，在Rt△AO1O中，O ＋O1A2＝OA2，即（4－R）2＋22＝R2，所以R＝ .则S球＝4πR2＝4π× ＝25π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 如图，有一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合 上盒盖，可放入的小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒 盖，可放入的正方体的最大棱长为a，则 ＝（　　） A. B. C. 2－ D. （ －1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　根据题意，设储物盒所在球的半径为 R，如图①，由可放入的小球的最大半径为r， 得（ ＋1）r＝R，即r＝ ＝（ －1）R. 若可放入的正方体的最大棱长为a，如图②，则有（ a）2＋（ ）2＝ R2，得a＝ R，则 ＝ ＝ （ －1）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 〔多选〕如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，上面刻着一个圆 柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个 图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，下列 关于圆柱的体积与球的体积之比以及圆柱的表面积与球的表面积之比的说 法正确的是（　　） A. 体积之比为 B. 体积之比为 C. 表面积之比为 D. 表面积之比为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由圆柱和球的体积、表面积公式计算可得V柱＝2πR3，V球＝ πR3，所以V柱∶V球＝3∶2；S柱＝4πR2＋2πR2＝6πR2，S球＝4πR2，所以S柱∶S球＝3∶2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 〔多选〕正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正 四棱锥P-ABCD的体积为（　　） A. B. C. 2 D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3，所以底面边长为 ，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝ .连接AC，BD交于点O（图略）.①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋ ＝ ＋ ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ ；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－ ＝ － ＝ ，所以正四棱锥P-ABCD的体积为 ×3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M， N，若线段MN的最小值为2 ，则（　　） A. 正四面体的外接球的表面积为96π B. 正四面体的内切球的体积为8 π C. 正四面体的棱长为12 D. 线段MN的最大值为3 √ √ 解析：　设这个四面体的棱长为a，四面体可看作由棱长为 a的正方 体截得的，故四面体的外接球即正方体的外接球，外接球直径为正方体体 对角线长，设R外，r内分别为正四面体的外接球、内切球半径，2R外＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 a× ＝ a，∴R外＝ a.四面体的高h＝ a，设正四面体底面面积为 S，根据等体积法得 S·h＝4× S·r内，解得r内＝ a，依题意得R外－r内 ＝ a－ a＝2 ，∴a＝12，故C正确；正四面体的外接球的半径为 ×12＝3 ，则正四面体外接球的表面积为4π×54＝216π，故A错误；正四面体的内切球的半径为 ×12＝ ，则内切球的体积V＝ π×6 ＝8 π，故B正确；线段MN的最大值为R外＋r内＝3 ＋ ＝4 ，故 D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且圆锥内切球的半径为1，则圆 锥的表面积为 . 解析：因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边 三角形，设其边长为a，则 · a＝1，a＝2 ，所以圆锥的底面圆半径 为 ，从而圆锥的表面积S＝πrl＋πr2＝π· ·2 ＋π·（ ）2＝9π. 9π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE， EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后 的点记为G. 若四面体A-EFG外接球的表面积为 ，则正方形ABCD的边 长为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意，折叠后的四面体A-EFG如图所示，设正方形 边长为a，四面体A-EFG外接球的半径为r，则AG＝a， EG＝FG＝ ，易知在折叠后的四面体A-EFG中，GA， GE，GF两两垂直，所以四面体A-EFG的外接球半径r＝ ＝ a，由4πr2＝ ，解得r＝ ，所以a＝ r＝ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、 三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可 近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求此正 四棱锥的底面边长与内切球半径比. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：上层轮廓近似的正四棱锥如图所示，O'为底面中 心，O为内切球球心，OF⊥平面PCD且E为CD中 点，令内切球半径为r，AB＝BC＝CD＝DA＝2a，∵ 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，∴4S△PCD＝ 2SABCD，即4× ×PE×CD＝2AD×CD，故PE＝2a，则PO'＝ a，又∵ ＝ ，即 ＝ ，∴r＝ .∴正四棱锥的底面边长与内切球半径比为2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＞1，点E在棱 AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 2 . （1）求AB的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：设AB＝x，点A到点C1的最短路程有两种可 能，如图①的最短路程为AC1＝ . 如图②的最短路程为AC1＝ ＝ ， ∵x＞1，∴x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长 方体的表面爬到点C1的最短距离为 . 由题意得 ＝2 ，解得x＝2. 即AB的长度为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求该长方体外接球的表面积. 解：设长方体外接球的半径为R，则（2R）2＝12＋12＋22＝6，∴R2＝ ，∴S＝4πR2＝6π， 即该长方体外接球的表面积为6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切 球.求： （1）圆锥的侧面积； 解：如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB外接圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π， ∴R3＝729，R＝9， ∴SE＝2R＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ∵SD＝16，∴ED＝2. ∵SE是直径，∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，AD2＝SD×DE＝16×2＝32， ∴SA＝12 ，AD＝4 ， ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝96π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）圆锥内切球的体积. 解：设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r. ∵△SAB的周长为2×（12 ＋4 ）＝32 ， ∴ r×32 ＝ ×8 ×16， 解得r＝4， ∴圆锥内切球的体积V球＝ πr3＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $