第6章 1.1 构成空间几何体的基本元素 1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦空间几何体的构成元素及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，先从点、线、面等基本元素入手，再过渡到多面体的定义，进而详细解析棱柱、棱锥、棱台的定义、图形表示、相关概念及特殊情形，搭建层层递进的学习支架。 资料以现实建筑实例引入，引导学生用数学眼光观察空间形式，通过定义辨析、结构特征对比培养数学思维，题型分类清晰且含通性通法总结，助力学生用数学语言表达几何关系。课中辅助教师系统授课，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1　构成空间几何体的基本元素　1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 课标要求 1.利用实物模型、观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征（直观想象）. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构及有关量的计算（数学抽象、数学运算）. 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 【问题】　你知道设计师是如何设计这些建筑物的吗？应用到哪些数学知识？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　构成空间几何体的基本元素 1.空间几何体的基本几何元素是　点　、　线（直线和曲线）　、　面（平面和曲面）　等. 2.平面 （1）平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是　无限延展　的； （2）平面的画法 画法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图示 （3）平面的表示法：图①的平面可表示为　平面α　、平面ABCD、　平面AC　或平面BD. 【想一想】 几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 提示：没有边界，常用平行四边形表示平面. 知识点二　多面体 由　平面多边形　围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的　面　，两个相邻的面的公共边称为多面体的　棱　，棱与棱的公共点称为多面体的　顶点　. 知识点三　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 柱 有两个面互相　平行　，其余各面都是　平行四边形　，由这些面围成的几何体称为棱柱 记作：棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面（底）：两个互相　平行　的面； 侧面：除底面外，其余各面； 侧棱：相邻侧面的　公共边　； 顶点：侧面与底面的　公共顶点　 直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱； 斜棱柱：除直棱柱外，其他的棱柱； 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 多面体 定义 图形及表示 相关概念 特殊情形 棱 锥 有一个面是　多边形　，其余各面都是有一个公共顶点的　三角形　，由这些面所围成的几何体称为棱锥 记作：棱锥 S-ABCD 底面（底）：多边形面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面； 侧棱：相邻两个侧面的　公共边　； 顶点：各个侧面的　公共点　 正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上 棱 台 用一个　平行于底面　的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 记作：棱台 ABCD-A'B'C'D' 上底面：原棱锥的　截面　； 下底面：原棱锥的　底面　； 侧面：除上、下底面外，其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点 正棱台：由正棱锥截得的棱台 　　提醒：（1）棱柱、棱锥、棱台的关系：在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）. 　　（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）棱柱的底面互相平行.（　√　） （2）棱柱的各个侧面都是平行四边形.（　√　） （3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.（　×　） （4）棱台的侧棱延长后必交于一点.（　√　） 2.下列棱锥有6个面的是（　　） A.三棱锥 B.四棱锥　 C.五棱锥 D.六棱锥 解析：C　由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面.故选C. 3.下列几何体中，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台（仅填相应序号）. 题型一｜对于平面的理解 【例1】　判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）平面的形状是平行四边形； 解：不正确.我们常用平行四边形表示平面，但不能说平面的形状是平行四边形，平面是无形状可言的. （2）圆和平面多边形都可以表示平面； 解：正确.通常情况下我们利用平行四边形来表示平面，但有时根据需要也可以用圆或其他平面多边形来表示平面. （3）若S▱ABCD＞S▱A'B'C'D'，则平面ABCD大于平面A'B'C'D'. 解：不正确.因为平面无大小可言. 通性通法 1.在空间几何体中，平面是无限延展的，是理想的、绝对平直的. 2.平面是抽象出来的，没有厚度、没有大小，因此无法度量.平面几何中的平面图形，如三角形、四边形等都是有大小的，可以度量的，它们本身不是平面. 3.任何一个平面都可以将空间分为两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，那么必须穿过这个平面. 【跟踪训练】 下列说法正确的是（　　） A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.曲面都是有一定大小的 C.直线是由无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的 D.平面图形是空间图形的重要组成部分 解析：D　组成几何体的面既可以是平面，也可以是曲面；曲面也可以是无限延展的；直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可以排除A、B、C. 题型二｜棱柱的结构特征 【例2】　 下列命题正确的是（　　 ） A.棱柱的所有侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面是棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 解析：D　由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如图.棱柱的侧棱相互平行，故A错误；图1中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面，B错误；图2中直四棱柱的底面ABCD是平行四边形，C错误.故选D. 通性通法 1.棱柱的定义的两个要点： （1）有两个平面（底面）互相平行； （2）其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行. 2.求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征. 【跟踪训练】 下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中说法正确的是③④.（填序号） 解析：棱柱的底面不一定是平行四边形，①错误；棱柱的底面可以是三角形，②错误；由棱柱的定义易知，③正确；棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，④正确. 题型三｜棱锥和棱台的结构特征 【例3】　下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个面围成的几何体只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中说法正确的是①②.（填序号） 解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个面围成的几何体只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥S-ABCD 被平面SAC截成的两部分都是棱锥. 通性通法 判断棱锥、棱台形状的两个方法 （1）举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法 多面体 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 各侧棱相交于一点 各侧棱延长后相交于一点 【跟踪训练】 试判断下列说法是否正确： （1）由六个面围成的几何体只能是五棱锥； 解：不正确，由六个面围成的几何体有可能是四棱柱. （2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台. 解：不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，各侧棱延长后不一定相交于一点，所以不一定是棱台. 题型四｜棱柱、棱锥、棱台的有关计算 【例4】　若正四棱锥的底面边长为a，侧棱与高的夹角为30°，求正四棱锥的侧棱长和斜高. 解：如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥底面ABCD于点O，则O是底面的中心，∠BSO为侧棱SB与高SO的夹角，故∠BSO＝30°. 由题意知OB＝a， 所以SB＝2OB＝a，SO＝＝a. 过点O作OM⊥BC于点M，易知M为BC的中点，连接SM，则SM⊥BC，即SM为正四棱锥的斜高. 在Rt△SOM中，可求得SM＝＝a， 故正四棱锥的侧棱长为a，斜高为a. 通性通法 1.正棱锥中的直角三角形的应用 已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于点E，则PE为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC； （2）斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE； （3）侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC. 2.正棱台中的直角梯形的应用 已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面的中心，作O1E1⊥B1C1于点E1，OE⊥BC于点E，则E1E为斜高. （1）斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1； （2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO； （3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1. 【跟踪训练】 一个三棱台的上、下底面面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，则截得这个棱台的棱锥的高为12cm. 解析：如图所示，将棱台还原为棱锥.设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高.因为棱台的上、下底面面积之比为4∶9，所以它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，所以PA1∶PA＝2∶3.由题意得A1O1∥AO，故＝，即＝＝，所以PO＝12 cm. 1.棱锥的侧面和底面可以都是（　　） A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析：A　棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形. 2.下列图形中，是棱台的是（　　） 解析：C　由棱台的定义知，A，D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中上、下底面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义. 3.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是（　　） A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱台 解析：B　余下部分是四棱锥A'-BCC'B'. 4.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.四棱柱的所有面均为平行四边形 B.长方体不一定是正四棱柱 C.底面是正多边形的棱锥，是正棱锥 D.正四面体一定是正三棱锥 解析：BD　四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形，故A不正确；长方体不一定是正四棱柱，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；正四面体一定是正三棱锥，故D正确.故选B、D. 5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是①②（填序号）. ①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形. 解析：如图（ⅰ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；如图（ⅱ）所示，用一个平面去截三棱锥，截面是四边形. 1.下列说法正确的是（　　） A.在空间中，一个点运动成直线 B.在空间中，直线平行移动形成平面 C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 解析：C　一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿垂直于矩形的方向向上（或向下）移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错. 2.下列特征不是棱台必须具有的是（　　 ） A.两底面平行 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点 解析：C　根据棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台，可得棱台的两底面一定平行，侧面都是梯形，且侧棱延长后必相交于一点，所以A、B、D都正确，只有当棱台为正棱台时，棱台的侧棱长才相等，所以C不正确.故选C. 3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　　） A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定 解析：A　如图，∵平面AA1B1B∥平面DD1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都是平行四边形（水面与两平行平面的交线平行且相等），因此呈棱柱形状. 4.如图是一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），则这个多面体的顶点的个数为（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：B　还原几何体，如图，由图观察可知，该多面体有7个顶点.故选B. 5.〔多选〕关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是（　　 ） A.棱柱的侧棱长都相等 B.棱锥的侧棱长都相等 C.三棱台的上、下底面是相似三角形 D.有的棱台的侧棱长都相等 解析：ACD　根据棱柱的几何性质可得，棱柱的侧棱长都相等，故选项A正确；根据棱锥的定义可知，只有正棱锥的侧棱长都相等，故选项B错误；根据棱台的定义可知，棱台的上下底面是相似多边形，有的棱台的侧棱长都相等，故选项C、D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕下列说法不正确的有（　　） A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 B.对角面为全等矩形的六面体一定是长方体 C.棱台的各个侧面都是梯形 D.长方体一定是正四棱柱 解析：ABD　底面是菱形的直平行六面体满足选项A的条件，但它不是正棱柱，A不正确；底面是等腰梯形的直棱柱满足选项B的条件，但它不是长方体，B不正确；由棱台的定义，知棱台的各个侧面都是梯形，C正确；D显然不正确.故选A、B、D. 7.一个棱台至少有5个面，面数最少的棱台有6个顶点，有9条棱. 8.若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为12cm. 解析：依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12（cm）. 9.在下面四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是①②（填序号）. 解析：图③④中的四个面都共点，故组不成四面体，只有①②可以. 10.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称： （1）由6个平行四边形围成的几何体； （2）由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形； （3）由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点. 解：（1）这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱. （2）这是一个六棱锥. （3）这是一个三棱台. 11.正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA'于点D，若AD的长是2 cm，则△BCD的面积为（　　） A.6 cm2 B.2 cm2 C.8 cm2 D.2 cm2 解析：C　如图，易知BD＝CD，取BC的中点E，连接DE，则DE⊥BC.易知BD＝CD＝＝2，BE＝EC＝2，所以DE＝＝4，所以S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8（cm2）.所以△BCD的面积为8 cm2. 12.〔多选〕如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法正确的是（　　） A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有12条棱、6个顶点 C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析：ABC　根据题图知该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA，MB，MC，MD，AB，BC，CD，DA，NA，NB，NC和ND，共12条；顶点是M，A，B，C，D和N，共6个；有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA，共8个，且每个面都是三角形.所以选项A、B、C正确，选项D错误. 13.用两个平面将如图所示的三棱柱ABC-A'B'C'分为三个三棱锥.则这三个棱锥可分别记作C'-ABC，C'-A'B'B，C'-ABA'. 解析：三棱柱ABC-A'B'C'，可分为三棱锥C'-ABC、三棱锥C'-A'B'B和三棱锥C'-ABA'. 14.如图，在正三棱台ABC-A1B1C1中，已知AB＝10，棱台的一个侧面的面积为，O1，O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长. 解：因为AB＝10， 所以AD＝AB＝5， 所以OD＝AD＝. 设上底面的边长为x，则O1D1＝x. 过D1作D1H⊥AD于点H， 则DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝－x. 在△D1DH中， D1D＝＝2（－x）， 所以＝（B1C1＋BC）·D1D， 即＝（x＋10）·2（－x）， 解得x＝2， 所以上底面的边长为2. 15.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有26个面，其棱长为－1. 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1. 16.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，求其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值. 解：由题意知，可将金字塔看成如图所示的正四棱锥S-ABCD，其中M为AD的中点，O为底面正方形ABCD的中心，连接SM，SO，OM，则SO⊥底面ABCD，SM⊥AD，OM⊥AD，即正四棱锥S-ABCD的高为SO，侧面三角形SAD的高为SM.设底面正方形ABCD的边长为a，SM＝h，则OM＝，正四棱锥S-ABCD的一个侧面三角形的面积为ah，在Rt△SOM中，SO2＝SM2－OM2＝h2－＝h2－，以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积为SO2＝h2－，故ah＝h2－，化简、整理得4h2－2ah－a2＝0，得4－2－1＝0，令＝t，则4t2－2t－1＝0，因为t＞0，所以t＝，即＝，所以其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $