第5章 复数 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了复数的概念、运算及几何意义，通过体系构建将复数的基本概念、代数形式四则运算、三角形式乘除运算及几何意义等核心内容串联，形成完整知识网络。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、直观想象核心素养为导向设计例题，如复数概念辨析题培养数学抽象能力，高考真题（2024新高考Ⅰ卷等）训练数学运算，复平面问题发展直观想象。分层例题设计让不同水平学生提升，助力教师精准复习教学。

章末整合提升　体系构建　素养提升 1 01 PART 体系构建 数学·必修第二册（BSD） 02 PART 素养培优 一、数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数 学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主 要体现在复数的基本概念中. 培优一｜复数的概念 【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋ （a∈R）是纯虚数，则a ＝（　C　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：∵a＋ ＝a＋ ＝a＋ ＝a－2－4i是纯虚数， ∴a－2＝0，即a＝2.故选C. C 数学·必修第二册（BSD） （2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝ （　C　） A. 或 B. 2或5 C. D. 5 C 解析：∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i， ∴ 解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜＝ ＝ .故选C. 数学·必修第二册（BSD） （3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋ 的虚 部为（　A　） A. 0 B. －1 C. 1 D. －2 解析：∵z＝1＋i，∴ ＝1－i，∴z2＋ ＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋ （－2i）＝0.故选A. A 数学·必修第二册（BSD） 二、数学运算 　　数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内 解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生 的数学运算核心素养. 数学·必修第二册（BSD） 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　C　） A. －1－i B. －1＋i C. 1－i D. 1＋i 解析：法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋ ＝1－i. 故选C. C 培优二｜复数的四则运算 法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝ ＝1 －i. 数学·必修第二册（BSD） （2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（ ＋z）＝（　A　） A. 10i B. 2i C. 10 D. 2 解析：因为z＝5＋i，所以 ＝5－i，所以i（ ＋z）＝10i，故选A. （3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝（　A　） A. －i B. i C. 0 D. 1 A A 解析：由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所以 ＝ i，所以 z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A. 数学·必修第二册（BSD） 培优三｜复数范围内解方程 【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； 解：原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0， 设方程的实数根为x0， 则 即 又θ是锐角，故θ＝ . 数学·必修第二册（BSD） （2）证明：对任意θ≠kπ＋ （k∈Z），方程无纯虚数根. 解：证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2－ （tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0， 即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0， 可得－b2＋b－2＝0，解得b＝ ， 与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 数学·必修第二册（BSD） 培优四｜复数三角形式的乘、除运算 【例4】　计算：（1）2 ×3（ cos ＋i sin ）； 解：原式＝6 ＝6 ＝6 ＝ ＋ i. （2）8（ cos 85°＋i sin 85°）÷[（ cos 25°＋i sin 25°）]. 解：原式＝4 [ cos （85°－25°）＋i sin （85°－25°）] ＝4 （ cos 60°＋i sin 60°）＝4 ＝2 ＋2 i. 数学·必修第二册（BSD） 三、直观想象 　　在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的几何 意义等问题中. 培优五｜复数的几何意义 【例5】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝ （　C　） A. 0 B. 1 C. D. 2 解析：若z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .故选C. C 数学·必修第二册（BSD） （2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位 于（　A　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 解析：∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i） 在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内 对应的点在第一象限.故选A. 数学·必修第二册（BSD） 【例6】　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的 复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：由题意得 ＝（2，3）， ＝（3，2）， ＝（－2，－3）. 设 ＝（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（－5，－5）. 由题意知， ＝ ，所以 则 故点D对应的复 数为－3－2i. 数学·必修第二册（BSD） 培优六｜复数中的证明问题 【例7】　设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证： 是纯虚数. 证明：法一　设z＝a＋bi（a，b∈R）， 由｜z｜＝1得a2＋b2＝1，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ i. 由｜z｜＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1， ∴ 为纯虚数. 数学·必修第二册（BSD） 法二　∵｜z｜＝1，∴z· ＝1. ∴ ＝ ＝ ＝－ ＝－ . ∵z≠±1，∴ ≠0.∴ 是纯虚数. 数学·必修第二册（BSD） $