第4章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦、正切公式及应用，通过“思想的自行车”类比情境导入，引导学生用类比法推导公式，衔接已学余弦公式，构建知识支架，帮助理解公式来源与内在联系。 其亮点在于以逻辑推理为主线，通过给角化简求值、给值求值等典例解析，结合拆角拼角等通性通法总结，强化数学运算能力，搭配自我诊断和跟踪训练，培养学生创新意识，助力教师系统教学，提升学生解题策略与应用能力。

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 1 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够运用两角和与差的正弦、正切公式解决三角函数的化简、求值问题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新. 【问题】　你能用类比的方法推导出 sin （α±β）吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　两角和与差的正弦、正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正弦 sin （α＋β）＝ ⁠ ⁠ ⁠ Sα＋β α，β∈R 两角差的 正弦 sin （α－β）＝ ⁠ Sα－β sin α cos β＋ cos α sinβ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 名称 公式 简记符号 条件 两角和的 正切 tan（α＋β）＝ Tα＋β α，β，α＋β≠ ⁠ ⁠ 两角差的 正切 tan（α－β） ＝ ⁠ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋ （k∈Z） kπ＋ （k∈Z） 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：两角和与差的正切公式的变形与特例：①变形公式：tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan α·tan β）；tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；tan αtan β＝1－ . ②公式的特例：tan ＝ ； tan ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的. （　√　） （2）存在α，β∈R，使得 sin （α－β）＝ sin α－ sin β成立. （　√　） （3） sin （α－β）＝ sin β cos α－ sin α cos β. （　×　） （4）tan 能根据公式tan（α＋β）直接展开. （　×　） （5）存在α，β∈R，使tan（α＋β）＝tan α＋tan β成立. （　√　） √ √ × × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在△ABC中，A＝ ， cos B＝ ，则 sin C＝ 　 　. 2. ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　原式＝ ＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝ . √ ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜给角化简求值 【例1】　化简下列各式： （1） ； 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； 解：因为 ＝tan（12°＋33°）＝tan 45°＝1， 所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）（tan 10°－ ）· . 解：原式＝（tan 10°－tan 60°）· ＝ · ＝ · ＝－ · ＝－ ＝－2. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决给角化简求值问题的策略 （1）化简：三角函数式化简的主要思路有：①观察角的特点，充分利用 角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；②观察函数特 点，向同名转化，弦切互化，通常是切化弦； （2）求值：运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形 式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如 sin 15°＝ sin （45°－ 30°）＝ sin （60°－45°）；二是逆用公式凑成特殊角求值，如 sin 13° cos 17°＋ cos 13° sin 17°＝ sin （13°＋17°）＝ sin 30°；三是进行拆 角、拼角，整体代换求值，这一点与两角和与差的余弦公式的应用基本一 致，如α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 化简下列各式： （1）tan 10°·tan 20°＋ （tan 10°＋tan 20°）； 解：原式＝tan 10°·tan 20°＋ [tan（10°＋20°）·（1－tan 10°tan 20°）]＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β]. 解：原式＝ sin （α＋β） cos α－ [ sin （α＋α＋β）－ sin （α＋β－α）]＝ sin （α＋β） cos α－ [ sin α cos （α＋β）＋ cos α sin （α＋β）－ sin （α＋ β） cos α＋ cos （α＋β）· sin α] ＝ sin （α＋β） cos α－ ×2 sin α cos （α＋β） ＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ sin （α＋β－α）＝ sin β. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜给值求值 【例2】已知 ＜α＜ ，0＜β＜ ， cos ＝－ ， sin ＝ . （1）求 sin （α＋β）的值； 解：因为 ＜α＜ ，所以 ＜ ＋α＜π， 所以 sin ＝ ＝ . 因为0＜β＜ ，所以 ＜ ＋β＜π， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以 cos ＝－ ＝－ . 所以 sin （α＋β）＝－ sin （π＋α＋β） ＝－ sin ［ ＋ ］ ＝－［ sin cos ＋ cos sin （ ＋β）］＝－ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求tan α的值. 解：由（1）可得tan ＝ ＝－ ， 于是tan α＝tan ＝ ＝ ＝7. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 给值求值的解题策略 　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地 运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同 角，具体做法是： （1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； （2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 若tan β＝3，tan（α－β）＝－2，则tan α＝（　　） A. B. － C. 1 D. －1 解析：tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知α为锐角， sin α＝ ，β是第四象限角， cos β＝ ，则 sin （α＋β） ＝ ⁠. 解析：因为α为锐角， sin α＝ ，所以 cos α＝ .因为β是第四象限角， cos β＝ ，所以 sin β＝－ .所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ × ＝0. 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜给值求角 【例3】　已知tan（α－β）＝ ，tan β＝－ ，α，β∈（0，π），求2α－β 的值. 解：∵tan β＝－ ，tan（α－β）＝ ， ∴tan α＝tan[（α－β）＋β]＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 tan（2α－β）＝tan[（α－β）＋α]＝ ＝ ＝1.∵tan α＝ ＞0，tan β＝－ ＜0， ∴α∈ ，β∈ ， ∴α－β∈（－π，0）. 又∵tan（α－β）＝ ＞0， ∴α－β∈ ，2α－β＝α＋（α－β）∈（－π，0）. 又tan（2α－β）＝1，∴2α－β＝－ π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　根据三角函数值求角时，一般先求出该角的某个三角函数值，再确定 该角的取值范围，最后得出该角的大小.至于求该角的哪一个三角函数 值，这要取决于该角的取值范围，然后结合三角函数值在不同象限的符号 来确定.一般地，若θ∈（0，π），则通常求 cos θ或tan θ；若 θ∈ ，则通常求 sin θ或tan θ，否则容易导致增解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知 sin α＝－ ， cos β＝ ，且α∈ ，β∈ ，求α＋β 的值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：因为α∈ ，β∈ ， 且 sin α＝－ ， cos β＝ ， 所以 cos α＝ ， sin β＝ ， 所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝－ × ＋ × ＝ . 又因为α∈ ，β∈ ， 所以α＋β∈ ， 故α＋β＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. sin 35° cos 5°－ cos 35° sin 5°＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. 2 sin 40° 解析：　 sin 35° cos 5°－ cos 35° sin 5°＝ sin （35°－5°）＝ sin 30°＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. ＝（　　） A. －1 B. 1 C. － D. － 解析：　 ＝ ＝tan（－45°）＝－1. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数f（x）＝ sin ＋ cos 的最大值是（　　） A. B. 1 C. D. 2 解析：　f（x）＝ sin x· cos － cos x· sin ＋ cos x· cos ＋ sin x· sin ＝ sin x－ cos x＋ cos x＋ sin x＝ sin x，∵－1≤ sin x≤1，∴函数f （x）的最大值是 .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知A，B都是锐角，且tan A＝ ， sin B＝ ，则A＋B＝ 　​ 　. 解析：∵B为锐角， sin B＝ ，∴ cos B＝ ，∴tan B＝ ，∴tan（A＋ B）＝ ＝ ＝1.∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝ . 5. 求 的值. 解：∵tan 18°＋tan 42°＋tan 120° ＝tan 60°（1－tan 18°tan 42°）＋tan 120° ＝－tan 60°tan 18°tan 42°，∴原式＝－1. ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　 sin 20° cos 10°－ cos 160° sin 10°＝ sin 20° cos 10°＋ cos 20° sin 10°＝ sin 30°＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 cos α＝ ， sin β＝－ ，且α∈（0， ），β∈（－ ，0），则 sin （α＋β）＝（　　） A. B. C. － D. － 解析：　由 cos α＝ ， sin β＝－ ，α∈（0， ），β∈（－ ，0）， 得 sin α＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ，所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋ ×（－ ）＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知 sin （α＋ ）＝ ，α∈（－ ， ），则 sin α的值为（　　） A. B. C. D. 解析：　因为α∈（－ ， ），所以α＋ ∈（－ ， ），所以 cos （α ＋ ）＝ ＝ ＝ ，所以 sin α＝ sin （α＋ － ）＝ sin （α＋ ） cos － cos （α＋ ） sin ＝ × － × ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC， ED，则 sin ∠CED＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝ － ∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin cos ∠BEC－ cos sin ∠BEC＝ × － × ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则（　　） A. tan α＋tan β＝16 B. tan αtan β＝2 C. tan（α＋β）＝16 D. ＝－8 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意得， 故A错误，B正确；由于 tan（α＋β）＝ ＝16，故C正确；又 ＝ ＝ ＝ ＝－8，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕下列四个选项中，化简正确的是（　　） A. cos （－15°）＝ B. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25°＋α）＝ cos [（α－35°）－（25°＋α）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ C. sin 14° cos 16°＋ sin 76° cos 74°＝ D. [2 sin 50°＋ sin 10°（1＋ tan 10°）]· ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于A，原式＝ cos （30°－45°）＝ cos 30°· cos 45°＋ sin 30° sin 45°＝ × ＋ × ＝ ，A错误；对于B，原式＝ cos [（α－35°）－（25°＋α）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ ，B正确；对于C，原式＝ sin 14°· cos 16°＋ cos 14° sin 16°＝ sin （14°＋16°）＝ sin 30°＝ ，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 对于D，原式＝ · sin 80°＝（2 sin 50°＋2 sin 10°· ）· cos 10°＝2 [ sin 50°· cos 10°＋ sin 10°· cos （60°－10°）]＝2 sin （50°＋10°） ＝2 × ＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 化简： sin ＋ cos ＝ ⁠. 解析：原式＝ sin cos α＋ cos sin α＋ cos cos α－ sin sin α＝ cos α. cos α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 求值：（1）2 sin （α－β） cos α－ sin （2α－β）＋ sin β＝ ⁠； 解析：原式＝2 sin （α－β） cos α－ sin α cos （α－β）－ cos α sin （α－β）＋ sin β＝ sin （α－β） cos α－ sin α cos （α－β）＋ sin β＝ sin [（α－β）－α]＋ sin β＝－ sin β＋ sin β＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）＝ ⁠. 解析： sin （θ＋75°）＋ cos （θ＋45°）－ cos （θ＋15°）＝ sin （θ＋15°＋60°）＋ cos （θ＋15°＋30°）－ cos （θ＋15°）＝ sin （θ＋15°） cos 60°＋ cos （θ＋15°） sin 60°＋ cos （θ＋15°） cos 30°－ sin （θ＋15°） sin 30°－ cos （θ＋15°）＝ sin （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）＋ cos （θ＋15°）－ sin （θ＋15°）－ cos （θ＋15°）＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知tan（α＋β）＝ ，tan α＝－2，则tan β＝ ⁠. 解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝ ＝7. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：因为0＜α＜ ， cos α＝ ，所以 sin α＝ ， 又因为0＜β＜ ，所以0＜α＋β＜π， 因为 sin （α＋β）＝ ＜ sin α，所以 cos （α＋β）＝－ ， 所以 sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β）· cos α－ cos （α＋β） sin α ＝ × － ＝ ， 又因为0＜β＜ ，所以β＝ . 10. 已知 cos α＝ ， sin （α＋β）＝ ，0＜α＜ ，0＜β＜ ，求角β 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 如果tan（α＋β）＝ ，tan（ β－ ）＝ ，那么 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 ＝tan（ ＋α）＝tan［（α＋β）－（ β－ ）］＝ ＝ ＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 设直线y＝ 与函数y＝ sin x，y＝ cos x，y＝tan x的图象在（0， ） 内交点的横坐标依次为x1，x2，x3，则 sin （x1＋x2＋x3）＝（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为直线y＝ 与函数y＝ sin x，y＝ cos x， y＝tan x的图象在 （0， ）内交点的横坐标依次为x1，x2，x3，所以 sin x1＝ ， cos x2＝ ，tan x3＝ ，所以 cos x1＝ ， sin x2＝ ，x3＝ ，所以 sin （x1＋ x2）＝ sin x1 cos x2＋ cos x1· sin x2＝1， cos （x1＋x2）＝0，所以 sin （x1＋ x2＋x3）＝ sin ［（x1＋x2）＋ ］＝ sin （x1＋x2） cos ＋ cos （x1＋x2） sin ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 若非零实数a，b满足 ＝tan ，则 ＝ 　​ 　. 解析：法一　对等式 ＝tan ，左边的分子、分母同时除以a cos ，得tan ＝ ＝tan（ ＋θ），且tan θ＝ ，则 ＋θ＝kπ＋ ，k∈Z，则θ＝kπ＋ ，k∈Z，所以 ＝tan θ＝tan（kπ＋ ）＝tan ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　因为a≠0，b≠0，且 ＝tan ，所以a sin ＋b cos ＝ tan （a cos －b sin ），即a（ cos tan － sin ）＝b（ cos ＋ sin tan ），所以 ＝ ＝ ＝tan（ － ）＝tan ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，　② 由①②得 则tan αtan β＝ ＝ ＝－ . 14. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝ ，求tan α·tan β的值. 解： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ，　① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 定义运算 ＝ad－bc，若 cos α＝ ， ＝ ，0＜β ＜α＜ ，则β＝ 　​ 　. 解析：依题设得， ＝ sin α· cos β－ cos α· sin β＝ sin （α－β） ＝ .因为0＜β＜α＜ ，所以 cos （α－β）＝ .又因为 cos α＝ ，所以 sin α＝ ，所以 sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α· cos （α－β）－ cos α· sin （α－β）＝ × － × ＝ ，所以β＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 设α∈R，函数f（x）＝ sin 2x cos α＋ cos 2x sin α－ cos （2x ＋α）＋ cos α，x∈R. （1）若α∈［ ， ］，求f（x）在区间［0， ］上的最大值； 解：f（x）＝ sin （2x＋α）－ cos （2x＋α）＋ cos α＝2 sin （2x＋α－ ）＋ cos α. 因为x∈［0， ］， 所以2x∈［0， ］，2x＋α－ ∈［α－ ，α＋ ］. 又α∈［ ， ］，所以 ∈［α－ ，α＋ ］. 因此f（x）的最大值为2＋ cos α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若f（x）＝3，求α与x的值. 解：若f（x）＝2 sin （2x＋α－ ）＋ cos α＝3，则 cos α＝1且 sin （2x＋α－ ）＝1，所以α＝2mπ，m∈Z，从而2x－ ＝2nπ＋ ， n∈Z，即x＝nπ＋ ，n∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $