第5章 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的三角表示式及乘除运算几何意义，通过“复数z=1+√3i”情境导入，引导学生从坐标、向量入手探究模与辐角关系，搭建代数形式到三角形式的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过向量旋转实例（如将√3 - i对应向量旋转30°）直观呈现几何意义，结合分层训练（基础落实、典例研析、课时作业）培养直观想象与数学运算素养，助力学生深化理解，便于教师系统教学。

3.1　复数的三角表示式 3.2　复数乘除运算的几何意义 1 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z. 【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ； （2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的 一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋ i的实 部、虚部之间的关系. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　复数的三角形式 1. 辐角 以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线为终边的角 θ，称为复数z＝a＋bi的辐角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 复数的三角形式 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的三角形式为z＝ ⁠ ，其中r＝ ， cos θ＝ ， sin θ＝ . 3. 辐角的主值：将满足条件 的辐角值，称为辐角的主值， 记作 .当a＞0时，arg a＝0，arg（－a）＝π，arg（ai）＝ ，arg （－ai）＝ π. r（ cos θ＋i sin θ）　 0≤θ＜2π　 arg z　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）的辐角唯一吗？ 提示：z的辐角有无穷多个值，这些值相差2π的整数倍. 2. 复数0的辐角是多少，辐角主值是多少？ 提示：0的辐角是任意角，辐角主值是[0，2π）内任一角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　复数三角形式乘除运算及几何意义 1. 复数三角形式的乘法法则及几何意义 （1）乘法法则：r1（ cos θ1＋i sin θ1）·r2（ cos θ2＋i sin θ2） ＝ .这就是说，两个复数相 乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和. r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）几何意义：如图，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应 的向量 ， ，然后把向量 绕原点O按逆时针方向旋转角θ2（若 θ2＜0，就要把 绕原点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模 变为原来的r2倍，所得向量 就表示复数z1·z2的乘积. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 复数三角形式的除法法则 ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　，这就 是说，两个复数相除，商的模等于 的模除以 的模，商 的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　 被除数　 除数　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 在进行复数三角形式乘除运算时，其辐角一定是辐角主值吗？ 提示：不一定.辐角θ可以是辐角主值也可以是其他辐角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任意一个复数都有三角形式. （　√　） （2）复数的三角形式也可以进行四则运算. （　×　） （3）任何一个非零复数的辐角有无数多个，任意两个辐角相差2π的整数倍. （　√　） （4）arg（z1z2）＝arg（z1）＋arg（z2）. （　×　） √ × √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. × ＝（　　） A. 1 B. －1 C. i D. －i 解析：　 × ＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ＝i.故选C. √ 3. 当a＜0时，arg（ai）＝ ，arg a＝ ⁠. ​ π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 （1） －i； 解：r＝ ＝2， 所以 cos θ＝ ， 对应的点在第四象限， 所以arg（ －i）＝ ， 故 －i＝2 . 题型一｜复数的代数形式化为三角形式 【例1】　将下列复数代数形式化成三角形式： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）－1－i. 解：r＝ ＝ ， 所以 cos θ＝－ ， 对应的点在第三象限， 所以arg（－1－i）＝ ， 故－1－i＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 下列复数是复数三角形式表示的是（　　） A. B. － C. D. cos π＋i sin π 解析：选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，是i sin π与 cos π用“＋”连接而不是i cos ＋ sin π的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 将复数的三角形式 转化为代数形式. 解： ＝ ［ cos ＋i sin （π＋ π）］＝ ＝ ＝1－i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜复数的三角形式化为代数形式 【例2】　复数z＝ 化为代数形式为（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i 解析：　z＝ ＝ sin ＋ i＝ × ＋ × i＝ － i. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式z＝r（ cos A＋i sin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚 部，即x＝r cos A，y＝r sin A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 复数 的代数形式为 ⁠. 解析： ＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋ π）］ ＝ ＝ ＝1－i. 1－i 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜复数三角形式的乘、除运算 【例3】　计算： （1）2 × ； 解：2 × ＝2 ＝－2 i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） . 解：原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－25°）] ＝3 （ cos 135°＋i sin 135°） ＝3 ＝－3＋3i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　在进行复数三角形式的乘法、除法运算时，注意先将复数化为三角形 式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用 三角形式表示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 计算： . 解： ＝ ＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋ θ2的值. 解：∵z1＝4＋4i＝4 ， z2＝－1－i＝ ， ∴z1z2＝4 （ cos ＋i sin ）×［ （ cos ＋i sin ）］ ＝8 ＝8 ， ∴θ1＋θ2＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺时针 方向旋转 ，求所得向量对应的复数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：因为3－ i＝2 ＝2 . 所以2 × ＝2 ＝2 ＝2 ＝3＋ i， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2 （ cos π＋i sin π）×［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］ ＝2 ＝2 ＝－2 i. 故把复数3－ i对应的向量按逆时针旋转 得到的复数为3＋ i，按顺时 针旋转 得到的复数为－2 i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用复数三角形式的几何意义求积、商的步骤 （1）先画出两个复数z1，z2对应的向量 ， ； （2）求积（商）的幅角：把向量 ，绕点O按逆时针方向旋转θ2（θ2 ＜0时，则按顺时针方向旋转｜θ2｜）； （3）求积（商）的模：积的模为r1r2，商的模为 ； （4）z1·z2＝r1·r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]； ＝ [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转 ， 然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数. 解： ＋ i＝ ， 由题意得 （ cos ＋i sin ）×［2（ cos ＋i sin ）］＝ ×2 ＝3 ＝3i，即与所得向量对应的复数为3i. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 复数1－ i的辐角的主值是（　　） A. π B. π C. π D. 解析：　因为1－ i＝2 ＝2（ cos π＋i sin π），所以1－ i 辐角的主值为 π. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 复数（ cos 10°＋i sin 10°）（ cos 20°＋i sin 20°）的三角形式是 （　　） A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160° C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160° 解析：　（ cos 10°＋i sin 10°）（ cos 20°＋i sin 20°） ＝ cos 30°＋i sin 30°.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 设z＝ －i，对应的向量为 ，将 绕点O按逆时针方向旋转 30°，则所得向量对应的复数为 ⁠. 解析：根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：（ －i） （ cos 30°＋i sin 30°）＝（ －i）（ ＋ i）＝2. 4. ＝ 　 i　. 2 解析： ＝ cos （75°－15°）＋i sin （75°－15°）＝ cos 60°＋i sin 60°＝ ＋ i. ＋ i 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 如果非零复数有一个辐角为－ ，那么该复数的（　　） A. 辐角唯一 B. 辐角主值唯一 C. 辐角主值为－ D. 辐角主值为 解析：　一个复数有无数个辐角，它们之间相差2kπ，k∈Z，A错，D 错；∵辐角主值的范围是[0，2π），∴任何一个复数都有唯一的辐角主 值，B对，C错，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 将复数4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］化成代数形式，正确的是（　　） A. 4 B. －4 C. 4i D. －4i 解析：　4［ cos （－ ）＋i sin （－ ）］＝4[0＋i·（－1）]＝－4i，故 选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）3的三角形式为（　　） A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 240°＋i sin 240° C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 240°＋i cos 240° 解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）3＝（ cos 80°＋i sin 80°）3＝ cos 240°＋i sin 240°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是（　　） A. ＋ i B. － ＋ i C. － － i D. － i 解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得到 ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. ＝（　　） A. ＋ i B. － i C. ＋ i D. － i 解析：　 ＝ ＝ cos （0°－60°）＋i sin （0°－60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则 （　　） A. p⇒q B. p q C. q⇒p D. q p 解析：当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，q p.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　. 解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i. 1＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 在复平面内，将复数 ＋i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°， 则所得向量对应的复数为 ⁠. 解析：由题意知，（ ＋i）×（ cos 90°＋i sin 90°）＝2（ cos 30°＋i sin 30°）×（ cos 90°＋i sin 90°）＝2（ cos 120°＋i sin 120°）＝－1 ＋ i.即所得向量对应的复数为－1＋ i. －1＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 计算 ＝ 　 ＋ i　. 解析： ＝ cos （40°－10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝ ＋ i. ＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 计算： （1）2 × ； 解：原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝ ＝－ ＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） . 解：原式＝ ＝2 ＝2 ＝－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角的主 值是（　　） A. θ＋ B. θ＋ 解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ · （ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］，∵θ∈ ， ∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋ .故选B. C. θ－ D. θ＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. （ cos ＋i sin ）n＝ cos －i sin ，则n＝（　　） A. 3 B. 12 C. 6k－1（k∈Z） D. 6k＋1（k∈Z） 解析：　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝ cos －i sin ，由复数相等的定义，得 解得 ＝2kπ－ （k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 复数z＝（a＋i）2的辐角主值为 ，则实数a＝ ⁠. 解析：由于复数z的辐角主值为 ， 故z＝r（ cos ＋i sin ）＝－ir， 又z＝（a＋i）2＝a2－1＋2ai， 所以a2－1＋2ai＝－ir， 所以a2－1＝0，2a＝－r，故a＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足 ＝z1z3且z2 ＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3. 解：设z1＝ cos α＋i sin α， z2＝ cos β＋i sin β， z3＝ cos γ＋i sin γ， 则由z2＋iz3－i＝0， 可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 利用 cos 2β＋ sin 2β＝1，解得 所以z3＝ . 当z3＝ 时， z2＝－i（z3－1）＝ ，z1＝ ＝1； 当z3＝ 时， z2＝－i（z3－1）＝ ，z1＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是 ＋ i和2，则点C所表示的复数为 　2＋ i　. 2＋ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：∵A，B所表示的复数分别是 ＋ i和2， ∴ 所表示的复数为 － i，把 逆时针旋转60°得到 ， 对应的 复数为（ － i）·（ cos 60°＋i sin 60°）＝ ＋ i， 又 ＝ ＋ ， ＋ i＋ ＋ i＝2＋ i， 即点C对应的复数是2＋ i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知非零复数z满足｜z－i｜＝1，且arg z＝θ，求： （1）θ的取值范围； 解：因为｜z－i｜＝1，所以如图①所示，z的对应点P在以（0，1）为圆心，半径为1的圆上. 又z为非零复数，因此可知，θ∈（0，π）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）复数z的模（用θ表示）； 解：如图②，在Rt△AOP中， ∠OAP＝∠POx＝θ. 又｜OA｜＝2，易知｜z｜＝｜OP｜＝2 sin θ， 当θ为直角或钝角时，仍有｜z｜＝2 sin θ， 故｜z｜＝2 sin θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：因为｜z－i｜＝1， 所以结合同角三角函数关系， 可设z－i＝ cos φ＋i sin φ（φ∈R）. 于是z2－zi＝z（z－i）， 注意到z＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ）， z－i＝ cos φ＋i sin φ， 则知z2－zi＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ）·（ cos φ＋i sin φ）＝2 sin θ[ cos （θ＋φ）＋i sin （θ＋φ）]. （3）复数z2－zi的辐角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 又 cos φ＋i sin φ＝z－i ＝2 sin θ（ cos θ＋i sin θ）－i ＝2 sin θ cos θ＋i（2 sin 2θ－1） ＝ sin 2θ－i cos 2θ ＝ cos （2θ－ ）＋i sin （2θ－ ）， 所以φ＝2kπ＋2θ－ （k∈Z）. 从而可得θ＋φ＝2kπ＋3θ－ （k∈Z）. 故z2－zi的辐角为2kπ＋3θ－ （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $