第4章 3.2 半角公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦半角公式核心知识点，系统梳理从倍角公式推导半角公式的过程，揭示两者内在逻辑联系，搭建“公式推导-符号表示-应用场景”的学习支架，落实课标对逻辑推理和数学运算素养的要求。 以“电脑输入法半角全角”生活实例引入，激发探究兴趣，通过题型分类（求值、化简、综合应用）和通性通法总结，培养数学思维，母题探究与跟踪训练结合，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

3.2　半角公式 课标要求 1.能从倍角公式推导出半角公式，并了解它们的内在联系（逻辑推理、数学运算）. 2.能够运用半角公式，解决化简、求值问题（数学运算）. 　　 　　类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也有倍角公式与半角公式，由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？ 【问题】　由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　半角公式 　　提醒：（1）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，sin，cos，tan 的值便可求出；（2）由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）半角公式对任意角都适用.（　×　） （2）cos＝.（　×　） （3）tan ＝，只需满足α≠2kπ＋π（k∈Z）.（　√　） 2.若cos α＝，且α∈（0，π），则sin ＝（　　） A.－　　　B.　　　C.　　　D.－ 答案：B 3.已知α∈（0，），cos α＝，tan ＝. 解析：因为α∈（0，），cos α＝，所以sin α＝.所以tan ＝＝＝. 题型一｜应用半角公式求值 【例1】　已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值. 解：∵π＜α＜，sin α＝－， ∴cos α＝－，且＜＜， ∴sin ＝ ＝， cos ＝ －＝－， tan＝＝－2. 通性通法 利用半角公式求值的思路 （1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解； （2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 【跟踪训练】 1.求值cos ＝. 解析：cos＝＝ ＝. 2.已知cos 2θ＝－，＜θ＜π，求tan的值. 解：因为cos 2θ＝－，＜θ＜π， 由半角公式得 sin θ＝＝＝， cos θ＝－＝－＝－， 所以tan＝＝＝. 题型二｜三角函数式的化简 【例2】　化简： . 解：∵＜α＜2π， ∴＜＜π， ∴原式＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cos α. 通性通法 化简问题中的“三变” （1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择适当的公式； （2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切； （3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等. 【跟踪训练】 化简sin2（ α－）＋sin2（ α＋）－sin2α的结果是　 解析：原式＝＋－sin2α＝1－［cos（ 2α－）＋cos（ 2α＋）］－sin2α＝1－cos2α·cos－sin2α＝＋－＝. 题型三｜三角恒等变换的综合应用 【例3】　已知函数f（x）＝sin＋2cos2x－1. （1）化简f（x）； 解：f（x）＝sin＋2cos2x－1＝sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝·sin 2x＋cos 2x＝sin，故f（x）＝sin. （2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的取值集合. 解：当2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即 x＝kπ＋，k∈Z时，f（x）max＝1.故f（x）取最大值时x的取值集合为{xx＝kπ＋，k∈Z}. 【母题探究】 1.（变设问）本例条件不变，若＜α＜且f（α）＝，求cos 2α的值. 解：由题意f（α）＝sin＝. 由＜α＜， 得＜2α＋＜， 所以cos＝－. 因此cos 2α＝cos ＝coscos＋sinsin ＝. 2.（变条件）若本例中的“函数f（x）＝sin＋2cos2x－1”换为“f（x）＝sin2x＋asin xcos x－cos2x且f＝1”. （1）化简f（x）； （2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合. 解：（1）∵f＝1，∴sin2＋asincos－cos2＝1，解得a＝2. ∴f（x）＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝sin. （2）当2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，f（x）有最大值，此时x的取值集合为{x｜x＝kπ＋，k∈Z}. 通性通法 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1. （1）求函数f（x）的单调递增区间； 解：f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－1 ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. （1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z）， 得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， ∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）. （2）当x∈时，求函数f（x）的最大值及相应的x值. 解：由x∈，可得≤2x＋≤. ∴当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最大值，最大值为2. 1.sin ＝（　　） A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　sin ＝＝＝＝＝.故选B. 2.下列各式与tan α相等的是（　　） A. B. C. D. 解析：D　＝＝＝tan α. 3.已知cos θ＝－，π＜θ＜，则tan ＝（　　） A.－　　　B. C.－　　　D. 解析：C　由已知得sin θ＝－＝－，则tan ＝＝＝－. 4.已知tan ＝，则cos α＝. 解析：因为tan ＝±，所以tan2＝.所以＝，解得cos α＝. 5.化简：＝1. 解析：原式＝＝＝1. ▶拓视野　三角恒等变换中的“四变”策略 类型一｜变角——角的变换 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果. 【例1】　已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则sin 4α＝－. 解析：因为tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝＝－， 所以sin 4α＝＝－. 类型二｜变名——函数名称变换 对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，从而提高解题效率. 【例2】　当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值是4. 解析：因为0＜x＜， 所以0＜tan x＜1，所以f（x）＝＝≥4， 当且仅当tan x＝时取“＝”. 类型三｜变幂——升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，看是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题目中的要求，正确选用半角公式、倍角公式等三角公式，从而达到化简解题的目的. 【例3】　已知α为第二象限角，且sin α＝，则＝－. 解析：＝＝＝.又α为第二象限角，且sin α＝，所以cos α＝－，所以＝＝－. 类型四｜变数——常数变换 【例4】　已知tan（＋α）＝2，则＝. 解析：由tan（＋α）＝＝2，得tan α＝，于是＝＝＝. 1.tan 15°＝（　　） A.2＋　　B.2－　　C.＋1　　D.－1 解析：B　由tan ＝，得tan 15°＝＝2－. 2.已知180°＜α＜360°，则cos ＝（　　） A.－ B. C.－ D. 答案：C 3.已知cos α＝－，＜α＜π，则sin＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：D　由＜α＜π可知，＜＜，故sin ＝＝＝. 4.化简＝（　　） A.－cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.－cos 1 解析：C　原式＝＝＝cos 1，故选C. 5.〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A.∃x∈R，sin2＋cos2＝ B.∃x，y∈R，sin（x－y）＝sin x－sin y C.∀x∈[0，π]，＝sin x D.sin x＝cos y⇒x＋y＝ 解析：BC　因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin（x－y）＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝｜sin x｜＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题.故选B、C. 6.〔多选〕函数f（x）＝（1＋cos 2x）·sin2x（x∈R），则下列说法正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的最小正周期为 C.f（x）是奇函数 D.f（x）是偶函数 解析：BD　因为f（x）＝（1＋cos 2x）（1－cos 2x）＝（1－cos22x）＝sin22x＝（1－cos 4x）.又f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是最小正周期为的偶函数，选B、D. 7.某同学在一次研究性学习中发现以下规律： ①sin 60°＝； ②sin 120°＝，请根据以上规律写出符合题意的一个等式sin 30°＝.（答案不唯一） 解析：sin 30°＝（只要符合公式sin α＝且有意义即可）. 8.若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的正弦值为或. 解析：设顶角为α，则α∈（0，π），∈（0，），则sin α＝，cos α＝±＝±，所以cos＝＝或，则其底角的正弦值为sin（－）＝cos＝或. 9.在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝－. 解析：sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－. 10.已知函数f（x）＝4cos xsin－1. （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间上的最大值与最小值. 解：（1）f（x）＝4cos xsin－1 ＝4cos x－1 ＝sin 2x＋2cos2x－1 ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 所以f（x）的最小正周期为π. （2）因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤， 所以当2x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值2， 当2x＋＝－，即x＝－时，f（x）有最小值－1. 11.若α∈（0，），＝tan ，则tan α＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一　因为＝tan，所以＝，又α∈（0，），所以sin α≠0，所以2－cos α＝1＋cos α，所以cos α＝，又α∈（0，），所以α＝，所以tan α＝. 法二　因为tan ＝，所以＝，又α∈（0，），所以∈（0，），所以sin≠0，所以2－cos α＝2cos2，即2－cos α＝1＋cos α，所以cos α＝，又α∈（0，），所以α＝，所以tan α＝. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝cos 2x－2sin xcos x，则下列结论中正确的是（　　） A.存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f（x1）＝f（x2）成立 B.f（x）在区间上单调递增 C.函数f（x）的图象关于点对称 D.函数f（x）的图象关于直线x＝对称 解析：AC　易知f（x）＝2sin＝2sin（2x＋），∴f（x）的最小正周期T＝π，A正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤－＋kπ（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，－＋kπ］（k∈Z），B错误；∵对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ（k∈Z），∴x＝－（k∈Z），当k＝1时，x＝，C正确；f＝2sin＝－≠±2，D错误.故选A、C. 13.我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成为了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，设Rt△AFB中AF＝a，BF＝b，较小的锐角∠FAB＝α.若（a＋b）2＝196，正方形ABCD的面积为100，则cos 2α＝，sin －cos ＝－. 解析：由已知得a2＋b2＝100，（a＋b）2＝196，且a＞b，解得a＝8，b＝6，所以cos α＝＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×（）2－1＝，因为0＜α＜，所以0＜＜，所以sin ＝＝，cos ＝＝，所以sin －cos ＝－＝－. 14.已知f（x）＝，若α∈（，π），化简：f（cos α）＋f（－cos α）. 解：f（cos α）＋f（－cos α）＝＋＝｜tan ｜＋｜｜. ∵＜α＜π，∴＜＜，∴tan ＞0，故f（cos α）＋f（－cos α）＝tan ＋＝＝·＝＝. 15.已知函数f（x）＝，则f（ －）＝　－. 解析：f（x）＝ ＝ ＝＝2cos 2x. f（ －）＝2cos＝2cos＝－. 16.如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求最大面积. 解：如图所示，设OE交AD于点M，交BC于点N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点， 在Rt△ONC中，CN＝sin α，ON＝cos α， OM＝＝DM＝CN＝sin α， 所以MN＝ON－OM＝cos α－sin α， 即AB＝cos α－sin α， 而BC＝2CN＝2sin α， 故S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos α－sin α）·2sin α＝2sin αcos α－2sin2α＝sin2α－（1－cos 2α） ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝2－＝2sin－. 因为0＜α＜， 所以0＜2α＜，＜2α＋＜. 故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值， 此时S矩形ABCD＝2－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $