第1章 三角函数 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 01 PART 体系构建 数学·必修第二册（BSD） 02 PART 素养培优 一、数学运算 　　在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题 进一步培养学生的数学运算核心素养. 培优一｜三角函数的定义域、值域问题 【例1】　（1）函数y＝ 的定义域为 　 ， ，值域为 ⁠； ， k∈Z ​ 数学·必修第二册（BSD） 解析：要使函数y＝ 有意义，则 cos x－ ≥0，即 cos x≥ .解得 2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z. 故函数的定义域为 ， k∈Z. 又 ∴0≤ ≤ ，即函数的值域为 . 数学·必修第二册（BSD） （2）求函数y＝－2 sin ＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值. 解：∵x∈[0，π]，∴x＋ ∈ ， ∴－ ≤ sin ≤1. ∴当 sin ＝1，即x＝ 时，y取得最小值1； 当 sin ＝－ ，即x＝π时，y取得最大值4. 故函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为4，最小值为1. 数学·必修第二册（BSD） 培优二｜利用三角函数的性质求最值 【例2】　（1）若y＝ ，则ymax＝ ，ymin＝ 　​ 　； 解析：∵y＝ ，∴（2＋ cos x）y＝2－ cos x，得（y＋1） cos x＝2 －2y，∴ cos x＝ .又∵－1≤ cos x≤1，∴－1≤ ≤1，解得 ≤y≤3，即ymax＝3，ymin＝ . 3 ​ 数学·必修第二册（BSD） （2）已知函数y＝a sin ＋b在x∈ 上的值域为[－5，1]， 求a，b的值. 解：∵x∈ ， ∴2x＋ ∈ ， sin ∈ . ∴当a＞0时， 解得 当a＜0时， 解得 ∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1. 数学·必修第二册（BSD） 培优三｜化简求值问题 【例3】　（1）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重 合，它的终边过点P ，则 sin （α＋π）＝ 　​ 　； 解析：由角α的终边过点P ，得 sin α＝－ ，∴ sin （α＋π）＝ － sin α＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） （2）化简 . 解：原式＝ ＝ ＝1. 数学·必修第二册（BSD） 培优四｜利用三角函数性质求值 【例4】　（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）＋b（ω ＞0）的最小正周期为T. 若 ＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点 中心对称，则f ＝（　　） A. 1 B. C. D. 3 √ 数学·必修第二册（BSD） 解析：　因为 ＜T＜π，所以 ＜ ＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f （x）的图象关于点 中心对称，所以b＝2，且 sin ＋b ＝2，即 sin ＝0，所以 ω＋ ＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所 以 ＜ ω＋ ＜ ，所以 ω＋ ＝4π，解得ω＝ ，所以f（x）＝ sin ＋2，所以f ＝ sin ＋2＝ sin ＋2＝1.故选A. 数学·必修第二册（BSD） 二、逻辑推理 　　逻辑推理在本章中主要体现在任意角的三角函数的定义、有关弧长和 面积的计算、图象变换、三角函数式的化简与证明等问题中. 数学·必修第二册（BSD） 培优五｜三角函数的定义及有关弧长、面积的计算 【例5】　（1）若－ ＜α＜0，则点P（tan α， cos α）位于（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：因为－ ＜α＜0， 所以tan α＜0， cos α＞0， 所以点P（tan α， cos α）位于第二象限. B 数学·必修第二册（BSD） （2）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作正三角形的渐开线，其中 弧 、弧 、弧 的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线 CDEF的长是 ，曲线CDEF围成图形的面积是 ⁠. 4π π 数学·必修第二册（BSD） 解析：因为∠DAC＝∠DBE＝∠ECF＝120°＝ ，所以弧 的长是 ×1＝ ，S扇形ACD＝ × ×1＝ ，弧 的长是 ×2＝ ，S扇形BDE＝ × ×2＝ ，弧 的长是 ×3＝2π，S扇形CEF＝ ×2π×3＝3π，则曲 线CDEF的长是 ＋ ＋2π＝4π；面积为 ＋ ＋3π＝ π. 数学·必修第二册（BSD） 培优六｜三角函数式的化简或恒等式的证明 【例6】　已知A，B，C为△ABC的内角.若 cos （ ＋A）· sin （ ＋ B） ＜0，求证：△ABC为钝角三角形. 数学·必修第二册（BSD） 证明：∵ cos （ ＋A） sin （ π＋B） ＜0， ∴（－ sin A）（－ cos B） ＜0， 即 sin A cos B ＜0，又∵A，B，C∈（0，π）， ∴ sin A＞0， sin C＞0，∴ ＜0， 即 cos B＜0， cos C＞0或 cos B＞0， cos C＜0， ∴B为钝角或C为钝角， ∴△ABC为钝角三角形. 数学·必修第二册（BSD） 培优七｜三角函数图象的变换 【例7】　（2022·全国甲卷5题）将函数f（x）＝ sin （ω＞0）的 图象向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小 值是（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（BSD） 解析：　记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝ sin ＝ sin ［ωx＋ ］.因为函数g（x）的图象关于y轴对称， 所以 ω＋ ＝kπ＋ （k∈Z），得ω＝2k＋ （k∈Z）.因为ω＞0，所以 ωmin＝ .故选C. 数学·必修第二册（BSD） 三、直观想象 　　在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用问题中. 培优八｜三角函数图象的识别 【例8】　〔多选〕如图是函数y＝ sin （ωx＋φ）的部分图象，则 sin （ωx＋φ）＝（　　） A. sin B. sin C. cos D. cos √ √ 数学·必修第二册（BSD） 解析：　由题图可知，函数的最小正周期T＝2（ － ）＝π，∴ ＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝ sin （2x＋φ），将点（ ，0）代入得， sin （2× ＋φ）＝0，∴2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋ ，k∈Z，故y＝ sin （2x＋ ）.由于y＝ sin （2x＋ ）＝ sin ＝ sin （ －2x），故选项B正确；y＝ sin （ －2x）＝ cos ＝ cos （2x＋ ），选项C正确；对于选项A，当x＝ 时， sin （ ＋ ）＝1≠0，错误； 数学·必修第二册（BSD） 对于选项D，当x＝ ＝ 时， cos （ －2× ）＝1≠－1，错误； 当ω＝－2时，y＝ sin （－2x＋φ），将（ ，0）代入，得 sin （－2× ＋φ）＝0，结合函数图象，知－2× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝ ＋ 2kπ，k∈Z，∴y＝ sin （－2x＋ ），但当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，与图象不符合，舍去.综上，选B、C. 数学·必修第二册（BSD） 培优九｜三角函数图象的应用 【例9】　已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则 f ＝ 　－ 　. － 数学·必修第二册（BSD） 解析：由题图可知 T＝ － ＝ （T为f（x）的最小正周期），即T ＝π，所以 ＝π，即ω＝2，故f（x）＝2 cos （2x＋φ）.点 可看 作“五点作图法”中的第二个点，故2× ＋φ＝ ，得φ＝－ ，即f（x） ＝2 cos ，所以f ＝2 cos （ 2× － ）＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 【例10】　（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 解析：　因为函数y＝ sin x的最小正周期为T＝ 2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周期为T＝ ，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ） 的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出 两函数图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个 交点.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 四、数学建模 　　在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用中. 培优十｜三角函数模型的应用 【例11】　历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割 圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位 圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边 形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方 法，π的近似值的表达式是（　　） A. 3n B. 6n C. 3n D. 6n √ 数学·必修第二册（BSD） 解析：　连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分 割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为 ＝ ，底角均为 ＝90°－ ，所以等腰三角形的底边 长均为2 cos ＝2 sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长 为6n×2 sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n 数学·必修第二册（BSD） 边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为 ＝ ，顶角的一半均为 ，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈ ＝6n× sin ＋6n×tan ，所以π≈3n× sin ＋3n×tan ＝3n ，故选A. 数学·必修第二册（BSD） $