第2章 6.1 第2课时 正弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

第二课时　正弦定理 1 1.掌握正弦定理的表示形式及证明过程（逻辑推理）. 2.会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经 测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小. 【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　正弦定理 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 ⁠的比相等 符号语言 ＝ 　 　＝  正弦　 　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　正弦定理的拓展 1. 正弦定理与三角形外接圆的关系 以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆，设这个外接圆的半径为R，则 ＝ ＝ ＝2R. 2. 正弦定理的变式（R为△ABC外接圆的半径） 变式1：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； 变式2： sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ； 变式3：a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A； 变式4：a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦定理对任意的三角形都成立. （　√　） （2）在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立. （　√　） （3）在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B. （　×　） （4）任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素. （　×　） √ √ × × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在△ABC中，若a＝10 ，b＝10，A＝60°，则B＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 30°或150° 解析：　由 ＝ ，得 sin B＝ ＝ ＝ .又a＞b，所以 A＞B，所以B＝30°. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若△ABC是☉O的内接正三角形，且☉O的半径为10，则△ABC的边长 为 ⁠ 解析：设☉O的半径为R，则由正弦定理的推广得 ＝ ＝2R＝20， 解得a＝10 . 10 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜已知两角及一边解三角形 【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.（ 参 考值 sin 75°＝ ） 解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°. 由 ＝ 得，c＝ ＝ ＝ ＝4（ ＋1）.所以A＝ 45°，c＝4（ ＋1）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知两角及一边解三角形的一般步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　在△ABC中，B＝ ，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长 为 ⁠. 解析：利用正弦定理可知，B对的边最大， ∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∵ ＝ ， ∴b＝ ＝ ＝5 . 5 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜已知两边及一边的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，已知a＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形. （ 参考值 sin 75°＝ ， sin 15°＝ ） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ， ∵b＜a，∴A＝60°或120°， 当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ ； 当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°， ∴c＝ ＝ ＝ . 故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ； 当A＝120°时，C＝15°，c＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”其他条件不变，解此 三角形. 解：由正弦定理 ＝ ， 知 sin B＝ ＝ ， ∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°， ∴c＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　） A. 60° B. 60°或120° C. 60°或150° D. 120° 解析：　a＜b⇒A＜B⇒B＞30°，由正弦定理可知 ＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故 选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝ 3， sin A＝ ，则B＝（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析：由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .因为b ＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜判断三角形的形状 【例3】　已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. （1）若a cos B＝b cos A，则△ABC是 三角形； 解析：由正弦定理 ＝ ，得 ＝ . 又a cos B＝b cos A，所以 cos A、 cos B均不为零， 所以 ＝ ，所以 ＝ ， 所以 ＝ ， 即tan A＝tan B. 因为A，B是三角形内角，则A＝B，故△ABC是等腰三 角形. 等腰 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若b2＋c2＝a2＋bc，且 sin B· sin C＝ sin 2A，则△ABC是 ⁠ 角形. 解析：在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc， 所以 cos A＝ ＝ ＝ . 又因为A∈（0，π），所以A＝ . 因为 sin B· sin C＝ sin 2A，所以bc＝a2. 又由b2＋c2＝a2＋bc，得（b－c）2＝a2－bc＝0， 所以b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形. 等边 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用正弦定理判断三角形形状的方法 （1）化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三 角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状； （2）化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根 据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角 形的形状. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝ ＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个内角是30°的直角三角形 √ 解析：　已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B ＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故选C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜三角形解的个数的判断 【例4】 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否 有解，有解的作出解答. （1）a＝10，b＝20，A＝80°； 解：a＝10，b＝20，a＜b，A＝80°＜90°， 讨论如下： 因为b sin A＝20 sin 80°＞20 sin 60°＝10 ， 所以a＜b sin A，所以本题无解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）a＝2 ，b＝6，A＝30°. 解：a＝2 ，b＝6，a＜b，A＝30°＜90°， 因为b sin A＝6 sin 30°＝3，a＞b sin A， 所以b sin A＜a＜b，所以三角形有两解. 由正弦定理得 sin B＝ ＝ ＝ ， 又因为B∈（0°，180°），所以B＝60°或B＝120°. 当B＝60°时，C＝90°，c＝ ＝ ＝4 ； 当B＝120°时，C＝30°，c＝ ＝ ＝2 . 综上，当B＝60°时，C＝90°，c＝4 ；当B＝120°时，C＝30°， c＝2 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 三角形解的个数的判断方法 　　在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不 确定的情况，一般可根据三角形中大边对大角和三角形内角和定理来取 舍，具体解的情况如表： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜ b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 　　上表中，若A为锐角，则当a＜b sin A时无解；若A为钝角或直角，则 当a≤b时无解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 符合下列条件的△ABC有且只有一个的是（　　） A. a＝1，b＝ ，A＝30° B. a＝1，b＝2，c＝3 C. b＝c＝1，B＝45° D. a＝1，b＝2，A＝100° 解析：　对于A，由正弦定理得 ＝ ，所以 sin B＝ ，又a＜ b，所以B＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个；对于B，a＋b ＝c，构不成三角形；对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°， 所以满足条件的三角形只有一个；对于D，a＜b，所以A＜B，而A＝ 100°，所以没有满足条件的三角形.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有两解，则x的 取值范围是（　　） A. （2，＋∞） B. （0，2） C. （2，3） D. （2，4） 解析：　如图所示，因为AC＝b＝2，若三角形有两个 解，则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，当 A＝90°时，圆与BA相切，不符合题意；当A＝30°时， 圆与BA交于B点，不符合题意；所以30°＜A＜150°，且A≠90°，所以 ＜ sin A＜1，由正弦定理得 sin A＝ ＝ x，则 ＜ x＜1，解得2＜x＜4.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 在△ABC中，a＝5，b＝3，则 sin A∶ sin B的值是（　　） A. B. C. D. 解析：　根据正弦定理，得 ＝ ＝ .故选A. √ 2. 在△ABC中，若 sin A＝ sin C，则△ABC是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 解析：　由 sin A＝ sin C及正弦定理，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝4，则AC＝（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 解析：　由题意可得B＝180°－A－C＝30°，由正弦定理 ＝ ，因此，AC＝ ＝2 .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（　　） A. a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C. a＝ ，b＝ ，A＝60°，无解 D. a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：选项A，b sin A＝14 sin 30°＝7＝a，则三角形有一解.判断错误；选项B，b sin A＝25 sin 150°＝ ，则a＞b＞b sin A，则三角形有一解.判断正确；选项C，b sin A＝ sin 60°＝ ，则a＜b sin A，则三角形无解.判断正确；选项D，b sin A＝9 sin 45°＝ ，则a＜b sin A，则三角形无解.判断错误.故选B、C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3 ，则B＝ ⁠. 解析：在△ABC中，A＝45°，a＝6，b＝3 ，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin B＝ .因为a＝6，b＝3 ，所以A＞ B，所以B＝30°. 30° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝（　　） A. 1 B. C. 3 D. 解析：C＝180°－30°－15°＝135°，c＝ ＝ ＝3 .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析：　由题意可知 ＝b＝ ，则 sin B＝1，又B∈（0，π），故 B为直角，△ABC是直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ＝ ，则 cos B＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　依题意 ＝ ＝ ，故 cos B＝ sin B，故tan B＝ ，又B∈（0，π），则B＝ ，所以 cos B＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c， sin 2A＋ sin 2C－ sin A sin C－ sin 2B＝0，则C＝（　　） A. B. C. D. 解析：　 sin 2A＋ sin 2C－ sin A sin C－ sin 2B＝0，由正弦定理得b2＝a2 ＋c2－ac.又a＝2c，所以b2＝4c2＋c2－2c2＝3c2，从而 cos C＝ ＝ ＝ .又因为C∈（0，π），所以C＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 4 解析：易知A＝45°，由 ＝ 得b＝ ＝ ＝4 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝ 2，A＝ .若△ABC有唯一解，则a的值可以是（　　） A. 1 B. C. D. 解析：因为b＝2，A＝ ，△ABC有唯一解，所以a＝b sin A＝ 或a≥b＝2，即a∈{ }∪[2，＋∞），故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 〔多选〕以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　） A. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则a＝b B. 在△ABC中，a≥b sin A C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B D. 在△ABC中， ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则2A＝2B，或A＋B＝ ，所以a＝b或a2＋b2＝c2，故A错误；在△ABC中，由正弦定理得a＝ ，因为 sin B∈（0，1]，所以a≥b sin A，故B正确；在△ABC中，由正弦定理得 sin A＞ sin B⇔ ＞ ⇔a＞b⇔A＞B，所以若 sin A＞ sin B，则A＞B，故C正确；在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2R，所以 ＝ ＝2R＝ ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 在△ABC中，已知a＝ ， sin C＝2 sin A，则c＝ 　2 　. 解析：由正弦定理，得c＝ ＝2a＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b sin A＝a sin C，c＝1，则b＝ ，△ABC面积的最大值为 ⁠. 解析：因为b sin A＝a sin C，所以由正弦定理可得ba＝ac，所以b＝c＝ 1，所以S△ABC＝ bc sin A＝ sin A≤ ，当 sin A＝1，即A＝90°时，三角 形面积最大为 . 1 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin 2A＋ sin 2B ＝ sin 2C＋ sin A sin B. （1）求C； 解：因为 sin 2A＋ sin 2B＝ sin 2C＋ sin A· sin B， 所以由正弦定理得a2＋b2＝c2＋ ab， 所以由余弦定理得 cos C＝ ＝ ＝ ， 又C∈（0，π），所以C＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若c＝1，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长. 解：结合（1）得S△ABC＝ ab sin C＝ ab× ＝ ，即ab＝ ， 又a2＋b2＝c2＋ ab，即（a＋b）2＝c2＋ ab＋2ab＝1＋3＋2 ＝4 ＋2 ，所以a＋b＝1＋ ， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝1＋ ＋1＝ ＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝ ，b＝ 2，c＝8，则 ＝（　　） A. B. 4 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4＋64－2×2×8× ＝52，解得a＝ 2 .设△ABC外接圆半径为R，则 ＝ ＝2R＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列 各组条件使得△ABC有唯一解的是（　　） A. a＝3，b＝4，A＝30° B. a＝3，b＝4， cos B＝ C. a＝3，b＝4，C＝30° D. a＝3，b＝4，B＝30° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：选项A，由正弦定理 ＝ ，得 sin B＝ · sin A＝ × ＝ .因为 ＜ ＜ ，所以角B在（30°，45°）和（135°，150°）上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于π，所以A中三角形有两个解，故A错误.选项B，根据余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得16＝9＋c2－ c，解得c＝5或c＝－ （舍去），所以B中三角形有唯一解，故B正确.选项C，已知两边及其夹角，根据余弦定理可以求得唯一的边c，所以C中三角形有唯一解，故C正确.选项D，由正弦定理 ＝ ，得 sin A＝ sin B＝ × ＝ .因为 ＜ ，所以角A在（0°，30°）和（150°，180°）上各有一个解，当解在（150°，180°）时，角B与角A的和大于180°，舍去，所以D中三角形有唯一解，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝ 60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 ⁠. 解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2， 由正弦定理可得 ＝ ，得c＝ . 若此三角形有两解， 则必须满足的条件为c＞b＞c sin B， 即 ＜b＜2. （ ，2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b sin A＝a cos B. （1）求B； 解：由 b sin A＝a cos B及正弦定理， 得 sin B sin A＝ sin A cos B. 在△ABC中， sin A≠0， ∴ sin B＝ cos B， ∴tan B＝ . ∵0＜B＜π，∴B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若b＝3， sin C＝ sin A，求a，c. 解：由 sin C＝ sin A及正弦定理， 得c＝ a，　① 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得32＝a2＋c2－2ac cos B， 即a2＋c2－ ac＝9，　② 联立①②，解得a＝3，c＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B. 则下列三个不等式 中成立的是 ⁠. ① sin A＞ sin B； ② cos A＜ cos B； ③ sin A＋ sin B＞ cos A＋ cos B. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：A＞B⇔a＞b⇔ sin A＞ sin B，故①成立.函数y＝ cos x在区间[0， π]上单调递减，∵A＞B，∴ cos A＜ cos B，故②成立.在锐角三角形中， ∵A＋B＞ ，∴0＜ －B＜A＜ ，函数y＝ sin x在区间 上单调递 增，则有 sin A＞ sin ，即 sin A＞ cos B，同理 sin B＞ cos A，故③ 成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2bc sin A＝ （a2＋c2－b2）. （1）求B的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：由余弦定理及2bc sin A＝ （a2＋c2－b2）， 可得b sin A＝ a cos B， 又由正弦定理，可得 sin B sin A＝ sin A cos B， 因为0＜A＜π， 所以 sin A≠0， 所以 sin B＝ cos B， 所以tan B＝ ， 又因为0＜B＜π， 所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若△ABC外接圆的半径为 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长. 解：由（1）可知 sin B＝ ，又知△ABC外接圆的半径为 ， 则由正弦定理得b＝2R sin B＝2× × ＝3. 又由S＝ ac sin B＝ ， 可得ac＝9， 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝（a＋c）2－3ac， 所以（a＋c）2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36， 所以a＋c＝6， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $