第6章 4.2 平面与平面平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行”，核心内容为判定定理与性质定理。通过上海世博会中国国家馆情境导入，结合问题链引导学生直观感知，新知初探环节系统讲解定理，自我诊断及时巩固，构建从情境到定理再到应用的学习支架。 其亮点在于融入数学抽象与逻辑推理素养，如情境导入抽象空间形式，典例研析通过不同题型（性质应用、判定应用）培养推理能力。含视频解析辅助理解，通性通法总结提炼解题步骤，助力学生形成空间观念，教师可借助结构化内容提升教学效率。

4.2　平面与平面平行 1 1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理（数学抽象）. 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直 线状物体与下层地面有何位置关系？ （2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么 位置关系？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条交线 ⁠ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ ⁠ 图形语言 相交　 平行　 a∥b　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 此性质定理的逆定理是否成立？即若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则 α∥β成立吗？ 提示：不一定.α与β有可能平行也有可能相交. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　平面与平面平行的判定定理 文字 语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这 两个平面平行 符号 语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形 语言 两条相交直线　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 　平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β一定平行吗？ 提示：不一定，当α与β相交时α内也可能存在不共线的三点到β的距离相等，如图，A，B，C到平面β的距离相等，但α与β不平行. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直 线，则这两个平面平行. （　√　） （2）两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行. （　×　） （3）夹在两个平行平面间的平行线段相等. （　√　） （4）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m. （　×　） √ × √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面 A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 解析：　因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，且平面α∩平面ABCD＝EF， 平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，所以由面面平行的性质定理知EF∥E'F'. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上 的点且满足 ＝ ＝ ，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ⁠ ⁠. 平行 解析：在△PAB中，因为 ＝ ，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC， AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又 DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 角度1　面面平行性质定理的理解 【例1】　（1）若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的 所有直线中（　D　） A. 不一定存在与a平行的直线 B. 只有两条与a平行的直线 C. 存在无数条与a平行的直线 D. 存在唯一一条与a平行的直线 解析：因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线， 只有唯一一条. D 题型一｜面面平行的性质定理的理解及应用 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点.当点A，B分别在 α，β内运动时，所有的动点C（　D　） A. 不共面 B. 当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C. 当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D. 不论A，B如何移动都共面 解析：根据面面平行的性质知，不论点A，B如何运动，动点C均在过点 C且与α，β都平行的平面上. D 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 面面平行性质定理的实质是由面面平行得出线线平行，其应用过程是构 造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此定理可用来证明线 线平行. 2. 面面平行的其他性质：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一 条直线都平行于另一个平面；（2）夹在两个平行平面间的平行线段长度 相等；（3）两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　面面平行性质定理的应用 【例2】　如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α， β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC ＝9，PD＝8. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （1）证明AB∥CD； 解：证明：因为AC∩BD＝P， 所以直线AC与BD可确定平面PCD， 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD， 所以AB∥CD. （2）求BD的长. 解：由（1）知AB∥CD， 得 ＝ ，即 ＝ ，所以BD＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件）若本例改为“点P在平面α，β之间（如图）”，其他条件不 变，试求BD的长. 解：由题意可得 ＝ ，代入PA＝6，PC＝3，PD＝8，得 ＝ ，解 得PB＝16， 故BD＝PB＋PD＝16＋8＝24， 所以BD的长为24. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用平面与平面平行性质定理解题的基本步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，平面α∥平面β，直线AB，CD夹在α，β间，且两直线相交于点 O，求证： ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：因为AB与CD相交于点O，所以A，B，C，D四点共面. 如图所示，连接AC，BD. 因为α∥β，且α，β与平面ACBD的交线分别为 AD，BC，所以AD∥BC. 在平面ACBD中，△AOD∽△BOC， 所以 ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜面面平行的判定定理的理解及应用 角度1　面面平行判定定理的理解 【例3】　下列说法中正确的是（　　） ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平 行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平 面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两 个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平 面，则这两个平面平行. A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的边AB上任 取一点E，过E点作EF∥AD交CD于点F. 由线面平行的 判定定理知，EF，BC都平行于平面ADD1A1.用同样的方 法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都不正确；③正确，事实上，若一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平 面平行的判定定理，正确. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 利用面面平行的判定定理时必须具备的两个条件：（1）这两条相交直 线都在其中一个平面内；（2）这两条直线都平行于另一个平面. 2. 判定面面平行的其他常用结论：（1）利用面面平行的定义：两个平面 没有公共点；（2）利用面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， a∥α，b∥α⇒β∥α；（3）平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ， β∥γ⇒α∥β. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　面面平行判定定理的应用 【例4】　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB， AC，A1B1，A1C1的中点. 求证：（1）B，C，H，G四点共面； 证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）平面EFA1∥平面BCHG. 证明：∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 运用判定定理证明面面平行时的注意点 （1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行 于另一个平面； （2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原 则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到 再作辅助线. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. a是平面α外的一条直线，过a作平面β，使β∥α，这样的β（　　） A. 只能作一个 B. 至少可以作一个 C. 不存在 D. 至多可以作一个 解析：　因为a是平面α外的一条直线，所以a∥α或a与α相交，当a∥α 时，β只有一个；当a与α相交时，β不存在.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中 点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG. 证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB， 又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB， ∴EG∥平面PAB， ∵E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB， ∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴EF∥平面PAB， 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PAB. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜空间平行关系的综合问题 【例5】　已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的 中点，求证：MN∥平面PAD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：法一　如图，取PD的中点G，连接GA，GN， 因为G是PD中点，N是PC中点，所以GN∥DC，GN ＝ DC， 因为M是矩形ABCD边AB的中点，所以AM∥DC，AM ＝ DC， 所以GN∥AM，GN＝AM，所以四边形AMNG是平行四边形， 所以MN∥AG，且MN是平面PAD外的一条直线，又AG是平面PAD内的一条直线， 所以MN∥平面PAD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　如图，取CD中点H，连接HM，HN，因为H是 DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP， 因为M是AB的中点，H是CD的中点，所以AM＝ AB， DH＝ DC， 因为AB＝CD，AB∥CD， 所以AM＝DH，AM∥DH， 所以四边形AMHD为平行四边形， 所以HM∥DA， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以平面HNM∥平面PAD， 因为MN⊂平面HNM， 所以MN∥平面PAD. 因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD， 所以HN∥平面PAD，HM∥平面PAD， 因为HN∩HM＝H， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 空间中各种平行关系相互转化的示意图 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱 CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的 结论. 解：当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. 因为E，F分别为AB，BB1的中点，所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1. 同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD＝F， 所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD， 所以DE∥平面AB1C1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（　　） A. 两两相互平行 B. 两两相交于同一点 C. 两两相交但不一定交于同一点 D. 两两相互平行或交于同一点 解析：　根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行. 故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要 条件是（　　） A. AB∥CD B. AD∥CB C. AB与CD相交 D. A，B，C，D四点共面 解析：　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质 知AC∥BD. 必要性显然成立.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面 ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则 ＝ 　​ 　. 解析：因为平面MNE∥平面ACB1，由平面平行的性质定理可得 EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA， BC的中点，所以MN＝ AC，即 ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定 的平面为β，则α与β的位置关系是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 不确定 解析：　因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因l∥α， m∥α，l∩m＝P，所以β∥α. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线 DE，则DE与AB的位置关系是（　　） A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能 解析：　因为平面A1B1C1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面A1B1C1＝ A1B1，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE. 又因为 A1B1∥AB，所以DE∥AB. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方 形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（　　） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 梯形或平行四边形 D. 不确定 解析：　由面面平行的性质定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四边形 EFGH为平行四边形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，平面AB1C与平面AA1D1D的交线 为l，则（　　） A. l∥A1D B. l∥B1D C. l∥C1D D. l∥D1D √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，B1C＝平面BCC1B1∩平面 AB1C，平面AB1C∩平面ADD1A1＝l，所以l∥B1C. 对于A，因为 A1D∥B1C，所以l∥A1D，故A正确；对于B，因为B1D与B1C相交，所 以l与B1D不平行，故B错误；对于C，因为C1D与B1C不平行，所以l与 C1D不平行，故C错误；对于D，因为DD1与B1C不平行，所以l与DD1不 平行，故D错误.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面， 给出下列命题，正确的是（　　） A. 若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β B. 若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β C. 若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β D. 若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：A项，若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；B项，若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，由面面平行的判定可得α∥β，正确；C项，若a∥α，b∥β，且a∥b，则α，β可能相交、平行，错误；D项，若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理得a∥b，正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件中，可以判定α与β 平行的条件有（　　） A. 存在平面γ，使得α，β都平行于γ B. 平面α内的任意一条直线都平行于β C. α内有不共线的三点到β的距离相等 D. 存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于A，存在平面γ，使得α，β都平行于γ，∴两个平面平行，∴A正确；对于B，平面α内的任意一条直线都平行于β，当然α内的两条相交直线也都平行于β，∴α∥β，∴B正确；对于C，不能判定α与β平行，如α内不共线的三点不在β的同一侧时，α与β相交，∴C不正确；对于D，可以判定α与β平行，可在平面α内作l'∥l，m'∥m，则l'与m'必相交.又∵l∥β，m∥β，∴l'∥β，m'∥β，∴α∥β，∴D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 直线m，n及平面α，β，γ有下列关系：①α∩β＝m；②m∥n；③ α∥γ；④β∩γ＝n.其中一些关系作为条件，另一些关系作为结论，组成 一个正确的推理应是 ⁠. 解析：因为α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可 得：m∥n. ①③④⇒② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形 ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形 ABCD的形状一定是 ⁠. 平行四边形 解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行， 则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平 行四边形.因为A1B1􀱀C1D1，所以AB􀱀CD，从而四边形ABCD为平行四 边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E， F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则 ＝ 　​ 　，若BF＝4，则AE ＝ ⁠. ​ 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为α∩平面GBD＝AC，β∩平面GBD＝BD， 且α∥β， 所以AC∥BD， 同理可证AE∥BF. 因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD， 所以 ＝ ＝ ＝ . 同理 ＝ ，所以 ＝ ，AE＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC， 平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：易知BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平 面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面 AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面 AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：分别取CD，SC的中点M，N，连接MN，ME，NE（图略），因为E是BC的中点，所以EM∥BD，EN∥SB，又EM，EN⊄平面SBD，BD，SB⊂平面SBD，所以EM∥平面SBD，EN∥平面SBD. 因为EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面SBD，所以当P在MN上移动时，PE⊂平面EMN，此时能够保持PE∥平面SBD，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形， 点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中 （　　） A. 平面EFGH∥平面ABCD B. BC∥平面PAD C. AB∥平面PCD D. 平面PAD∥平面PAB √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则 EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以EH∥平面ABCD. 同理可证EF∥平面ABCD， 又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面 EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若在线段BC1和线段 CD1上分别取点E，F，使得EF∥平面BB1D1D，则EF长度的最小值 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：如图，过点E，F作棱BB1的平行线，分别交B1C1， BC，C1D1，CD于点P，Q，M，N，连接QN，MP. 因 为PQ⊄平面BB1D1D，BB1⊂平面BB1D1D，所以PQ∥平 面BB1D1D，又EF∥平面BB1D1D，EF∩PQ＝E，EF， PQ⊂平面PQNM，所以平面PQNM∥平面BB1D1D. 因为 平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝PM，平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D＝B1D1，因此PM∥B1D1.设C1M＝x（0≤x＜2），则PE＝C1P＝C1M＝x，MF＝MD1＝2－x，PM＝ x，又四边形PQNM为矩形，所以EF＝ ＝ ＝ ≥ ，当且仅当x＝ 时取等号，所以EF长度的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为 AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点， 所以FH∥PC， 又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC， 所以FH∥平面PCE. 又AE∥CF且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE， 又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1 的中点，M是线段D1E上的动点（包括端点），下列说法正确的是（　　） A. 对于任意M点，B1M与平面BDF平行 B. 存在M点，使得A1M与平面BDF平行 C. 存在M点，使得直线B1M与直线DF平行 D. 对于任意M点，直线A1M与直线BF异面 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图所示，对于A，取线段BB1的中点G，连 接A1G，EG，B1E，B1D1，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，因为F，G分别为AA1，BB1 的中点，所以A1F∥BG且A1F＝BG，所以四边形A1FBG 为平行四边形，所以BF∥A1G，同理可得D1E∥A1G，故D1E∥BF，因为D1E⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，所以D1E∥平面BDF，又DB∥D1B1，所以D1B1∥平面BDF，又D1E∩D1B1＝D1，D1E，D1B1⊂平面B1D1E，所以平面B1D1E∥平面BDF，因为B1M⊂平面B1D1E，所以B1M∥平面BDF，A正确；对于B，由A选项知平面BDF∥平面 B1D1E，又A1M⊄平面B1D1E，所以A1M与平面BDF不平行，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 对于C，若点M位于点E处，连接CG，FG，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为F，G分别为AA1，BB1的中点，所以FG∥CD且FG＝CD，所以四边形CDFG为平行四边形，故DF∥CG，同理可证B1E∥CG，则B1E∥DF， 故当点M与点E重合时，B1M∥DF，C正确；对于D，假设存在点M，使得直线A1M与直线BF共面，则A1，B，F，M四点共面，即M∈平面A1BF，事实上，点M∈/平面A1BF，假设不成立，故对任意的点M，直线A1M与直线BF异面，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED ＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上是否存在一点F，使平面BFM∥平 面AEC？证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：当F是棱PC的中点时，平面BFM∥平面AEC. 因为M是PE的中点，所以FM∥CE. 因为FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC， 所以FM∥平面AEC. 由EM＝ PE＝ED， 得E为MD的中点， 连接BM，BD，如图所示， 设BD∩AC＝O，则O为BD的中点. 连接OE，则BM∥OE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 因为BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC， 所以BM∥平面AEC. 因为FM⊂平面BFM，BM⊂平面BFM，且FM∩BM＝M， 所以平面BFM∥平面AEC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $