第6章 4.1 直线与平面平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与平面平行”，核心内容为判定定理和性质定理。通过门扇转动、矩形纸板转动等情境导入，结合问题引导学生直观感知，搭建从具体现象到抽象定理的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境导入培养数学抽象，通过例题解析和“找、定、转”“找、证、结”等通性通法提升逻辑推理，分层次作业满足不同需求。学生能在探究中构建知识体系，教师可借助清晰结构高效教学，助力核心素养落地。

4.1　直线与平面平行 1 1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理（数学抽象）. 2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 情境一：如图①，门扇的两边是平行的. 情境二：如图②，将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕 边DC转动. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　（1）当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此 时门扇转动的一边与墙面平行吗？ （2）在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点 吗？边AB与桌面平行吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　直线与平面平行的性质定理 文字 语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相 交，那么该直线与 ⁠平行 符号 语言 l∥α， ， ⇒l∥a 图形 语言 平行　 交线　 l⊂β　 α∩β＝a　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 平行于同一平面的两条直线是否平行？ 提示：不一定平行，平行于同一平面的两条直线可能平行也可能相交 或异面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　直线与平面平行的判定定理 图形语言 文字语言 符号语言 如果平面外一条直线与 ⁠， 那么该直线与此平面平行 ⇒l∥α 此平面内的一条直线平行　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 若l与平面α内的一条直线平行，那么直线l与平面α平行吗？ 提示：不一定，直线l有可能在平面α内. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l∥平面α，则存在直线b⊂α，使得l∥b. （　√　） （2）若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条 直线. （　×　） （3）若l与平面α内的无数条直线平行，那么l∥α. （　×　） （4）两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平 面平行. （　×　） √ × × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平 面ABC，则（　　） A. EF与BC相交 B. EF∥BC C. EF与BC异面 D. 以上均有可能 解析：　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面 ABC，∴EF∥BC. 故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断： ①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论， 写出你认为正确的一个 ⁠. 解析：若m∥n，m∥α，则n∥α.同样，若m∥n，n∥α，则m∥α. ①②⇒③（或①③⇒②） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜线面平行的性质定理的理解及应用 角度1　线面平行性质定理的理解 【例1】　下列说法中正确的是（　　） ①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③ 过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l和平面α 平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内. A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一直线与已知直线平行，故可作无数个平面与已知直线平行，故③错误.故选D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 线面平行的相关结论 （1）一条直线和一个平面平行，则它和平面内无数条直线平行，这无数 条直线相互平行； （2）一条直线和一个平面平行，则它和平面内的直线平行或异面； （3）过直线外一点有无数个平面与已知直线平行，这些平面的交线与已 知直线平行； （4）过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，这些直线共面，且和 已知平面平行. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　线面平行性质定理的应用 【例2】　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平 面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面四边形MNPQ是平行四边形. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用线面平行的性质定理解题的步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 若直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，b∥平面γ，γ∩α＝c，则a与c 的位置关系是 ⁠. 解析： ⇒a∥b， ⇒c∥b，∴a∥c. 平行 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 解：因为EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面 ADC， 所以EF∥AC， 因为E是AD的中点， 所以EF＝ AC＝ ×2 ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜线面平行的判定定理的理解及应用 角度1　线面平行判定定理的理解 【例3】　已知直线b，平面α，有以下条件： ①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公 共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行. 其中能推出b∥α的条件有 .（把你认为正确的序号都填上） 解析：①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是 直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α. ②③④ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　解决此类问题要注意：（1）把握住判定定理；（2）借助于常见几何 模型（如正方体）进行分析. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　线面平行判定定理的应用 【例4】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC， CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 证明：连接BC1（图略）， 在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点， ∴EF∥BC1， 又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1， ∴四边形ABC1D1是平行四边形， ∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1， 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， ∴EF∥平面AD1G. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用判定定理证明线面平行的步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （4）线段成比例法. 提醒：线面平行判定定理的应用误区：①条件罗列不全，最易忘记的条件 是“直线在平面外”；②不能利用题目条件顺利地找到两平行直线. 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： （1）空间直线平行关系的传递性法； （2）三角形中位线法； （3）平行四边形法； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 点E，F，G，H分别是四面体A-BCD的棱AB，BC，CD，DA的中 点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：如图所示，四面体的棱中与平面EFGH平行的直线有AC与BD. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D. 证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD， ∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点. ∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线， ∴OD∥AB1. ∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面 BC1D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜线面平行性质定理与判定定理的综合应用 【例5】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B， B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面ABCD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：连接AC，A1C1，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1， AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为 AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平 面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN. 因为MN⊄平面 ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 线面平行的判定与性质综合应用的策略 　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平 行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们 可称它为平行链，如下： 线线平行 线面平行 线线平行. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点. （1）求证：MN∥平面PAD； 证明：如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行 四边形，故MN∥AE. 又AE⊂平面PAD，MN⊄平面 PAD，所以MN∥平面PAD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC. 证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面 PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l， 所以BC∥l. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b， 则a与b的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 解析：因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，所以a∥b. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD∶DB＝ AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. BC⊂α 解析：　在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE. 因为 BC⊄α，DE⊂α，所以BC∥α. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 〔多选〕已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的 是（　　） A. b与α内的一条直线不相交 B. b与α内的两条直线不相交 C. b与α内的无数条直线不相交 D. b与α内的所有直线不相交 √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC平行的平面是 ⁠ ；与BC1平行的平面是 ；与平 面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是 . ⁠ 解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1B1C1D1 与平面ADD1A1；与BC1平行的平面是平面ADD1A1；与平面A1B1C1D1和平 面A1B1BA都平行的棱是CD. 平面 A1B1C1D1与平面ADD1A1 平面ADD1A1 CD 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分別为PC和PB的中点，平面 ABC∩平面AEF＝l.证明：直线l∥BC. 证明：∵E，F分别为PC，PB的中点，∴BC∥EF， 又∵EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF， 又∵BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（　　） A. 只有一条，不在平面α内 B. 只有一条，在平面α内 C. 有两条，不一定都在平面α内 D. 有无数条，不一定都在平面α内 解析：　如图所示，因为直线l∥平面α，P∈α，所以直线 l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，所以P∈m，所以l∥m 且m是唯一的. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面中，与 棱AA1平行的平面共有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分别为线段 A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 解析：　如图，过线段A1B上任一点M作MH∥AA1，交 AB于点H，过点H作HG∥AC交BC于点G，过点G作 CC1的平行线，与CB1一定有交点N，且MN∥平面 ACC1A1，则这样的MN有无数条.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O， M为PB的中点，给出以下结论，其中不正确的是（　　） A. OM∥PD B. OM∥平面PCD C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA 解析：　由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故A正确； PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正确；同理， 可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故 D不正确.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点， M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ 平行的是（　　） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C、D项中均有AB∥平面MNQ，只有A项中AB与平面MNQ不平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC， CD的中点，则下列结论正确的是（　　） A. AD∥EG B. AC∥平面EFG C. BD∥平面EFG D. AD，FG是一对相交直线 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：A：点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点E∉平面ADC，可知AD，EG是异面直线，A错；B：AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；C：BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；D：点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点F∉平面ADC，可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平 面α的位置关系是 ⁠. 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理 可得CD∥平面α. CD∥平面α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件 “m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是 ⁠. 解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是 “l⊄α”. l⊄α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B， C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3， 则EF＝ ⁠. ​ 解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β ＝EF. 因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a.所以 ＝ .所以EF＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是AD1， BD的中点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1； 解： 证明：如图所示，连接AC，CD1， 因为ABCD为正方形， 所以AC与BD互相平分，又Q为BD的中点，所以Q为 AC的中点， 因为P为AD1的中点，所以PQ∥CD1， 因为CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，所以 PQ∥平面DCC1D1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求PQ的长. 解： 由（1）得，PQ是△ACD1的中位线， 所以PQ＝ D1C＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F 分别为棱AA1，CC1的中点，过BF的平面α与直线C1E平行，则平面α截该 长方体所得截面的周长为（　　） A. 6 B. 3＋2 C. 6＋2 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，取DD1的中点G，连接GA，GF，AF. 因为E，F分别为棱AA1，CC1的中点，所以 AE∥C1F，AE＝C1F，所以四边形AEC1F是平行四边 形，所以EC1∥AF. 又EC1⊄平面ABFG，AF⊂平面 ABFG，所以EC1∥平面ABFG，所以平面ABFG即为所求的平面α.因为G为棱DD1的中点，所以GF∥DC，GF＝DC. 又AB∥DC，AB＝DC，所以AB∥GF，AB＝GF，所以四边形ABFG是平行四边形.又AA1＝AD＝2，AB＝3，所以CF＝DG＝1，所以BF＝ ＝ ，所以截面ABFG的周长为3×2＋ ×2＝6＋2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G 为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则 ＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由于AD∥平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面PEF ＝FG，根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 由于点D，E分别为棱 PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，所以G是△PBC的重心，所以 ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底 面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝ ，过 P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ ⁠. a 解析：∵MN∥平面ABCD，平面PMNQ∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PMNQ，∴MN∥PQ，∴DP＝DQ＝ a，故PQ＝ ＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体， 截面为△ABC. 已知AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.在边AB上是否存在一点 O，使得OC∥平面A1B1C1？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：存在.如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D， 则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点，所以OD＝ （AA1＋ BB1）＝3＝CC1，则四边形ODC1C是平行四边形， 所以OC∥C1D. 又C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1， 所以OC∥平面A1B1C1. 即在边AB上存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O， E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值 为 ⁠. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：设AO交BE于点G，连接FG. 因为O，E分别是BD，AD的中点，所以 ＝ ，则有 ＝ .因为PC∥ 平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，所以GF∥PC，则 ＝ ＝ ， 即λ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，E，F分别为A'B'， B'C'的中点，点G为线段B'B上一点，且满足B'G＝λB'B. （1）若λ＝ ，证明：EG∥平面D'AC； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图，连接A'B，当λ＝ 时，B'G＝ B'B， 所以G为BB'的中点， 又E为A'B'的中点， 所以EG∥A'B. 又A'D'∥BC且A'D'＝BC，所以四边形A'D'CB为平行四边形， 所以A'B∥D'C，故EG∥D'C， 又EG⊄平面D'AC，D'C⊂平面D'AC， 所以EG∥平面D'AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）点M在线段BD上，且满足D'M∥平面EFG. 当λ∈［ ，1］时， 求D'M长度的取值范围. 解：法一　连接B'D'交EF于点H，连接GH（图略）， 因为D'M∥平面EFG，D'M⊂平面D'MBB'，平面D'MBB'∩ 平面EFG＝GH， 所以D'M∥GH，所以∠GHB'＝∠MD'B'， 又∠GHB'＋∠HGB'＝90°，∠MD'B'＋∠MD'D＝90°， 故∠HGB'＝∠MD'D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由题意可知，B'G＝2λ，DD'＝2，B'H＝ ， 则tan∠HGB'＝ ＝ ，又tan∠MD'D＝ ＝ ， 所以 ＝ ，即DM＝ ， 所以D'M＝ ＝ ， 又λ∈［ ，1］， 所以D'M长度的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　连接B'D'，交EF于点H，连接GH，过点B作D'M的平行线交 D'H于点Q（图略），则BQ＝D'M. 又D'M∥平面EFG，D'M⊂平面D'MBB'，平面D'MBB'∩平面EFG＝GH， 所以D'M∥GH， 又BQ∥D'M，所以GH∥BQ. 在△B'BQ中，随着GH的增大，BQ减小， 当λ＝ 时，GH最小，BQ最大，当λ＝1时，GH最大，BQ最小. 当λ＝ 时，G为BB'的中点，△EFG为等边三角形，GH＝ × ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 又 ＝ ＝ ，所以BQ＝D'M＝ . 当λ＝1时，点G与点B重合，点Q与点H重合，在Rt△BB'H中，B'H＝ ，BH＝ ＝ ， 此时BH＝BQ＝D'M＝ . 综上，当λ∈［ ，1］时，D'M长度的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $