第6章 3.1 3.2 第1课时 空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间点、线、面的位置关系及基本事实1-3，通过直尺与白纸、三脚架支撑等生活情境问题导入，引导学生观察现实空间，从具体实例到抽象概念，用表格系统梳理点线、点面、线线、线面、面面位置关系及符号表示，构建递进式学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过三种语言转化（如图形、符号、自然语言互化）和逻辑推理（如三点共线证明）培养核心素养，典例研析中总结通性通法（如纳入法证共面），助力学生提升空间观念与推理能力，教师可直接使用分层题型与作业设计，高效开展教学。

第一课时　空间点、线、面的位置关系及基本事实1、2、3 1 1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系（数学抽象）. 2.掌握空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（逻辑推理）. 3.了解基本事实1，2，3及推论1，2，3（数学抽象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 【问题】　（1）观察图①，把直尺边缘上的任意两点放在一张白纸上， 直尺的边缘上的其余点和白纸有何关系？ （2）观察图②，生活中常见到这样的现象：三脚架可以牢固的支撑照相 机或测量用的平板仪等，这是为什么？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）观察图③，把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在平面与桌面 所在平面是否只相交于一点B？为什么？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　空间图形基本的位置关系 1. 点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 点与直线的 位置关系 点A在直线a外 A∉a B∈a 点B在直线a上 点与平面的 位置关系 点A在平面α内 A∈α 点B在平面α外 B∉α 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 直线与直线的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 相交 ⁠ 不相交 ⁠ a∩l＝B b∩l＝∅ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线在平面内 ⁠ 有 ⁠个 公共点 直线与平面相交 ⁠ 有 ⁠公 共点 直线与平面平行 ⇔a∩α ＝∅ 没有公共点 a⊂α 无数　 a∩α＝A 一个　 a∥α　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 两个平面不相交 （平行） ⇔α∩β ＝∅ 没有公共点 两个平面相交 ⁠ 有一条公共 直线 α∥β　 α∩β＝l 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 在空间中不相交的两条不重合直线一定是平行直线吗？ 提示：不一定，如正方体的棱AB与棱CC1所在直线不相交也不是平行 直线. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　三个基本事实及其推论 1. 基本事实1，2，3 基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 给定三点A，B，C，若A∉直线BC，则有且只有一个平面α（或平面ABC），使得A∈α， B∈α，C∈α 数学·必修第二册（BSD） 目 录 基本 事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本 事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈l，B∈l，且A∈α， B∈α，则l⊂α 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且 P∈l，其中l表示一条直线 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 基本事实1，2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 点A∉a⇒a与A共面于平面 α，且平面唯一 推论 2 两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一 推论 3 两条平行直线确定一个平面 直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 平面与平面的公共点可以是有限个吗？ 提示：不可以，由基本事实3可知平面与平面要么无公共点，要么有一条 公共直线，即有无数个公共点. 2. 三条直线两两相交最多可以确定多少个平面？ 提示：最多可以确定3个平面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. （　×　） （2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A. （　×　） （3）空间不同三点确定一个平面. （　×　） 2. 能确定一个平面的条件是（　　） A. 空间三个点 B. 一个点和一条直线 C. 无数个点 D. 两条相交直线 × × × √ 3. 若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是 ⁠. a∥β 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 角度1　点与直线、点与平面的位置关系 【例1】　如图，点O是长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的中点，判断点A与直线AB，BC，CC1，C1O，平面ABCD、平面BCC1B1的位置关系，并用符号表示. 解：点A在直线AB上，在直线BC，CC1外，在直线C1O上，在平面 ABCD内，在平面BCC1B1外；符号表示分别是A∈AB，A∈/BC， A∈/CC1，A∈C1O，A∈平面ABCD，A∈/平面BCC1B1. 题型一｜立体几何三种语言的相互转化 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　判断点是否在直线上和是否在平面内时，要注意利用直线是无限延伸 的、平面是无限延展的，同时要注意利用题目的隐含条件，例如平行四边 形的对角线互相平分、棱台的棱延长后交于一点. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，点O是棱台ABCD-A1B1C1D1的两条侧棱 BB1，CC1的延长线的交点，判断点O与直线BB1，BC，AA1，平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置关系，并用符号表示. 解：点O在直线BB1上，在直线BC外，在直线AA1上，在平面BCC1B1内， 在平面ABCD外，在平面ADD1A1内；符号表示分别是O∈BB1， O∈/BC，O∈AA1，O∈平面BCC1B1，O∈/平面ABCD，O∈平面 ADD1A1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　直线与直线、直线与平面的位置关系 【例2】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB与直线BC，CD，C1D1，平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置关系，并用符号表示. 解：直线AB与BC相交于点B，与CD不相交，与C1D1不相交，在平面 ABCD内，与平面BCC1B1相交于点B，与平面A1B1C1D1平行. 用符号表示分别为AB∩BC＝B，AB∩CD＝∅，AB∩C1D1＝∅，AB⊂ 平面ABCD，AB∩平面BCC1B1＝B，AB∥平面A1B1C1D1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　直线与直线的位置关系分为相交与不相交两种；直线和平面的位置关 系分为直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种，其中直线 与平面相交、直线与平面平行这两种情况可以统称为直线在平面外. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AA1与直线AB，CD， BB1，平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置关系，并用符号 表示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：如图，设棱台侧棱所在直线交点为E， 直线AA1与直线AB相交于点A，与直线CD不相交，与 直线BB1相交于点E，与平面ABCD相交于点A，与平面 BCC1B1相交于点E，在平面ADD1A1内. 用符号表示分别为AA1∩AB＝A， AA1∩CD＝∅， AA1∩BB1＝E，AA1∩平面ABCD＝A，AA1∩平面 BCC1B1＝E，AA1⊂平面ADD1A1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度3　平面与平面的位置关系 【例3】　三个平面α，β，γ，平面α，β互相平行，平面α与平面γ交于直 线m，平面β与平面γ交于直线n，画出上述语句对应的图形并用符号语言 表示. 解：图形如图所示. 用符号语言表示为α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　用大写字母表示平面时，例如平面ABCD，“平面”两个字一般不能 省略，用希腊字母α，β等表示平面时，“平面”两个字可以省略. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 用符号语言表示下列语句，并画出图形. 三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ 交于PB，平面β与平面γ交于PC. 解：用符号语言表示为α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC. 图形表示如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜证明点、线共面问题 【例4】　证明：两两相交且不过同一点的三条直线共面. 解：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：法一（纳入平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又l2⊂α，所以B∈α. 同理可证C∈α.因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内. 法二（辅助平面法）　因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为 l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既 在平面α内，又在平面β内. 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件）若把本例中的“不过同一点”删掉，这三条直线是否共面？并 说明理由. 解：不一定共面.若三条直线两两相交，且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交，如图①. 这三条直线不共面.如图②. 　　 若三条直线两两相交，且不过同一个点，由例题可知，这三条直线共面. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 证明点、线共面问题的常用方法 （1）先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面 内，即用“纳入法”； （2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面 β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； （3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证： PQ⊂α. 证明：∵PQ∥a，∴PQ与a确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合.∴PQ⊂α. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜证明三点共线问题 【例5】　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝ Q，如图.求证：P，Q，R三点共线. 证明：法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC. 所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R 也在平面ABC与平面α的交线上， 所以P，Q，R三点共线. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　因为AP∩AR＝A， 所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC，所以Q∈平面APR. 又Q∈α，所以Q∈PR， 所以P，Q，R三点共线. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 证明三点共线的方法 （1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根 据基本事实3可知，这三点都在两个平面的交线上； （2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角 线A1C交平面AB1D1于点P. 求证：O1，P，A三点在同一条直线上. 证明：因为O1∈平面AB1D1，O1∈平面AA1C1C，A∈平 面AB1D1，A∈平面AA1C1C， 所以平面AB1D1∩平面AA1C1C＝AO1. 又因为A1C∩平面AB1D1＝P，所以P∈直线A1C，P∈ 平面AB1D1， 所以P∈平面AA1C1C，所以P∈直线AO1，即O1，P， A三点在同一条直线上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜线共点问题 【例6】　如图所示，在空间四边形ABCD的各边AD，AB，BC，CD上 分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直 线BD上. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：若EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 又因为平面ABD∩平面CBD＝BD， 由基本事实3可得P∈BD. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 证明三线共点的方法 　　证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一 点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3，证明该点在不重合的 两个平面内，即该点在两个平面的交线（第三条直线）上，从而证明三线 共点. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点. 证明：如图，延长AA1，BB1， 设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂平面BCC1B1，所以P∈平面 BCC1B1， AA1⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1， 所以P为平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共点， 又因为平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1， 所以P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 下列关于点、线和面的关系表示错误的是（　　 ） A. 点A⊂平面α B. 直线l∩平面α＝A C. 直线l⊂平面α D. 平面α∩平面β＝m 解析：　根据点、线、面的位置关系的符号表示，可知A错误，应改为 点A∈平面α；B、C、D正确.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 下列命题中正确的是（　　） A. 过三点确定一个平面 B. 两个相交平面把空间分成四个区域 C. 三条直线两两相交，则确定一个平面 D. A∈α，A∈β，则α∩β＝A 解析：A，过不共线三点确定一个平面，错误；B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确；C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面，否则不能确定一个平面，错误；D，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β），由基本事实3可知α∩β为过点A的一条直线，错误. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B 必在 ⁠. 解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l. 4. 若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则 O，C，D三点的位置关系是 ⁠. 解析：如图，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记 作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又 ∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线. α与β的交线上 共线 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 如果点A在直线a上，直线a在平面α内，点B在平面α内，那么可以用 符号表示为（　　） A. A⊂a，a⊂α，B∈α B. A∈a，a⊂α，B∈α C. A⊂a，a∈α，B⊂α D. A∈a，a∈α，B∈α 解析：　点A在直线a上，表示为A∈a；直线a在平面α内，表示为 a⊂α；点B在平面α内，表示为B∈α.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面 α的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB⊂α 解析：结合图形可知选项C正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知空间4个点，过其中3个点，可以作平面的个数为（　　） A. 1个 B. 4个 C. 1个或4个 D. 1个或4个或无数个 解析：设空间4个点为A，B，C，D. （1）若其中有三点共线，不妨设A，B，C三点共线于l.①若D∈l，则可作无数个平面；②若D∉l，则只能作1个平面.（2）若其中任意三点不共线，不妨设A，B，C不共线，则A，B，C确定一个平面α.①若D∈α，则可作1个平面；②若D∉α，则可作4个平面.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝ R. 设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝（　　 ） A. 直线AC B. 直线BC C. 直线CR D. 以上均不正确 解析：　∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，∴R∈l，l⊂β，R∈AB， ∴R∈β.又∵A，B，C三点确定的平面为γ，∴C∈γ，AB⊂γ， ∴R∈γ.又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ＝CR. 故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列命题正确的有（　　） A. 空间内不共线的三点确定一个平面 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 如果分别在两个相交平面内的两条直线相交，那么交点只可能在两个平 面的交线上 D. 一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：空间内不共线的三点确定一个平面，故A正确；由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B正确；交点分别包含于两条直线，也分别包含于两个平面，必然在交线上，故C正确；该直线要满足不经过给定两边的交点，故D错误.选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同 的点，给出下列命题正确的是（　　） A. 若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α B. α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB C. 若l不在α内，A∈l，则A∉α D. 若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α，由平面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A∉α，可得C不正确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 如图所示的图形可用符号表示为 .⁠ α∩β＝AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有 个. 解析：当A，B，C不共线时，有一个平面经过这三点；当A，B，C共线 时，有无数个平面经过这三点. 1或无数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 看图填空： （1）平面AB1∩平面A1C1＝ ⁠； （2）平面A1C1CA∩平面AC＝ . ⁠ A1B1 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证： a，b，c，l共面. 证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面，设为α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c，∴b，c确定一个平面，设为β. 同理可证l⊂β. 于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l. 又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. A，B是两个不同的点，α，β为两个不同的平面，下列推理错误的是 （　　） A. A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α B. A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB C. l⊄α，A∈l⇒A∈/α D. A∈l，l⊂α⇒A∈α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　若直线上两个不同的点在某个平面内，则直线在该平面内，故A 推理正确；两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面 的交线，故B推理正确；l⊄α有两种情况，l与α相交或l∥α，若l与α相 交，且交点为A，则C推理错误；直线在平面内，则直线上的点都在平面 内，故D推理正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线 A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　） A. A，M，O三点共线 B. A，M，O，A1四点共面 C. A，O，C，M四点共面 D. B，B1，O，M四点共面 解析：因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成 部分. 解析：三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在 这个基础上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7＝ 21部分. 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 如图，已知在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G， H分别是BC，CD上的点，GH􀱀 BD，且EF∥GH. 求证：直线EG， FH，AC相交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 证明：因为E，F分别是AB，AD的中点，所以 EF∥BD，且EF＝ BD. 因为GH􀱀 BD， 则EF＞GH， 又因为EF∥GH， 所以四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交.设两 腰EG，FH的延长线相交于一点P， 因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， 所以P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD＝AC， 所以P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别是线段BB1，A1C1的中 点，若直线B1C1∩平面AMN＝Q，则 ＝（　　 ） A. B. 2 C. D. 3 解析：　如图，延长AN，CC1交于点P，连接PM交B1C1 于点Q，则 ＝ ＝ ＝ ，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点 O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证： （1）C1，O，M三点共线； 证明：因为A1C∩平面BDC1＝O，所以 O∈A1C，O∈平面BDC1， 连接A1C1（图略），则A1C⊂平面ACC1A1，所以O∈平 面ACC1A1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 因为AC，BD交于点M，所以M∈AC，M∈BD， 又AC⊂平面ACC1A1，BD⊂平面BDC1， 所以M∈平面ACC1A1，M∈平面BDC1， 又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面BDC1， 所以C1，O，M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上， 所以C1，O，M三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）E，C，D1，F四点共面； 证明：如图，连接EF，BA1，CD1. 因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF∥BA1， 又BC∥A1D1，BC＝A1D1，所以四边形BCD1A1是平行 四边形， 所以BA1∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四 点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）CE，D1F，DA三线共点. 证明：设CE与D1F交于一点P，则P∈CE， 因为CE⊂平面ABCD，所以P∈平面ABCD， 同理，P∈平面ADD1A1， 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝直线AD， 所以P∈直线AD， 所以直线CE，D1F，DA三线交于一点P，即三线共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $