第5章 2.2 复数的乘法与除法 2.3 复数乘法几何意义初探-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的乘法与除法运算，通过情境导入问题“复数是否满足实数运算律”，衔接实数运算知识，构建从实数到复数的学习支架，系统讲解运算法则、几何意义及实系数一元二次方程解法。 其亮点在于融合数学运算、直观想象与数学抽象核心素养，通过欧拉公式拓展视野，题型分类清晰（如i的周期性应用），通性通法总结到位。学生能提升运算能力与几何直观，教师可借助系统例题与分层作业优化教学。

2.2　复数的乘法与除法 *2.3　复数乘法几何意义初探 1 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算（数学运算）. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律（数学抽象）. 3.了解复数乘法的几何意义（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 拓视野　欧拉公式及其应用　能力提升 03 目录 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R 时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足am·an＝am＋ n，（am）n＝amn，（ab）n＝an·bn，其中m，n均为正整数. 【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　复数的乘法运算及乘法的几何意义 1. 复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它 们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ ⁠ ⁠. 特例：若z＝a＋bi（a，b∈R），则z· ＝｜z｜2＝｜ ｜2＝a2＋b2. （ac－bd）＋ （ad＋bc）i　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 幂的运算 设复数z，z1，z2和正整数m，n，则zm·zn＝zm＋n；（zm）n＝zmn； （z1·z2）n＝ · . 一般地，n∈N，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝ ⁠ 结合律 （z1·z2）·z3＝ ⁠ 乘法对加法的 分配律 z1·（z2＋z3）＝ ⁠ z2·z1　 z1·（z2·z3）　 z1·z2＋z1·z3　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为 . （1）若z2＝（a＋bi）·c（c＞0）所对应的向量为 ，则 是将 沿原方向伸长（c＞1）或压缩（0＜c＜1） 倍得到的； （2）z3＝（a＋bi）·i所对应的向量为 ，则 是将 ⁠时针 旋转 得到的. c　 逆　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 两个虚数的积一定是虚数吗？ 提示：不一定.如z· ＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2是实数. 2. 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为 ，若z2＝（a＋ bi）（－i）对应的向量是 ，那么向量 与 有何关系？ 提示： 是由 顺时针旋转 得到的. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　复数的除法运算 复数的除法法则 ＝ 　 － i　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）. － i　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点三　实系数一元二次方程的解法 1. 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R）在复数范围内的解集 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R），则当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根，x1＝ ，x2＝ ； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－ ； 当Δ＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1＝ ，x2＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 根与系数的关系 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，那么 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个共轭复数的和与积是实数. （　√　） （2）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在第四 象限. （　√　） （3）若z1，z2∈C，且 ＋ ＝0，则z1＝z2＝0. （　×　） （4）（zn）m＝zmn. （　√　） √ √ × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（　　） A. 6－4i B. －6－4i C. 6＋4i D. －6＋4i √ 解析：　原式＝（12＋2i＋i2）（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝4i－6. 3. 已知复数z＝ （i是虚数单位），则｜z｜＝ 　​ 　. 解析：｜z｜＝ ＝ ＝｜i＋2｜＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜复数的乘法运算 【例1】　计算： （1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）； 解：（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i）（－2＋i）＝－20＋15i. （2）（3＋4i）（3－4i）； 解：（3＋4i）（3－4i）＝32－（4i）2＝9－（－16）＝25. （3）（1＋i）2. 解：（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公 式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（　　） A. 2－13i B. 13＋2i C. 13－13i D. －13－2i 解析：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的 取值范围是（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞） 解析：　因为z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平 面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以 解得a＜－1. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜复数除法的运算 【例2】　计算：（1） ； 解： ＝ ＝－ ＋ i. （2） ＋ . 解：原式＝［ ］6＋ ＝i6＋ ＝－ 1＋i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 复数的除法法则 通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与 “分母有理化”类似. 2. 复数四则运算的常用技法 （1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，再算加减； （2）三个或三个以上的复数相乘时可按从左到右的顺序运算或利用结合 律运算，混合运算和实数运算顺序一致； （3）若运算式符合公式可直接运用公式计算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 设复数z满足 ＝i，则｜z｜＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　由 ＝i得1＋z＝i（1－z），即z＝ ＝ ＝ ＝i，｜z｜＝1. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 计算：（1） ；（2） . 解：（1） ＝ ＝ ＝1－i. （2） ＝ ＝ ＝－1－3i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜i的乘方的周期性及应用 【例3】　（1）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　A　） A. i B. －i C. 1 D. －1 解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i.故选A. （2）计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝ ⁠. A 解析：因为i1＋i2＋i3＋i4＝0， 所以i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝（i1＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋… ＋（i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024）＋i2 025＝i. i 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3 时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　计算： ＋ . 解：∵ ＝ ＝ ＝i，∴ ＝ ＝－i，而i4＝（－i）4＝1， ∴ ＋ ＝i2 024＋（－i）2 025＝i2 024＋（－i）2 024×（－i） ＝1－i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜实系数一元二次方程根的求解 【例4】　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根（b，c为实数）. （1）求b，c的值； 解：∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0，即（b＋c）＋（2＋b）i＝0. ∴ 解得 ∴b＝－2，c＝2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）试判断1－i是否是方程的根. 解：将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝（1－i） 2－2（1－i）＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判断 （1）当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根； （2）当Δ＝0时，方程有两个相同的实数根； （3）当Δ＜0时，方程有两个共轭的虚数根. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值. 解：由题意，得Δ＝k2－4（k2－2k）＝－3k2＋8k＜0⇒k＜0或k＞ ， 设两根为z1，z2，则z2＝ ，｜z2｜＝｜z1｜＝1， 所以由实系数一元二次方程根与系数的关系，可得z1·z2＝k2－2k＝1， 解得k1＝1－ ，k2＝1＋ . 又k＜0或k＞ ，所以k＝1－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m的值为 （　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析：　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得 解得m＝1. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知z＝ ，则z－ 等于（　　） A. －i B. i C. 0 D. 1 解析：　因为z＝ ＝ ＝ ＝－ i，所以 ＝ i，即z－ ＝－i.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　） A. 2 B. 2 C. 4 D. 10 解析：　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜ ＝ ＝2 .故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 设 是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与 ＋2i对应的点关于 y轴对称，则 ＝（　　） A. －1＋i B. － － C. － D. － ＋ √ 解析：　设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2＝（a＋2）＋bi， ＋2i ＝a＋（2－b）i，因为复数z＋2与 ＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋ 2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i， ＝ ＝ ＝ ＝－ － i，故选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2 ，则t的值 为 ⁠. 解析：由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝ ＝ ＝ti（1－i） ＝t＋ti，因为｜z｜＝2 ，所以t2＋t2＝（2 ）2，解得t＝2或t＝－2. 2或－2 数学·必修第二册（BSD） 目 录 03 PART 拓视野 欧拉公式及其应用 目 录 　　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数 学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与 指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学 中的天桥”. 【问题探究】 【例1】　若复数z＝ 的共轭复数为 ，则 ＝ 　－ i　. 解析：欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R），则z＝ ＝ cos ＋i sin ＝－ ＋ i.根据共轭复数定义可知 ＝－ － i. － － i 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【例2】　求复数 ＋ 的模. 解：复数 ＋ ＝ cos ＋i sin ＋ cos ＋i sin ＝ ＋ i， 所以复数 ＋ 的模为 ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【迁移应用】 1. 复数z＝eiθ（θ∈R），z的共轭复数是 ，在复平面内，复数 对应的 点为Z0，A（－1，0）与B（0，1）为定点，则函数f（z）＝｜（z＋1） （ －i）｜取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是 （　　） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　∵z＝eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴（z＋1）（ －i）＝（ cos θ＋1＋i sin θ）（ cos θ－i sin θ－i）＝ cos 2θ－i sin θ cos θ－ i cos θ＋ cos θ－i sin θ－i＋i sin θ cos θ＋ sin 2θ＋ sin θ＝ （ cos θ＋ sin θ＋1）－i（ cos θ＋ sin θ＋1）， ∵f（z）＝｜（z＋1）（ －i）｜， ∴f（z）＝ ＝ ＝ ， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 当 sin ＝1时，f（z）取得最大值， 即当θ＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，即θ＝ ＋2kπ，k∈Z时，f（z）取最大值， 此时z＝ ＋ i， ＝ － i， 又∵A（－1，0），B（0，1）， ∴｜Z0A｜2＝ ＋ ＝2＋ ， ｜Z0B｜2＝ ＋ ＝2＋ ， 又｜AB｜2＝（－1－0）2＋（0－1）2＝2， ∴｜Z0A｜＝｜Z0B｜，且｜Z0A｜2＋｜Z0B｜2≠｜AB｜2， ∴该图形为等腰三角形.故选D. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 根据欧拉公式：eix＝ cos x＋i sin x（e为自然对数的底数，i为虚数单 位，x∈R）. （1）判断复数e3i在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由； 解：复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限. 理由如下： ∵e3i＝ cos 3＋i sin 3在复平面内对应的点为（ cos 3， sin 3）， 而 ＜3＜π，∴ cos 3＜0， sin 3＞0，∴点（ cos 3， sin 3）在第二象限， 故复数e3i在复平面内对应的点位于第二象限. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若eix＜0，求 cos x的值. 解：∵eix＝ cos x＋i sin x＜0，∴eix为负实数（虚数无法比较大 小），∴ 解得 cos x＝－1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 计算（1＋i）·（2＋i）＝（　　） A. 1－i B. 1＋3i C. 3＋i D. 3＋3i 解析：（1＋i）（2＋i）＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 复数z＝ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：∵z＝ ＝ ＝ － i，∴复数z在复平面内对应的点 是 ，位于第四象限.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 设复数z满足（1＋i）z＝i2 024，则复数 的虚部为（　　） A. － B. C. i D. － i 解析：　i2 024＝i506×4＝1，所以z＝ ＝ ＝ － i.所以 ＝ ＋ i，其虚部为 ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜等于（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析：　因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3 －3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝ ＝2 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下面是关于复数z＝ （i为虚数单位）的命题，其中真命题 为（　　） A. ｜z｜＝2 B. z2＝2i C. z的共轭复数为1＋i D. z的虚部为－1 解析：因为z＝ ＝ ＝－1－i，所以｜z｜＝ ，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕设复数z＝－ ＋ i，则以下结论正确的是（　　） A. z2≥0 B. z2＝ C. z3＝1 D. z2 025＝z 解析：∵z＝－ ＋ i，∴z2＝（－ ＋ i）2＝ － i－ ＝－ － i，故A错误；z2＝ ，故B正确；z3＝z2·z＝（－ － i）（－ ＋ i）＝ ＋ ＝1，故C正确；z2 025＝z3×675＝1，故D错误. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 设复数z＝1＋ i，则z2－2z＝ ⁠. 解析：z2－2z＝（1＋ i）2－2（1＋ i）＝1＋（ i）2＋2 i－2－ 2 i＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 复数 （i为虚数单位）的实部为 ⁠. 解析：由题意可得 ＝－3－i，－3－i的实部为－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0（a，c∈R）的一个根是2＋3i，则a －c＝ ⁠. 解析：由题意，得a（2＋3i）2＋（2＋3i）＋c＝0，即－5a＋2＋c＋ （12a＋3）i＝0.由复数相等的充要条件，得 解得 所以a－c＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 计算： （1）（1－i） （1＋i）； 解：原式＝（1－i）（1＋i） ＝（1－i2） ＝2 ＝－1＋ i. （2）（1＋i）2 024； 解：原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1012＝ 21 012·（i2）506＝21 012. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3） . 解： ＝ ＝ ＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知复数z满足（1－i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确 的是（　　） A. ｜z｜＝ B. 复数z的共轭复数 ＝1－i C. 复平面内表示复数z的点位于第二象限 D. 复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由（1－i）z＝2i，得z＝ ＝ ＝－1＋i.∴｜z｜＝ ； ＝－1－i；复平面内表示复数z的点的坐标为（－1，1），位于第二象限.∵（－1＋i）2＋2（－1＋i）＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，∴复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕下列四个命题正确的是（　　） A. 若复数z满足 ∈R，则z∈R B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R C. 若复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜，则z1· ＝z2· D. 若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R. ＝ ＝ ，若 ∈R，则b＝0，即z＝a为实数，故A正确；z2＝a2－b2＋2abi，若z2∈R，则2ab＝0⇒a＝0或b＝0，若a＝0，b≠0，则z∉R，故B错误；｜z1｜＝｜z2｜⇒ ＋ ＝ ＋ ，z1· ＝ ＋ ，z2· ＝ ＋ ，故z1· ＝z2· ，故C正确；z1·z2＝（a1＋b1i）（a2＋b2i）＝（a1a2－b1b2）＋（a1b2＋a2b1）i，若z1·z2∈R，则a1b2＋a2b1＝0，无法得到z1＝ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两根分别为x1，x2，且满足｜x1－ x2｜＝3，则实数m的值为 ⁠. 解析：Δ＝25－4m，①若Δ≥0，即m≤ ，则｜x1－x2｜＝ ＝ ＝3，解得m＝4；②若Δ＜0，即m＞ ，则x1＝ ，x2＝ ，所以｜x1－x2｜＝ ＝ 3，解得m＝ .综上，m＝4或 . 4或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）在复 平面内对应的点位于第一象限，其中i为虚数单位. （1）求复数z； 解：设z＝a＋bi（a，b∈R）， 则z＋2i＝a＋（b＋2）i， ∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2， ∴ ＝ ＝ ＝ ＋ i， ∵ 为实数，∴ ＝0， 解得a＝4.∴z＝4－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求实数x的取值范围. 解：∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且复数（z＋xi）2在复平面内对应的点位于第一象限，∴ 解得2＜x＜6.即实数x的取值范围是（2，6）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已 知z＝ ＋bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（　　） A. a－5b＝0 B. 3a－5b＝0 C. a＋5b＝0 D. 3a＋5b＝0 解析：因为z＝ ＋bi＝ ＋bi＝ ＋ i.由题意 知， ＝－ －b，则3a＋5b＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 从①｜z｜＝ ，且z2的虚部是2；②z＝ ；③c ＝ ，z为c的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线上并作 出解答. 已知i为虚数单位，复数z满足 　　　　，设z，z2，z－z2在复平面内对应 的点分别为A，B，C，求△ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：选①.设z＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a2－b2＋2abi. 由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以z＝1＋i或z＝－1－i. 当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝ ×2×1＝1. 当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3）， 所以S△ABC＝ ×2×1＝1. 因此，选①时△ABC的面积为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 选②.z＝ ＝ ＝1＋i， 所以z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝ ×2×1＝1. 因此，选②时△ABC的面积为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 选③.c＝ ＝ ＝1－i，其共轭复数z＝1＋i， 所以z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1）， 所以S△ABC＝ ×2×1＝1. 因此，选③时△ABC的面积为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $