第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　弧度概念　3.2　弧度与角度的换算 课标要求 1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化（数学抽象、数学运算）. 2.理解1弧度的角的定义，体会引入弧度制的必要性（数学抽象）. 3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式（数学运算）. 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　弧度制与角度制 1.度量角的两种制度 角 度 制 定义 用度作为单位来度量角的方法 1度的角 1度的角等于周角的　　　　，记作1° 弧 度 制 定义 以　　　　作为单位来度量角的方法 1弧度的角 在单位圆中，把　　　　　　　的弧所对的圆心角称为1弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写） 2.弧度数的计算 3.弧度与角度的换算 　　提醒：（1）用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可；（2）不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. 【想一想】 1.一个角的度数是否对应一个弧度数？ 2.在半径大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？ 知识点二　扇形的弧长和面积公式 　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 （1）弧长公式：l＝　　　； （2）扇形面积公式：S＝　　　＝　　　. 　　提醒：在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（　　） （2）1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.（　　） （3）扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝rα＝1×30＝30（cm）.（　　） 2.〔多选〕下列转化结果正确的是（　　） A.60°化成弧度是 B.－π化成度是－600° C.－150°化成弧度是－π D.化成度是15° 3.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为　　　　. 题型一｜角度制与弧度制的互化 【例1】　（1）将下列各角度化为弧度： ①112°30'；②－315°. （2）将下列各弧度化为角度： ①－；②. 尝试解答 通性通法 角度制与弧度制互化的原则和方法 （1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算； （2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝α·；n°＝n· rad. 【跟踪训练】 1.把下列角度化为弧度： （1）－300°＝　　　　； （2）22°30'＝　　　　. 2.把下列弧度化为角度： （1）＝　　　　； （2）－＝　　　　. 题型二｜用弧度制表示角的集合 【例2】　把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合. （1）－；（2）－1 485°. 尝试解答 通性通法 弧度制下与角α终边相同的角的表示 　　在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 提醒：（1）角度与弧度不能混用； （2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z. 【跟踪训练】 　用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为　　　　　　　　. 题型三｜扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件，变设问）已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 通性通法 扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2（其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π）； （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解. 【跟踪训练】 　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 1.1 920°转化为弧度数是（　　） A. B. C. D. 2.将弧度化成角度为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 3.若α＝－2 rad，则α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（　　） A.π B.－π C.π D.－π 5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为　　　. 提示：完成课后作业　第一章　§3　3.1　3.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　弧度制 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 【基础落实】 知识点一 1.　弧度　长度等于1　2.正数　负数　0　 想一想 1.提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的. 2.提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在半径大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同. 知识点二 （1）αr　（2）lr　αr2 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.ABD 3.6π　解析：扇形的面积为S＝αr2＝×62×＝6π. 【典例研析】 【例1】　解：（1）①因为1°＝ rad， 所以112°30'＝112.5× rad＝ rad. ②－315°＝－315× rad＝－ rad. （2）①因为1 rad＝， 所以－＝－×＝－75°. ②＝×＝1 140°. 跟踪训练 1.（1）－　（2） 解析：（1）－300°＝－300×＝－. （2）22°30'＝22.5°＝22.5×＝. 2.（1）690°　（2）－40° 解析：（1）＝×＝690°. （2）－＝－×＝－40°. 【例2】　解：（1）－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为. （2）－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋， 它是第四象限角，与终边相同的角的集合为. 跟踪训练 　 解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为. 【例3】　解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去. 当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝（rad）. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 母题探究 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为r，面积为S， 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r， 所以S＝l·r＝×（4－2r）×r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1， 所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此，θ＝＝＝2（rad）. 跟踪训练 　解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm， 则弧长l＝α·r＝×10＝（cm）， 于是面积S＝lr＝××10＝（cm2）. 随堂检测 1.D　1 920°＝1 920×＝. 2.C　 rad＝×＝120°.故选C. 3.C 4.B　显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π. 5.　解析：由题意可知 所以所以S＝lr＝. 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $