第1章 4.3 诱导公式与对称(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 【基础落实】 知识点 －sin α　cos α　－sin α　－cos α　－sin α －cos α　sin α　－cos α　 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　 （4）√ 2.D　原式＝cos（360°－60°）＋sin（360°＋90°）＝cos（－60°）＋sin 90°＝cos 60°＋1＝. 3.－　解析：∵cos（π－α）＝－cos α，∴－cos α＝，即cos α＝－. 【典例研析】 【例1】　解：（1）sin 495°·cos（－675°） ＝sin（135°＋360°）·cos 675° ＝sin 135°·cos 315° ＝sin（180°－45°）·cos（360°－45°） ＝sin 45°·cos 45° ＝×＝. （2）sin＋cos ＝－sin ＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin ＋cos ＝－sin－cos ＝sin －cos ＝－＝0. 跟踪训练 解：（1）法一　sin 1 320°＝sin（3×360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－. 法二　sin 1 320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－. （2）法一　cos＝cos ＝cos＝cos ＝－cos ＝－. 法二　cos＝cos＝cos＝－cos ＝－. 【例2】　（1）－0.3　（2）－ 解析：（1）∵sin（π＋α）＝－0.3， sin（π＋α）＝－sin α， ∴sin α＝0.3.∴sin（2π－α）＝－sin α＝－0.3. （2）∵＋α＝π－， ∴cos＝cos＝－cos（－α）＝－. 跟踪训练 －　解析：∵cos（α＋β）＝－1， ∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β. ∴sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）＝－sin β＝－. 【例3】　解：（1）原式＝·（－sin α）cos α ＝·（－sin α）cos α ＝sin2 α. （2）原式＝ ＝＝cos α. 跟踪训练 　解：（1）原式＝ ＝＝1. （2）原式 ＝ ＝ ＝＝＝－. 随堂检测 1.C　因为cos（－780°）＝cos 780°＝cos（2×360°＋60°）＝cos 60°＝，故选C. 2.C　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ（k∈Z），故sin α＝－sin β，cos α＝cos β.故选C. 3.C　∵角θ的终边与单位圆交于点P（－，），∴cos θ＝－. ∴cos（π－θ）＝－cos θ＝. 4.－　解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝－sin ·cos ＝－×＝－；当k＝2n＋1（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝sin ·cos＝sin ＝×＝－.综上，sincos（kπ＋）＝－. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　诱导公式与对称 课标要求 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式 终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin（－α）＝ 　　　　； cos（－α）＝ 　　　 sin（π＋α）＝　　　　； cos（π＋α）＝　　　　； sin（α－π）＝　　　　； cos（α－π）＝　　　 sin（π－α）＝　　　　； cos（π－α）＝　　　 特点 （1）公式两边的函数名称一致； （2）将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 　　提醒：诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式中角α是任意角.（　　） （2）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（　　） （3）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（　　） （4）cos（－α－β）＝cos（α＋β）.（　　） 2.cos 300°＋sin 450°＝（　　） A.－1＋　 B. 　C.－1－　 D. 3.若cos（π－α）＝，则cos α＝　　　　. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列三角函数式的值： （1）sin 495°·cos（－675°）； （2）sin＋cos . 尝试解答 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”——用sin（－α）＝－sin α，cos（－α）＝cos α转化； （2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角； （3）“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角； （4）“求值”——得锐角三角函数后求值. 【跟踪训练】 求下列各三角函数式的值： （1）sin 1 320°；（2）cos. 题型二｜给值（式）求值问题 【例2】　（1）已知sin（π＋α）＝－0.3，则sin（2π－α）＝　　　　； （2）已知cos＝，则cos＝　　　　. 尝试解答 通性通法 解决条件求值问题的策略 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系； （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 【跟踪训练】 已知sin β＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）＝　　　　. 题型三｜三角函数式的化简 【例3】　化简下列各式： （1）·sin（π＋α）cos（－α）； （2）. 尝试解答 通性通法 利用诱导公式化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等. 【跟踪训练】 　化简下列各式： （1）； （2）. 1.cos（－780°）＝（　　） A.－ 　B.－ 　C. 　D. 2.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（　　） A.sin α＝sin β B.sin（α－2π）＝sin β C.cos α＝cos β D.cos（2π－α）＝－cos β 3.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos（π－θ）的值为（　　） A.－ B.－ C. D. 4.若k为整数，则sincos＝　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§4　4.3 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $