2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 平面向量及其应用 互动设计 2.6.2平面向量在几何、物理中的应用举例 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 掌握平面向量在几何（如长度、角度、平行、垂直）和物理（如力的合成与分解、位移、速度）中的应用方法，能运用向量知识解决简单的几何和物理问题。 通过情境探究、互动分析，体会向量的工具性，提升将实际问题转化为向量问题的建模能力，培养逻辑推理和运算求解能力。 感受向量与现实生活、数学各分支的联系，激发学习兴趣，培养运用数学知识解决实际问题的意识和能力。 新课引入 在日常生活中，我们经常会遇到这样的场景——两个人共同拉一个重物，不同的拉法（方向、力度），重物的运动效果不同； 这个问题中，力、位移、速度都是既有大小又有方向的量，而我们所学的平面向量恰好可以描述这类量，如何用向量知识分析这些物理现象呢？ 新课引入 在几何中，我们常常需要判断两条直线是否平行、垂直，计算线段的长度、三角形的角度，比如已知平行四边形的两个邻边对应的向量，如何快速求出它的对角线长度？如何判断一个四边形是否为矩形？ A B C D M A B C D E F H 今天，我们就一起来探究平面向量在几何和物理中的具体应用，解锁向量的“工具密码”。 构建体系 平面向量在几何中的应用 向量在几何中的应用核心是利用向量的运算（加减、数量积）表示几何中的长度、角度、平行、垂直关系，将几何问题转化为向量问题求解，具体应用如下： 应用类型 核心公式/结论 坐标形式（） 用途 长度问题 — 求线段长度、图形边长 角度问题 （为与夹角） — 求两线段夹角、三角形内角 平行问题 （为实数，非零） 判断直线、线段平行 垂直问题 判断直线、线段垂直 构建体系 平面向量在几何中的应用 向量法解决几何问题的”三步曲” 步骤 内容 关键操作 第一步 建立几何与向量的联系 选择基底或建立坐标系，用向量表示几何元素 第二步 通过向量运算研究关系 利用线性运算、数量积、向量积进行推理 第三步 把运算结果”翻译”成几何关系 将向量关系转化为位置关系或度量关系 构建体系 平面向量在物理中的应用 物理中，力、位移、速度、加速度等都是向量，向量的运算在物理中具有明确的实际意义，具体应用如下： 应用场景 核心原理 对应向量运算 公式/说明 力的合成与分解 力是向量，遵循平行四边形定则 向量加法、减法、正交分解 多个力→合力：向量加法一个力→分力：向量分解 位移与速度 位移、速度均为向量 向量加法、平行四边形/三角形定则 合位移=各位移向量和合速度同力的合成法则 功的计算 功是标量，由力与位移的数量积求得 向量数量积 为与夹角 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 1.如图，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，并且BE=FD.求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：由已知可设==， ==， =+= ， =+= ， 所以=，即边AE，FC平行且相等. 因此，四边形AECF是平行四边形· A B C D E F 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 2.求证：平行四边形的对角线互相平分. 已知：如图，已知□ABCD的两条对角线相交于点M. 求证：AC，BD互相平分. 证明：设=x， =y，则 =x=x + x ， +=+ y， =+y( - )， =(1-y) +y . A B C D M 于是得到关于基{， }的两个分 解式. 因为分解是唯一的，, 所以点M是AC和BD的中点，即对角 线AC和BD在交点M处互相平分. 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 　3.(1)已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．邻边不相等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 解析：方法一 设，，则，，又，，所以。 故，即。 典例分析 题型1 向量在平面几何中应用 典例分析 题型2 平面向量在物理中的应用 5.某人在静水中的游泳速度为4km/h，水流速度为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少? 解：如图，设水流速度为，此人的实际速度为，游泳速度为. 由于实际速度=游泳速度+ 水流速度，因此= = - .依题意，在Rt△AOB中，||= 4，||=4.所以||= ，cos∠BAO== 故此人应沿与河岸夹角余弦值为、逆着水流方向前进，实际前进 的速度大小为4. O A B C 典例分析 题型2 平面向量在物理中的应用 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分)．(参考数值：tan 67°53′≈2.4616) 典例分析 题型2 平面向量在物理中的应用 如图所示，求力F1，F2的合力F的大小(精确到0.1 N)和方向(精确到分)．(参考数值：tan 67°53′≈2.4616) 举一反三 1. 已知△ABC中，AB=5，BC=6，CA=7，用向量法求cosA。 解：设，，则,由： ,, 2.一物体在力F=(3,4)（单位：N）的作用下，从点A(1,2)移动到点B(5,5)（单位：m），求力F对物体做的功。 解：位移向量 功（J） 举一反三 3.证明：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。 证明：设， 对角线：， 即 举一反三 4. 在中，O为外心，H为垂心，求证：。 证明：设外接圆半径为R，以O为原点。 需证，即 设，，，则 验证： 同理可证， 故H为垂心，等式成立。 学海拾贝 知识小结 平面向量的应用 │ ┌─────────┴─────────┐ │ │ 几何应用 物理应用 │ │ ┌───┼───┐ ┌───┼───┐ │ │ │ │ │ │ 证明 求值 轨迹 力 速度 位移 平行 距离 合成 合成 合成 垂直 夹角 分解 分解 分解 学海拾贝 方法小结 问题类型 向量策略 关键公式 证明平行 证 证明垂直 证 求夹角 用数量积定义 求长度 求 力的合成 平行四边形法则 速度分解 正交分解 ， 学海拾贝 核心思想 向量是数形结合的桥梁——既有大小方向（几何特征），又能运算推理（代数特征）。选择基底或建系，是将几何问题代数化的关键；而将运算结果回归几何意义，是解决问题的归宿。 感谢聆听! 解析：(1)∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(－4,3)，eq \o(DC,\s\up13(→))＝(－4,3)，eq \o(AD,\s\up13(→))＝(8,0)， ∴eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，可得AB、DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝5，|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝8，∴|eq \o(AB,\s\up13(→))|≠|eq \o(AD,\s\up13(→))| ∴四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形． (2)∵|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝|eq \o(OB,\s\up13(→))|＝|eq \o(OC,\s\up13(→))|， ∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心． ∵eq \o(PA,\s\up13(→))·eq \o(PB,\s\up13(→))＝eq \o(PB,\s\up13(→))·eq \o(PC,\s\up13(→))＝eq \o(PC,\s\up13(→))·eq \o(PA,\s\up13(→))∴eq \o(PB,\s\up13(→))·(eq \o(PA,\s\up13(→))－eq \o(PC,\s\up13(→)))＝0，eq \o(PA,\s\up13(→))·(eq \o(PB,\s\up13(→))－eq \o(PC,\s\up13(→)))＝0， ∴eq \o(PB,\s\up13(→))⊥eq \o(CA,\s\up13(→))，eq \o(PA,\s\up13(→))⊥eq \o(CB,\s\up13(→))，∴P是△ABC的垂心． (2)已知点O，P在△ABC所在平面内，且|eq \o(OA,\s\up14(→))|＝|eq \o(OB,\s\up14(→))|＝|eq \o(OC,\s\up14(→))|，eq \o(PA,\s\up14(→))·eq \o(PB,\s\up14(→))＝eq \o(PB,\s\up14(→))·eq \o(PC,\s\up14(→))＝eq \o(PC,\s\up14(→))·eq \o(PA,\s\up14(→))，则点O，P依次是△ABC的(　　) A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心 4.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 方法二　建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \o(AF,\s\up13(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up13(→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up13(→))·eq \o(DE,\s\up13(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以eq \o(AF,\s\up13(→))⊥eq \o(DE,\s\up13(→))，即AF⊥DE. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 解析：设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)， 则a1＝300cos 30°＝150eq \r(3)，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cos 45°＝－100eq \r(2)，b2＝200sin 45°＝100eq \r(2)， 所以F1＝(150eq \r(3)，150)，F2＝(－100eq \r(2)，100eq \r(2))， 则F＝F1＋F2＝(150eq \r(3)，150)＋(－100eq \r(2)，100eq \r(2))＝(150eq \r(3)－100eq \r(2)，150＋100eq \r(2))， |F|＝eq \r(150\r(3)－100\r(2)2＋150＋100\r(2)2)＝100eq \r(13＋3\r(2)－3\r(6))≈314.6. 设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(150＋100 \r(2),150\r(3)－100\r(2))≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′. 故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′. 解析：设F1＝(a1，a2)，F2＝(b1，b2)， 则a1＝300cos 30°＝150eq \r(3)，a2＝300sin 30°＝150，b1＝－200cos 45°＝－100eq \r(2)，b2＝200sin 45°＝100eq \r(2)， 所以F1＝(150eq \r(3)，150)，F2＝(－100eq \r(2)，100eq \r(2))， 则F＝F1＋F2＝(150eq \r(3)，150)＋(－100eq \r(2)，100eq \r(2))＝(150eq \r(3)－100eq \r(2)，150＋100eq \r(2))， |F|＝eq \r(150\r(3)－100\r(2)2＋150＋100\r(2)2)＝100eq \r(13＋3\r(2)－3\r(6))≈314.6. 设F与x轴的正方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(150＋100 \r(2),150\r(3)－100\r(2))≈2.461 6.由F的坐标知θ是第一象限的角，所以θ≈67°53′. 故两个力的合力约是314.6 N，与x轴正方向的夹角大约为67°53′，与y轴的正方向的夹角大约为22°7′. $