第1章 4.4 诱导公式与旋转(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.4　诱导公式与旋转 课标要求 1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 　　我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？ 【问题】　（1）－α与α的终边有什么关系？ （2）如何求＋α的三角函数值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　±α的诱导公式 　对任意角α，有下列关系式成立： sin＝　　　，cos＝　　　. sin＝　　　，cos＝　　　. 　　提醒：±α的诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法，±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀，“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”. 知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 　　函数 角 正弦 余弦 α＋2kπ（k∈Z） sin α cos α α＋π －sin α －cos α －α －sin α cos α π－α sin α －cos α α－π －sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）sin（90°＋α）＝－cos α.（　　） （2）cos＝－sin α.（　　） （3）cos（180°＋α）＝sin（90°＋α）.（　　） （4）诱导公式中的角α只能是锐角.（　　） 2.sin 95°＋cos 175°＝（　　） A.sin 5°　　　　　　B.cos 5° C.0 D.2sin 5° 3.若sin α＝，则cos＝　　　　. 题型一｜利用诱导公式化简 【例1】　化简：，其中k∈Z. 尝试解答 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽可能不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值. 【跟踪训练】 　化简：. 题型二｜利用诱导公式求值 【例2】　（1）已知f（α）＝ ，则f的值为（　　） A.－ B. C.－ D. （2）已知sin＝，则cos＝　　　　. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件，变设问）将本例（2）的条件中“－”改为“＋”，求cos的值. 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名. 【跟踪训练】 1.已知sin＝，则cos＝（　　） A.　　　　　　　　 B.－ C. D.－ 2.已知sin＝，那么cos α＝（　　） A.－ B.－ C. D. 题型三｜利用诱导公式证明恒等式 【例3】　求证：·sin（α－）cos（＋α）＝－cos2α. 尝试解答 通性通法 　　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： （1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子； （3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. 【跟踪训练】 已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证： cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）. 1.若sin＜0，且cos＞0，则θ是（　　） A.第一象限角　　　　 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.若cos（2π－α）＝，则sin＝（　　） A.－　　B.－　　C.　　D.± 3.化简：sin（π＋α）cos＋cos·sin（π＋α）＝　　　　. 4.求证：＝sin θ. 提示：完成课后作业　第一章　§4　4.4 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　诱导公式与旋转 【基础落实】 知识点一 cos α　－sin α　－cos α　sin α 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.C　原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 3.　解析：cos＝sin α＝. 【典例研析】 【例1】　解：当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），则原式 ＝ ＝ ＝＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z）. 仿上化简得：原式＝1. 故原式＝1. 跟踪训练 　解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α， sin＝sin＝－sin α， cos（π－α）＝cos［4π－（＋α）］＝cos（＋α）＝－sin α， ∴原式＝＝＝1. 【例2】　（1）B　（2）　解析：（1）∵f（α） ＝ ＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝. （2）cos＝cos ＝sin＝. 母题探究 　解：cos＝cos＝－sin＝－. 跟踪训练 1.D　cos＝cos＝－sin＝－. 2.C　sin＝sin＝sin＝cos α＝. 【例3】　证明：左端＝· sin［－（－α）］·（－sin α） ＝·［－sin（－α）］（－sin α） ＝·（－cos α）（－sin α） ＝－cos2α＝右端，故原式成立. 跟踪训练 　证明：cos（－）＝sin［－（－）］＝sin（＋）. ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴＝－， 即＝－， ∴cos（－）＝cos［－（－）］＝cos（－＋）＝cos（－），∴cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）. 随堂检测 1.B　由于sin＝cos θ＜0，cos＝sin θ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 2.A　∵cos（2π－α）＝，∴cos α＝，∴sin＝sin＝－sin＝－cos α＝－. 3.0　解析：原式＝－sin α·sin α＋sin α·sin α＝0. 4.证明：左边 ＝ ＝ ＝sin θ＝右边. ∴原等式成立. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $