第4章 三角恒等变换 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学三角函数单元复习课件系统梳理了三角函数的性质、三角恒等变换、化简证明及实际应用，通过知识框架图将逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养与知识点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于聚焦逻辑推理、数学运算、数学建模三大核心素养，设计“性质分析-变换求值-实际建模”的递进式练习，如通过例1函数性质判断培养逻辑推理能力，结合2024年高考题提升数学运算素养，以农田大棚面积问题发展数学建模思维。这种分层设计满足不同学生需求，助力教师高效开展针对性复习。

章末整合提升　体系构建　素养提升 1 01 PART 体系构建 数学·必修第二册（BSD） 02 PART 素养培优 一、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的 思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数的性质及三角函数式的 化简与证明中. 培优一｜三角函数的性质 【例1】　（1）函数f（x）＝ sin ＋ cos 的最小正周期和最大值分别是 （　C　） A. 3π和 B. 3π和2 C. 6π和 D. 6π和2 C 数学·必修第二册（BSD） 解析：因为函数f（x）＝ sin ＋ cos ＝ （ sin ＋ cos ）＝ （ sin cos ＋ cos sin ）＝ sin ，所以函数f（x）的最小正周 期T＝ ＝6π，最大值为 .故选C. 数学·必修第二册（BSD） （2）函数f（x）＝ cos x－ cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值（　D　） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为 解析：由题意，f（－x）＝ cos （－x）－ cos （－2x）＝ cos x－ cos 2x ＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝ cos x－ cos 2x＝－2 cos 2x ＋ cos x＋1＝－2 ＋ ，所以当 cos x＝ 时，f（x）取最大值 .故选D. D 数学·必修第二册（BSD） 培优二｜三角函数式的化简与证明 【例2】　化简： ＋ （π＜α＜ π）. 解：因为π＜α＜ π，所以 ＜ ＜ π， 所以 ＝ ｜ cos ｜＝－ cos ， ＝ ｜ sin ｜＝ sin ， 数学·必修第二册（BSD） 所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ cos . 数学·必修第二册（BSD） 【例3】　证明： （1＋tan xtan ）＝tan x. 证明：因为左边＝ （1＋tan xtan ） ＝ （1＋ ·tan ） ＝ sin x（1＋ ）＝ · ＝ · ＝ ＝tan x＝右边，所以原式成立. 数学·必修第二册（BSD） 二、数学运算 　　数学运算在本章中通过三角恒等变换与求值进一步培养学生的数学运 算核心素养. 培优三｜三角恒等变换与求值 【例4】　（1）（2024·全国甲卷8题）已知 ＝ ，则tan（α＋ ）＝（　B　） A. 2 ＋1 B. 2 －1 C. D. 1－ B 数学·必修第二册（BSD） 解析：根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以tan α＝1－ ， 所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，故选B. 数学·必修第二册（BSD） （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m， tan αtan β＝2，则 cos （α－β）＝（　A　） A. －3m B. － C. D. 3m 解析：因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝m，而tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－ 2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A. A 数学·必修第二册（BSD） 三、数学建模 　　数学建模在本章中主要体现在三角函数模型在物理及现实生活中的应 用中. 数学·必修第二册（BSD） 培优四｜三角函数模型在现实生活中的应用 【例5】　某农场有一块农田，如图所示，它的边界由 圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段 MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离 为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.用θ分别表示出矩形ABCD和△CDP的面积，并确定 sin θ的取值范围. 数学·必修第二册（BSD） 解：如图所示，设PO的延长线交MN于H，则 PH⊥MN，所以OH＝10. 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN， 所以∠COE＝θ， 故OE＝40 cos θ，EC＝40 sin θ， 则矩形ABCD的面积为2×40 cos θ（40 sin θ＋10）＝800（4 sin θ cos θ＋ cos θ）， △CDP的面积为 ×2×40 cos θ（40－40 sin θ）＝1 600（ cos θ－ sin θ cos θ）. 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK＝KN＝10. 数学·必修第二册（BSD） 连接OG，令∠GOK＝θ0，则 sin θ0＝ ＜ ，可知θ0∈ . 当θ∈ 时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以 sin θ的取值范围是 . 故矩形ABCD的面积为800（4 sin θ cos θ＋ cos θ）平方米，△CDP的面 积为1 600（ cos θ－ sin θ cos θ）平方米， sin θ的取值范围是 . 数学·必修第二册（BSD） $