第5章 复数 章末整合提升 体系构建 素养提升(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学讲义围绕复数单元，以数学抽象、数学运算、直观想象三大核心素养为主线构建知识体系，通过例题解析系统梳理复数的概念、四则运算、几何意义等内容，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层培优设计，如数学抽象的纯虚数判定（例1）、数学运算的复数方程求解（例3）、直观想象的复平面坐标问题（例5），既巩固基础又提升综合能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

一、数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 培优一｜复数的概念 【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（　C　） A.4　　 　　B.3　　 　　C.2　　 　　D.1 解析：∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C. （2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝（　C　） A.或 B.2或5 C. D.5 解析：∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i，∴解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜＝＝.故选C. （3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　A　） A.0 B.－1 C.1 D.－2 解析：∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故选A. 二、数学运算 　　数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生的数学运算核心素养. 培优二｜复数的四则运算 【例2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　C　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 解析：法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i. （2）（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　A　） A.10i B.2i C.10 D.2 解析：因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A. （3）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（　A　） A.－i B.i C.0 D.1 解析：由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A. 培优三｜复数范围内解方程 【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0. （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根； 解：原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0， 设方程的实数根为x0， 则即 又θ是锐角，故θ＝. （2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根. 解：证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0， 即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0， 可得－b2＋b－2＝0，解得b＝， 与假设矛盾，所以方程无纯虚数根. 培优四｜复数三角形式的乘、除运算 【例4】　计算：（1）2×3（ cos ＋isin ）； 解：原式＝6 ＝6＝6 ＝＋i. （2）8（cos 85°＋isin 85°）÷[（cos 25°＋isin 25°）]. 解：原式＝4[cos（85°－25°）＋isin（85°－25°）] ＝4（cos 60°＋isin 60°）＝4＝2＋2i. 三、直观想象 　　在本章中直观想象主要体现在复数的几何意义与复数乘、除法的几何意义等问题中. 培优五｜复数的几何意义 【例5】　（1）（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　C　） A.0 B.1 C. D.2 解析：若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C. （2）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（　A　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A. 【例6】　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：由题意得＝（2，3），＝（3，2），＝（－2，－3）. 设＝（x，y），则＝（x－2，y－3），＝（－5，－5）. 由题意知，＝，所以则故点D对应的复数为－3－2i. 培优六｜复数中的证明问题 【例7】　设z∈C，且｜z｜＝1，但z≠±1，求证：是纯虚数. 证明：法一　设z＝a＋bi（a，b∈R）， 由｜z｜＝1得a2＋b2＝1，∴＝＝＝＝i. 由｜z｜＝1且z≠±1，得b≠0，a≠±1， ∴为纯虚数. 法二　∵｜z｜＝1，∴z·＝1. ∴＝＝＝－＝－. ∵z≠±1，∴≠0.∴是纯虚数. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $