第6章 5.2 第1课时 二面角及平面与平面垂直的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦二面角及平面与平面垂直的性质，通过教室实例、长方体模型等情境导入，引导学生从直观感知过渡到数学抽象，构建从线面垂直到面面垂直的知识支架，系统呈现二面角概念、面面垂直定义及性质定理。 其亮点在于以直观想象为基础，通过实物模型和图形帮助学生建立空间观念，结合数学抽象明确二面角平面角定义及面面垂直符号表示，再通过典例解析和通性通法总结（如求二面角的定义法、垂面法等）培养逻辑推理能力。分层设计的课时作业和跟踪训练，既巩固基础又拓展思维，助力学生提升空间想象与推理能力，也为教师提供系统教学资源和清晰教学路径。

第一课时 二面角及平面与平面垂直的性质 1 1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系（直观想象）. 2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义（数学抽象）. 3.归纳出平面与平面垂直的性质定理（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 1. 在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地 面垂直. 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD. 【问题】　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　二面角及相关概念 1. 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称 为 ⁠. 2. 从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角，这条直线 称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 .如图，以直线 AB（l）为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角 或 ⁠ ⁠. 半平面　 两个半平面　 棱　 面　 α-AB-β　 α- l-β　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 画法： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角，如图中的 ⁠就是 二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角称为直二面角. ∠AOB　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：理解二面角及其平面角：①二面角是一个空间图形，而二面角 的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小来刻画，体现了 由空间图形向平面图形转化的思想；②二面角的平面角的定义是两条射线 的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是 0°≤θ≤180°；③两个平面相交，可以构成四个二面角，其中相对的两 个二面角相等，相邻的两个二面角互补. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　平面与平面垂直的定义 定 义 两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作： ⁠ 画 法 画两个互相垂直的平面时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边 ⁠ 直二面角　 α⊥β　 垂直　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面 的 ，那么这条直线与另一个平面 ⁠ 符号 语言 α⊥β，α∩β＝l， ， ⇒a⊥β 图形 语言 交线　 垂直　 a⊂α　 a⊥l　 　　提醒：对面面垂直的性质定理的再理解：①定理的实质是由面面垂直 得线面垂直，故可用来证明线面垂直；②已知面面垂直时，可以利用此定 理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？ 提示：正确. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）已知两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 的无数条直线. （　√　） （2）设α-l-β为直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，且a，b与l均不垂直， 则a与b可能平行. （　√　） （3）已知两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线. （　×　） （4）已知两个平面垂直，则过一个平面内的任意一点作两平面交线的垂 线，则此垂线必垂直于另一个平面. （　×　） √ √ × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　） A. α∥γ B. α⊥γ C. α与γ相交但不垂直 D. 以上都有可能 解析：　在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底 面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是 ⁠. 解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以 m∥n. 平行 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜二面角及其平面角的概念 【例1】　下列命题中： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二 面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互 补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的 角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①② √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 二面角概念的注意点 （1）要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致； （2）要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的两个 半平面内的角的联系与区别； （3）可利用实物模型，作图帮助判断. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么 这两个二面角（　　） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 关系无法确定 解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜求二面角的大小 【例2】　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，求二 面角B-PC-D的平面角的大小. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点 O，连接EO，如图. 由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE， 从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE. ∴∠BED为二面角B-PC-D的平面角. ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， 又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 设AB＝a，则BE＝ ＝ a，BD＝ a. ∴ sin ∠BEO＝ ＝ . ∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°. ∴二面角B-PC-D的平面角的大小为120°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-D的平面角的大小. 解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的大小为90°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. （变设问）本例条件不变，求二面角B-PA-C的平面角的大小. 解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD. ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°， ∴二面角B-PA-C的平面角的大小为45°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求二面角的平面角的三种方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂 直于棱的射线； （2）垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半 平面形成交线，这两条射线（交线）的夹角，即为二面角的平面角； （3）垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用 也是最有效的一种方法. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜平面与平面垂直性质定理的应用 【例3】　如图①，矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点， AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折.若所成二面角的大小为 （如 图②），求证：直线CE⊥平面BDF. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：由题设易知BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是正方形BEFC的 对角线，所以BF⊥EC， 又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF， DF⊂平面AEFD， 所以DF⊥平面BEFC，又EC⊂平面BEFC，则DF⊥EC，又DF∩BF＝ F，则EC⊥平面BDF. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需 作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面 面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求 证：BC⊥AB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b的夹角 为（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 解析：　因为二面角α-l-β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a 与b的夹角为60°，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线 b，则（　　） A. 直线a必垂直于平面β B. 直线b必垂直于平面α C. 直线a不一定垂直于平面β D. 过a的平面与过b的平面垂直 解析：　当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂 直于另一个平面. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB ＝BC，AD＝CD，则BD与CC1（　　） A. 平行 B. 共面 C. 垂直 D. 不垂直 解析：　如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD ＝CD，∴BD⊥AC. ∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面 AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平 面AA1C1C. 又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正 三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为 ⁠. 6 解析：因为CA＝CB，O为AB的中点，所以CO⊥AB. 又平面ABC⊥平 面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，所以CO⊥平面 ABD. 因为OD⊂平面ABD，所以CO⊥OD，所以△COD为直角三角形. 因为△ABD是正三角形，O为AB的中点，所以DO⊥AB. 所以图中的直 角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD，共6个. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在如图所示的三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二 面角B-PA-C的大小等于 ⁠. 解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC为二面 角B-PA-C的平面角.又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的大小为 90°. 90° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABB1A1上任取一点M，作 ME⊥AB于E，则（　　） A. ME⊥平面ABCD B. ME⊂平面ABCD C. ME∥平面ABCD D. 以上都有可能 解析：∵M∈平面ABB1A1，E∈AB，即E∈平面ABB1A1，∴ME⊂平面ABB1A1，又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知二面角α-l-β，P∈α，点P到β的距离为m，点P到l的距离为2m， 则二面角α-l-β的大小为（　　） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，过P作PO⊥β，垂足为O，则PO＝m.作PH⊥l，垂足为H，则PH＝2m.连接HO. 因为PO⊥β，所以PO⊥l.又PH∩PO＝P，PH，PO⊂平面OPH，所以l⊥平面OPH，所以OH⊥l，所以二面角α-l-β的平面角为∠PHO或其补角.在Rt△PHO中， sin ∠PHO＝ ＝ ＝ ，所以∠PHO＝30°.所以二面角α-l-β的大小为30°或150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图，三棱台ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，且AB⊥BB1， B1C1⊥BB1，则二面角A-BB1-C的大小是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：三棱台ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，则BC⊥BB1，又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC，所以∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角，因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 设α-l-β是直二面角，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b与直线l都 不垂直，那么（　　） A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直，也可能平行 C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行 解析：当a∥l，b∥l时，a∥b.若a⊥b，可在a上任取点A，过点A在α内作l的垂线c，如图，则c⊥β，所以c⊥b.因为a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，这与已知矛盾.所以a与b不可能垂直. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，能推出AP⊥BC的条件是（　　） A. AP⊥PB，BC⊥PB B. AP⊥PB，AP⊥PC C. 平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC D. AP⊥平面PBC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于A，AP⊥PB，BC⊥PB，不能证明AP⊥BC，不能推出；对于B，AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，则AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；对于C，平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP，能推出；对于D，AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，能推出；故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，则下列命题中正 确的是（　　） A. 若α∥β，l∥β，则l∥α B. 若l⊥α，l⊥β，则α∥β C. 若α⊥β，α∩β＝a，m⊂β且m⊥a，则m⊥α D. 若α⊥β，l∥β，则l⊥α 解析：对于A，若α∥β，l∥β，则l∥α或l⊂α，故A不正确；对于B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于C，由面面垂直的性质定理知，C正确；对于D，若α⊥β，l∥β，则l与α不一定垂直，故D不正确；故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的大小是 ⁠. 解析：如图所示，由于BC⊥A1B，BC⊥AB， 所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角，根据正方体的性质可知∠A1BA＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将 △ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC ＝ ⁠. 解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C 的平面角，由于平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°，连接BC（图 略），则BC＝ ＝ ＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图，已知圆锥的母线长为2，轴截面为△PAB，且∠APB＝ ，O为 底面圆的圆心，若C为底面圆周上异于A，B的一点，且二面角P-AC-B 的大小为 ，则△PAC的面积为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意得PA＝PB＝2.如图，取AC的中点H，连 接PH，PO，OH，则∠APO＝∠BPO＝ ，故OP＝ 1，AO＝OB＝ .连接OC，因为PA＝PC，OA＝OC，所以PH⊥AC，OH⊥AC，故∠PHO即为二面角P-AC-B的平面角，即∠PHO＝ ，故OH＝OP＝1，PH＝ OP＝ .在△AOC中，AH＝HC＝ ＝ ＝ ，则AC＝2 ，所以△PAC的面积为 AC×PH＝ ×2 × ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝ 4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几 何体D-ABC. 求证：BC⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：如题图①，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，过C 作CE⊥AB，E为垂足（图略）， ∴四边形AECD为正方形， ∴CE＝AE＝EB＝2，∴∠ACE＝∠BCE＝45°， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如题图②，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别 为 和 .过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为 A'，B'，则AB∶A'B'＝（　　） A. 2∶1 B. 3∶1 C. 3∶2 D. 4∶3 √ 解析：　连接AB'，A'B（图略），由已知条件可知∠BAB'＝ ，∠ABA' ＝ .设AB＝2a，则BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在 Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝ 60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确 的是（　　） A. 在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B. 异面直线AD与PB的夹角为90° C. 二面角P-BC-A的大小为45° D. BD⊥平面PAC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM. ∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD. 又底面ABCD是菱形， ∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM. 又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PBM，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB的夹角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝ ，PM＝ ，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝ ＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°， 且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是 ⁠. 解析：如图，过A作AO⊥BD于点O，∵平面ABD⊥平面 BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD 所成的角.∵∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴∠ADO＝45°. 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，在三棱锥P-ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. （1）若PD⊥BC，求证：PD⊥平面ABC； 证明：因为平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，PD⊥BC， 所以PD⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA. 证明：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面 ABC＝BC， AB⊂平面ABC，AB⊥BC， 所以AB⊥平面PBC， 因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB. 又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB， 所以CP⊥平面PAB. 又PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C， 则下列四个结论中正确的是（　　） A. AC⊥BD B. △ACD是等边三角形 C. AB与CD的夹角为60° D. AB与平面BCD的夹角为60° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，对于A，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，折叠后△ABD，△BCD是等腰直角三角形，BD⊥AE，BD⊥CE，又AE∩CE＝E，所以BD⊥平面AEC，又AC⊂平面AEC，所以AC⊥BD，故A项正确； 对于B，设折叠前正方形的边长为a，则BD＝ a，所以AE＝EC＝ a， 因为E是BD的中点，△ABD是等腰直角三角形，所以BD⊥AE，又平面 ABD∩平面BCD＝BD，AE⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD，所以 AE⊥平面BCD，又CE⊂平面BCD，所以AE⊥CE，所以AC＝ ＝ ＝a，所以△ACD是等边三角形，故B项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 59 对于C，设折叠前正方形的边长为a，则取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，所以EF􀱀 CD＝ a，FG􀱀 AB＝ a，所以∠GFE是直线AB与CD的夹角（或补角），在Rt△AEC中，EG＝ AC＝ a，所以△EFG是等边三角形，所以∠GFE＝60°，所以AB与CD的夹角为60°，故C项正确；对于D，由B选项知，AE⊥平面BCD，BE是直线AB在平面BCD内的射影，所以∠ABE是直线AB与平面BCD的夹角，因为E是BD的中点，Rt△ABD是等腰直角三角形，所以AE＝BE＝ BD，AE⊥BE，所以△ABE是等腰直角三角形，即∠ABE＝45°，所以AB与平面BCD的夹角为∠ABE＝45°，故D项错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面 PBC，点E为垂足. （1）求证：PA⊥平面ABC； 证明：如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F. ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC. ∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA. 作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA. ∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， ∴PA⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形. 证明：如图，连接BE并延长交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴PC⊥AE. ∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE. 又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB. 由（1）知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. 又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $