第3章 1 给定问题的数学建模活动 2 自主数学建模的选题 3 自主数学建模的开题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦数学建模活动，以建筑物高度测量为实例，涵盖选题、开题、建模、求解及结题全流程，通过分组合作、报告填写等方式，搭建从实际问题到数学模型的学习支架。 其亮点在于结合“楼与人”“光的反射”等四种测量方法，引导学生用数学眼光观察现实问题，用数学思维分析误差成因，用数学语言撰写报告。学生在实践中提升建模能力与合作意识，教师可依托完整流程与评价工具优化教学。

§1　给定问题的数学建模活动 §2　自主数学建模的选题 §3　自主数学建模的开题 1 一、以建筑物的高度测量为例 数学建模活动的准备 目的　运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整 过程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四 个环节. 情境　给出下面的测量任务： （1）测量本校的一座教学楼的高度； （2）测量本校的旗杆的高度； 数学·必修第二册（BSD） （3）测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看得见的物体 的高度. 可以每2～3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量 课题报告表（见下表）. 测量课题报告表 项目名称： 　　　　　　　　 完成时间： 　　　　　　　　 数学·必修第二册（BSD） 1.成员与分工 姓名 分工 2.测量对象 例如，某小组选择的测量对象是：旗杆、教学楼、校外的××大厦. 3.测量方法（请说明测量的原理、测量工具、创新点等） 4.测量数据、计算过程和结果（可以另外附图或附页） 5.研究结果（包括误差分析） 6.简述工作感受 数学·必修第二册（BSD） 二、自主数学建模的开题交流 以教学楼高度的测量为例 试题　测量一幢学校教学楼的高度，要求不能爬到楼顶去测量，要通过所 学的数学知识进行测量与计算；三人一组，分工讨论，提出测算方案，分 工合作完成测量，及时记录好测量数据并减小误差；不限定任何测算方 法、工具；允许各组组内分工准备相应的测量工具（可以自制一些简单的 测量工具），相互合作、组内讨论或通过互联网查阅相关资料. 数学·必修第二册（BSD） （一）模型准备 1. 查阅相关文献、资料和书籍，寻找合适的测量方法. 2. 结合数学知识，建立数学模型，并进行数学运算，求解模型. 3. 准备测量工具. （二）模型假设 　假设测量工具的精度符合要求. 数学·必修第二册（BSD） （三）模型建立与求解 方法一：“楼与人”的测量依据和方法.如图①，教学楼是实物，有实际 高度、有影子长度；人有高度，同样是实物，也有影长，测出人的身高、 影长和教学楼的影长，列出比例式就可以算出教学楼的高度.AB是教学楼 的高度（未知），DE是一位同学的身高，为1.64米，EF表示该同学的影 长为1.95米，并量得教学楼的影长BC为13.6米，算出教学楼的高度AB约 为11.44米. 数学·必修第二册（BSD） 方法二：“楼与竹竿”的测量依据和方法.如图②，原理和方法一差不 多，用事先准备好的竹竿，在教学楼的影子上来回移动竹竿，直到看到竹 竿的影子的顶端与教学楼影子的顶端重合.量出竹竿长DE为2.0米，竹竿 影子长EC为2.39米，教学楼影子长BC为14.42米，列出比例式计算出教 学楼的高度约为12.07米. 数学·必修第二册（BSD） 方法三：“光的反射原理”的测量依据和方法.如图③，根据光的反射原 理，学生在离教学楼一段距离的地面上放一面镜子，然后人前后移动，直 到在镜子里看到教学楼顶端.量出教学楼到镜子的距离BC为16.3米，学生 到镜子的距离CE为2.07米，该学生的眼睛到地面的高度DE为1.49米，算 出教学楼的高度约为11.73米. 数学·必修第二册（BSD） 方法四：“楼、人眼与标杆”的测量依据和方法.如图④，该测量方法 是在教学楼和一位同学之间放一标杆，人前后移动，使眼睛、标杆顶 端和教学楼顶端三点共线，量出DE高为0.84米，GE长为2.11米，GC 长为28.51米，人的眼睛到地面的高度GH为1.54米，算出教学楼的高 度约为12.89米. 其他方法：还有同学提出用解直角三角形的方法测算出教学楼的高度，但是在实际的测量过程当中，地面和视线的夹角难以得到60°，45°，30°的准确值. 数学·必修第二册（BSD） （四）模型分析 　同学们求解的结果各不相同，下面进一步分析产生这种结果的原因： （1）测量误差：学生自制的测量工具较为粗糙，测量不够准确.另外，学 生利用测量工具测出的数据会有测量误差； （2）间距差的问题：如果间距差的值选定较小，两次测量的角度差就会 很小，将会导致计算结果产生较大误差； （3）高度选取不对：存在部分学生用“身高”代替“眼高”，导致误差 较大. 数学·必修第二册（BSD） （五）模型检验与应用 　根据建筑物的实际高度和测量高度进行比较，即可得知采用的测量方法 是否合适.利用测量学校教学楼的方法还可以测量一些其他建筑物或旗杆 的高度，为今后学生测量其他物品提供了参考依据和理论基础. 数学·必修第二册（BSD） 三、结题报告参考提纲 主题、项目 内容、表述 问题、背景、意义 解决问题的方法和得到的结果 前期的学习、资料和工具的准备 假设、分析、建模、求解的主要过程 对结果的解读和分析 小组成员的分工和各自的主要贡献 工作的收获或感受，得到的帮助和致谢 主要参考文献 数学·必修第二册（BSD） $