6.3.1-6.3.2 空间图形基本位置关系的认识 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT北师大版

该高中数学课件聚焦空间点、直线、平面的位置关系，通过长方体模型引导学生直观认识位置关系，抽象出定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接后续基本事实及推论的学习。 其亮点在于以问题导思激活直观想象，通过典例分析和规律方法培养逻辑推理，强化符号、图形、文字语言转换提升数学表达。分层评价设计助力教师精准教学，帮助学生深化空间观念，提升核心素养。

3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3) 　 第六章　§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出点、直线、平面的位置关系的定义.　 2.会用符号表达点、线、面的位置关系，培养直观想象的核心素养.　 3.掌握空间图形三个基本事实、三个推论，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　空间图形基本位置关系的认识 1 任务二　三个基本事实及推论 2 任务三　点共线、线共点问题 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　空间图形基本位置关系的认识 返回 问题1.我们知道长方体有8个顶点、12条棱、6个面， 12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所 在的平面.观察如图所示的长方体，你能发现这些顶 点、直线、平面之间的位置关系吗？ 提示：点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外；直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相交和直线与直线不相交；直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行；平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相交和平面与平面相交. 问题导思 1.点与直线、点与平面的位置关系 新知构建   位置关系 图形表示 符号表示 点与 直线 点A在直线a外   A∉a 点B在直线a上 _______ 点与 平面 点A在平面α内   A∈α 点B在平面α外 B∉α B∈a 2.直线与直线、直线与平面的位置关系   位置关系 图形表示 符号表示 直线与直线 相交   __________ 不相交   a∩b＝⌀ a∩b＝O   位置关系 图形表示 符号表示 直线与平面 直线在平面内   _______ 直线与平面相交 ___________ 直线与平面平行   _______⇔a∩α＝⌀ a⊂α a∩α＝A a∥α 3.平面与平面的位置关系   位置关系 图形表示 符号表示 平面与平面 平面与平面平行   ________⇔α∩β＝⌀ 平面与平面相交   ___________ α∥β α∩β＝a (链教材P222练习T1)用符号和图形表示下列语句： (1)点A在平面α内但在平面β外； 解：A∈α，A∉β(如图①所示). 典例 1 (2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B； 解：A∈a，B∈a，A∈α，B∉α(如图②所示). (3)直线a在平面α内，也在平面β内. 解：α∩β＝a(如图③所示). 1.用文字语言以及符号语言描述一个图形时，首先确定图形中平面、直线的个数以及相互之间的位置关系，先用文字语言描述清楚，再用符号语言表示. 2.使用符号语言时注意相应的意义.如点与直线、点与平面的位置关系要用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系要用“⊂”，“⊄”等表示. 3.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 规律方法 对点练1.(1)“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是 A.⇒A⊂α B.⇒A∈α C.⇒A∈α D.⇒A⊂α √ 因为平面α内有一条直线l，所以l⊂α.因为点A在直线l上，所以A∈l，所以A∈α.故选B. (2)平面α与平面β相交于直线l，点A，B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是 A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上均不正确 √ 因为直线AB与直线l相交于点R，R∈l，所以R∈平面β， 又点C在平面β上，所以CR⊂平面β，因为AB⊂平面γ，R 点在直线AB上，所以R∈平面γ，又C∈平面γ，所以CR⊂ 平面γ，所以β与γ的交线是直线CR，如图所示.故选C. 返回 任务二　三个基本事实及推论 返回 问题2.我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 提示： 不共线的三点. 问题3.如果直线l与平面α只有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？ 提示： 不在平面α内；在平面α内. 问题导思 问题4.把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只交于一点？ 提示： 相交于一条直线. 1.三个基本事实 新知构建 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过_______________的三个点，有且只有一个平面   A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α，使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内   若_______，_______且_______________，则l⊂α 用来证明直线在平面内 不在一条直线上 两个点 A∈l B∈l A∈α，B∈α 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的__________   P∈α，P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 公共直线 2.基本事实的推论 推论 文字语言 图形语言 作用 推论1 ________________________确定一个平面   确定平面的依据 推论2 ______________确定一个平面   推论3 ______________确定一个平面   一条直线和该直线外一点 两条相交直线 两条平行直线 如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上.求证：直线AD，BD，CD在同一平面内. 证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上， 所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，所以l⊂α. 因为C∈l，所以C∈α. 因为A，B，C，D∈α，所以AD⊂α，BD⊂α，CD⊂α. 即直线AD，BD，CD在同一平面内. 典例 2 证明点、线共面问题的常用方法 1.先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. 2.先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)下列基本事实叙述正确的是 A.经过两条相交直线，有且只有一个平面 B.经过两条平行直线，有且只有一个平面 C.经过三点，有且只有一个平面 D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 √ √ 根据基本事实以及推论，易知A、B正确；对于C，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数个平面，故D不正确.故选AB. (2)下列命题中， ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 其中真命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 对于①，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故①错误；对于②，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面，故②正确；对于③，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，故③错误；对于④，若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，故④正确.故选B. 返回 任务三　点共线、线共点问题 返回 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线 AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，H，G. 求证：E，F，G，H四点必定共线. 证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β. 因为AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，所以E∈β，所以E 在α与β的交线l上. 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， 所以E，F，G，H四点必定共线. 典例 3 利用基本事实3证明点共线、线共点 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 规律方法 对点练3.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同 一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1. 求证：AA1，BB1，CC1三线共点. 证明：由题意可知AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， 所以AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. 因为BB1⊂平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.同理可证，S∈平面ACC1A1， 所以点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，即S∈CC1， 所以AA1，BB1，CC1三线共点. 返回 课堂小结 任务再现 1.点、线、面之间的位置关系.2.三个基本事实及推论.3.点共线、线共点问题 方法提炼 纳入法、同一法、转化与化归思想 易错警示 三种语言的相互转换(符号语言、图形语言、文字语言)，尤其是符号语言的正确表达 随堂评价 返回 1.如图，点A、直线m、平面α之间的数学符号语言关系为 A.m∈α，A∉m B.m∈α，A∈m C.m⊂α，A∉m D.m⊂α，A∈m √ 由图可知，A∉m，A∈α，m⊂α.故选C. 2.当我们停放自行车时，只要将自行车的脚撑放下，自行车就停稳了，这用到了 A.三点确定一个平面 B.不在同一直线上的三点确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 √ 自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线，它们可以确定一个平面，因此自行车就停稳了.故选B. 3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面 A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点 C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 √ 如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线.故选D. 4.三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是__________. 1个或3个 三条直线两两相交，若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面.综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个. 返回 课时分层评价 返回 1. “点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为 A.A∈l，l∈α B.A⊂l，l⊂α C.A⊂l，l∈α D.A∈l，l⊂α √ “点A在直线l上，l在平面α内”用数学符号表示为A∈l，l⊂α.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知空间中的点A，B，直线l，平面α，若A∈l，B∈l，A∉α，B∈α，则下列结论正确的是 A.l∥α B.l与α相交 C.l⊂α D.以上都有可能 √ 因为A∈l，A∉α，所以l⊄α，又因为B∈l，B∈α，所以l与α相交.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.下列命题中正确的是 A.两个平面可以有且仅有一个公共点 B.三条相互平行的直线必在同一个平面内 C.两两相交的三条直线一定共面 D.过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一 条直线，故A错误；对于B，如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，AB，DC，A1B1三条直线互相平行，但不共 面，故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错 误；对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，两两相交的三条直线AB，AD，AA1不共面，故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误；对于D，过不在同一直线上的三点有且仅有一个平面，故D正确.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)下图中图形的画法正确的是 √ √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 对于A，点A在表示平面的平行四边形内 部，表示点在面内，故A正确；对于B， 直线l在平面α外，则直线l与平面α平行(没 有交点)，或直线l与平面α相交(有一个交 点，记为P)，则所对应的图形如①所示. 故B错误；对于C，由B可知C正确；对于D，如图②所示，三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形，故D错误.故选AC. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.下列命题中，正确的是 A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点 B.两个平面相交，可以只有一个公共点 C.三角形是平面图形 D.四边形是平面图形 √ 对于A，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故A错 误；对于B，两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公 共点，故B错误；对于C，三角形是一个平面图形，故C正 确；对于D，如图四边形ACSB不是平面图形，故D错误.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D(点D不同于A，B，C)，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过 A.点A B.点B C.点C，但不过点D D.点C和点D √ 对于A、B，假设A∈β，又A∈α，则A∈α∩β.又α∩β＝l，所以A∈l.又A∈AB，所以A∈AB∩l，与AB∩l＝D矛盾，则A∉β，即平面γ，β的交线不过点A，故A错误；同理B错误；对于C、D，因为C∈β，C∈γ，D∈l⊂β，D∈AB⊂γ，所以C∈β∩γ，D∈β∩γ，即点C，D在β与γ的交线上，故C错误，D正确.故选D. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若点A与直线l确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是点A_______直线l(用“∈”“∉”“⊂”填空). ∉ 直线与直线外的一点可以确定一个平面，所以点A与直线l的位置关系是点A∉l. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.A，B，C是直线l上的三点，点D，E不在l上，那么由A，B，C，D，E五点，最多可确定_______个平面. 5 由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面，故由题意知A，B，C，D，E五点最多可确定平面ADE，平面BDE，平面CDE，平面ACD，平面ACE，共5个平面. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1与平面A1BCD1的交线是________所在的直线. BD1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，B∈平面ABC1D1， D1∈平面ABC1D1，且B∈直线BD1，D1∈直线BD1，因此直 线BD1⊂平面ABC1D1，同理直线BD1⊂平面A1BCD1，所以平 面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线. 证明：如图所示，因为AC∥BD， 所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD. 因为l∩α＝O，所以O∈α. 又因为O∈AB，AB⊂β，所以O∈β， 所以O∈CD， 所以O，C，D三点共线. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.下列命题是真命题的是 A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B.若四点不共面，则其中任意三点不共线 C.在空间中，四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是 菱形 D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可 能相交或重合，故A错误；对于B，若四点不共面，则其 中任意三点不共线，故B正确；对于C，在空间中，四边 形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 或空间四边形，故C错误；对于D，如图所示，三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，故D错误.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论正确的是 A.A，M，O三点共线 B.M，O，A1，A四点共面 C.B，B1，O，M四点共面 D.A，O，C，M四点共面 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为AA1∥CC1，则A，A1，C1，C四点共面.因为M ∈A1C，则M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，则点 M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O，A 也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M， O三点共线，M，O，A1，A四点共面，故A、B正确；B，B1，O三点均在平面BB1D1D内，而点A不在平面BB1D1D内，所以直线AO与平面BB1D1D相交且点O是交点，所以点M不在平面BB1D1D内，即B，B1，O，M四点不共面，故C错误；点M在直线A1C上，点O在直线A1C1上，所以A，O，C，M四点都在平面ACC1A1上，所以A，O，C，M四点共面，故D正确.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线_______上. BD 由题意，M∈EH且M∈FG，因为点E，H分别在AB， AD上，而AB，AD是平面ABD内的直线，所以E∈平 面ABD，H∈平面ABD，所以直线EH⊂平面ABD，所 以M∈平面ABD.同理可证M∈平面BCD，因此点M在 平面ABD与平面BCD的交线上.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以点M∈直线BD，如图所示. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面________与平 面__________的公共点(答案不唯一)； 解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示. 设AC与BD的交点为O，O必为平面A1AC与平面B1BDD1的公共点(答案不唯一). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)画出平面A1BCD1与平面B1BDD1的交线. 解：如图：平面A1BCD1与平面B1BDD1的交线为BD1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)有下列四个说法： ①若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域. 其中错误说法的序号是__________. ②③ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于①，由A，B，C三点不共线可得确定一个平面，所以α与β重合，故①正确；对于②，四边形可能是空间四边形，故②错误；对于③，三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面，若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱 锥P-ABC中，如图①所示，PA，PB，PC可 确定出平面PAB，平面PAC，平面PBC，故 ③错误； 对于④，平面可以无限延展，如图②所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，故④正确；故答案为②③. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD， S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面 SAC的交线. 解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点， 即点S在平面SBD和平面SAC的交线上.由于AB＞CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示， 因为E∈AC，AC⊂平面SAC，所以E∈平面SAC. 同理，可证E∈平面SBD. 所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上. 连接SE，则直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3) 返回 $