第2章 平面向量及其应用 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

章末整合提升　体系构建　素养提升 1 01 PART 体系构建 数学·必修第二册（BSD） 数学·必修第二册（BSD） 02 PART 素养培优 一、数学抽象 　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过 程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及 概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数 学符号或者数学术语予以表征.在本章中主要表现为理解向量的基本概念. 数学·必修第二册（BSD） A. a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa B. e为单位向量，且a∥e，则a＝±｜a｜e C. ｜a·a·a｜＝｜a｜3 D. 若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c 解析：若a为零向量，则A不成立.根据向量数量积的概念可知D错误.易知 B、C正确. BC 培优一｜平面向量的基本概念 【例1】　（1）〔多选〕下列命题中，其中正确的是（　BC　） 数学·必修第二册（BSD） （2）若向量a＝（x，2），b＝（2，3），c＝（2，－4），且a∥c， 则a在b上的投影向量为（　C　） A. B. C. D. 解析：因为a＝（x，2），c＝（2，－4），且a∥c，所以－4x＝4，解 得x＝－1.所以a＝（－1，2），所以a在b上的投影向量为 b＝ （2，3）＝ （2，3）＝ .故选C. C 数学·必修第二册（BSD） 二、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择 运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.在本章中主要表现在向量的 线性运算、数量积运算及解三角形中. 数学·必修第二册（BSD） 培优二｜平面向量的线性运算 【例2】　（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 ＝（　A　） A. － B. － C. ＋ D. ＋ 解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ × （ ＋ ）＋ （ － ）＝ － .故选A. A 数学·必修第二册（BSD） （2）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA. 记 ＝m， ＝n， 则 ＝（　B　） A. 3m－2n B. －2m＋3n C. 3m＋2n D. 2m＋3n 解析：法一　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ － ）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B. 法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B. B 数学·必修第二册（BSD） 11 培优三｜平面向量的数量积运算 【例3】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2， x），若b⊥（b－4a），则x＝（　D　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析：法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－ 4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. D 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4 （0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所 以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解 得x＝2，故选D. 数学·必修第二册（BSD） （2）（2022·全国甲卷13题）设向量a，b的夹角的余弦值为 ，且｜a｜ ＝1，｜b｜＝3，则（2a＋b）·b＝ . 解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜· cos ＜a，b＞＋｜b｜ 2＝2×1×3× ＋32＝11. 11 数学·必修第二册（BSD） 培优四｜利用正、余弦定理解三角形 【例4】　记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a， b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝ ， cos B＝ . （1）求△ABC的面积； 数学·必修第二册（BSD） 解：由S1－S2＋S3＝ ，得 （a2－b2＋c2）＝ ， 即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2ac cos B，所以ac cos B＝1. 由 cos B＝ 得ac＝ ＝ ， 则△ABC的面积S＝ ac sin B＝ × × ＝ . 数学·必修第二册（BSD） （2）若 sin A sin C＝ ，求b. 解：由 sin A sin C＝ ，ac＝ 及正弦定理知 ＝ ＝ ＝ ， 即b2＝ × ＝ ，得b＝ . 数学·必修第二册（BSD） 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的 思维过程.在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、 余弦定理判定三角形的形状等问题中. 数学·必修第二册（BSD） 【例5】　（1）O是△ABC所在平面内的一定点，P是△ABC所在平面内 的一动点，若（ － ）·（ ＋ ）＝（ － ）·（ ＋ ） ＝0，则O为△ABC的（　B　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 解析：由（ － ）·（ ＋ ）＝0，知 ·2 ＝0（其中D为CB 的中点），所以O在BC的垂直平分线上.同理，O在AC的垂直平分线 上，故O为△ABC的外心. B 培优五｜平面向量的应用 数学·必修第二册（BSD） （2）若 ＝ （a＋5b）， ＝－2a＋8b， ＝3（a－b），则共 线的三点是 .⁠ 解析：因为 ＝ ＋ ＝a＋5b，所以 ＝ ，则A，B，D三 点共线. A，B，D 数学·必修第二册（BSD） 培优六｜判定三角形的形状 【例6】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2 ＋c2＝a2＋bc.若 sin B· sin C＝ sin 2A，则△ABC的形状是（　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理知A＝ ，又由 sin B· sin C＝ sin 2A及正弦定理得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以（b－c）2＝0，即b＝c，所 以△ABC为一个内角为 的等腰三角形，即为等边三角形. √ 数学·必修第二册（BSD） 培优七｜向量在平面几何中的应用 【例7】　如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P. 求证：BP⊥DC. 证明：设 ＝λ ，并设△ABC的边长为a，则有 ＝ ＋ ＝ λ ＋ ＝λ ＋ ＝ （2λ＋1） －λ ， ＝ － . 数学·必修第二册（BSD） ∵ ∥ ， ∴ （2λ＋1） －λ ＝k － k ， 则有 解得λ＝ .∴ ＝ . ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ， ∴ · ＝ · ＝ a2－ a2－ a2 cos 60°＝0， ∴ ⊥ ， ∴BP⊥DC. 数学·必修第二册（BSD） 四、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学 知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中主要表现在利用正弦、余 弦定理解决实际问题中. 数学·必修第二册（BSD） 培优八｜余弦定理、正弦定理在实际问题中的应用 【例8】　某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进 行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距 离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中 一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这 一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平 面，水平面上两点A，B的距离为 m，测得∠MBA＝θ，∠MAB＝ －θ，其中 sin θ＝ ，在A点处测得旗杆顶点的仰角为φ， sin φ＝ ，则 该旗杆的高度为（单位：m）（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 √ 数学·必修第二册（BSD） 解析：　在△ABM中，AB＝ ，∠AMB＝ ， sin ∠MBA＝ ， ∵ ＝ ，∴MA＝15，在Rt△ACM中，MC＝MA sin ∠MAC ＝15× sin φ＝15× ＝12.故选B. 数学·必修第二册（BSD） $