第2章 5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

5.2　向量数量积的坐标表示 5.3　利用数量积计算长度与角度 1 1.掌握向量数量积的坐标表示（数学运算）. 2.会利用数量积计算向量的模与夹角（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）， 我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标. 【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5 知识点　平面向量数量积、模、夹角的坐标表示 1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ ⁠. 这就是说，两个向量的数量积等于它们 ⁠. x1x2＋y1y2　 对应坐标的乘积的和　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 平面向量模的坐标表示 （1）设a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，或｜a｜ ＝ ⁠； （2）如果表示向量a的有向线段 的起点和终点坐标分别为A（x1， y1），B（x2，y2），那么a＝（x2－x1，y2－y1），｜a｜＝ ⁠ ，这就 是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 3. 平面向量垂直的充要条件的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔ ⁠. x2＋y2　 　 ｜ ｜＝ 　 x1x2＋y1y2＝0　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 平面向量夹角的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ 　 　（｜a｜｜b｜≠0）. 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？ 提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点： 坐标表示 记忆口诀 垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0 平行 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？ 与a垂直的单位向量的坐标又是什么？ 提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝± a＝± ＝± ，其中正号、负号分别表示与a同向和反向.易 知b＝（－y，x）和a＝（x，y）垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐 标为± ，其中正、负号表示不同的方向. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0. （　×　） （2）若两个非零向量的夹角θ满足 cos θ＞0，则两向量的夹角θ一定是 锐角. （　×　） （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜＝ . （　√　） （4）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝ 0，则向量a与b的夹角为0°. （　×　） × × √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），｜ ｜＝1，则 · ＝ （　　） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 解析：　因为 ＝ － ＝（1，t－3），所以｜ ｜＝ ＝1，解得t＝3，所以 ＝（1，0），所以 · ＝ 2×1＋3×0＝2，故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知向量a＝（1， ），b＝（ ，1），则a与b夹角的大小 为 ⁠. 解析：由题意得｜a｜＝ ＝2，｜b｜＝ ＝2，a·b＝1× ＋ ×1＝2 .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ .∵θ∈[0， π]，∴θ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 角度1　数量积的坐标运算 【例1】　已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）. （1）求a·（a－b）； 解：a·（a－b）＝a·a－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4. （2）求（a＋b）·（2a－b）； 解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4）， 2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2）， 所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝ －2. 题型一｜平面向量数量积的坐标运算 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若c＝（2，1），求（a·b）·c，a·（b·c）. 解：（a·b）·c＝[（－1，2）·（3，2）]·（2，1）＝（－1×3＋ 2×2）·（2，1）＝（2，1）. a·（b·c）＝（－1，2）·[（3，2）·（2，1）]＝（－1，2）·（3×2＋ 2×1）＝8（－1，2）＝（－8，16）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　数量积的坐标运算在几何图形中的应用 【例2】　如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝ AD＝4，CD＝8.若 ＝－7 ，3 ＝ ，则 · ＝（　　） A. 11 B. 10 C. －10 D. －11 √ 解析：　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0）， B（4，0），E（1，4），F（5，1），所以 ＝（5， 1）， ＝（－3，4），所以 · ＝－15＋4＝－11. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 数量积运算的途径及注意点 （1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解 题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运 算；二是先将向量用基表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据 已知计算； （2）对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征， 建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），则（a＋b）·c ＝ ；a·b＝ ⁠. 解析：∵a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），∴a＋b＝（4， 0），∴（a＋b）·c＝4×0＋0×1＝0，∴a·b＝2×2＋1×（－1）＝3. 0 3 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上， ＝ 2 ，则 · ＝ ⁠. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D （2，2），B（0，0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F .所 以 ＝（2，1）， ＝ －（2，0）＝ ，所以 · ＝ （2，1）· ＝2× ＋1×2＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜与平面向量模有关的问题 【例3】　（2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋ 2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（　　） A. B. C. D. 1 解析：　因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又 因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从 而｜b｜＝ .故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求向量的模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a·a，将向量模的运算转化为向 量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝｜a｜2＝x2＋y2， 于是有｜a｜＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　在▱ABCD中，已知 ＝（－4，2）， ＝（2，－6），那么｜2 ＋ ｜＝（　　） A. 5 B. 2 C. 2 D. 解析：　设 ＝a， ＝b，则a＋b＝ ＝（－4，2）.b－a＝ ＝（2，－6），所以b＝（－1，－2），a＝（－3，4），所以2 ＋ ＝2a＋b＝（－7，6），所以｜2 ＋ ｜＝ ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜向量的夹角与垂直问题 【例4】　已知向量a＝（2，－1），b＝（m，3），若（a＋b）⊥a， 则a，b的夹角为（　　） A. B. C. D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为a＝（2，－1），b＝（m，3），所以a＋b＝（2＋m， 2）.因为（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝4＋2m－2＝0，所以m＝－ 1.因为 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，所以向量a，b的夹角 为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及｜ a｜｜b｜，再由 cos θ＝求出 cos θ，也可由坐标表示 cos θ＝ 直接求出 cos θ.由三角函数值 cos θ求角θ时，应注意角 θ的取值范围是[0，π]； （2）由于0≤θ≤π，利用 cos θ＝来判断角θ时，要注意 cos θ ＜0有两种情况，一是θ为钝角，二是θ＝π； cos θ＞0也有两种情况，一 是θ为锐角，二是θ＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知向量a＝（3，1），b＝（1，0），c＝a＋kb.若a⊥c，则k ＝ ⁠. 解析：c＝（3，1）＋（k，0）＝（3＋k，1），a·c＝3（3＋k）＋1×1 ＝10＋3k＝0，得k＝－ . 2. 已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），｜c｜＝ . （1）求｜a＋2b｜； － 解：a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6）， ∴｜a＋2b｜＝ ＝3 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若（a＋b）·c＝ ，求向量a与c的夹角. 解：∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a， ∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝ . 设a与c的夹角为θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝－ . ∵0≤θ≤π，∴θ＝ π，即a与c的夹角为 π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知a＝（3，4），b＝（－2，－1），则（a－b）·（a＋2b）＝ （　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 解析：（a－b）·（a＋2b）＝（5，5）·（－1，2）＝－1×5＋2×5＝5. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，－3），且a⊥b，则x＝（　　） A. －3 B. －1 C. 1 D. －9 解析：因为a⊥b，所以a·b＝3x－3＝0，解得x＝1. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知平面向量 ＝（2，1）， ＝（－3t，3），若 ∥ ，则｜ ｜＝（　　） A. 2 B. 20 C. D. 2 解析：　因为平面向量 ＝（2，1）， ＝（－3t，3），且 ∥ ，所以2×3－1×（－3t）＝0，解得t＝－2，所以 ＝（6，3）， 所以 ＝ － ＝（6－2，3－1）＝（4，2），所以｜ ｜＝ ＝2 .故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 〔多选〕已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则下列结论正确的有 （　　） A. a·b＝5 B. a的单位向量是 C. ＜a，b＞＝ D. 与b垂直的单位向量是 √ √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a·b＝3×1＋（－ 1）×（－2）＝5，故A正确；因为a＝（3，－1），｜a｜＝ ，所以 a的单位向量是 ，故B正确；因为 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故C正确； 设与b垂直的单位向量是（x，y），可得 解得 或 故D错误.故选A、B、C. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 设向量a与b的夹角为θ，且a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则 cos θ＝ ⁠. 解析：设b＝（x，y），则2b－a＝（2x，2y）－（3，3）＝（2x－3， 2y－3）＝（－1，1），所以2x－3＝－1，2y－3＝1，解得x＝1，y＝2. 所以b＝（1，2）.所以 cos θ＝ ＝ ＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知向量a＝（1，2），b＝（4，3），则a·（2a－b）＝（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. －3 解析：2a－b＝（－2，1），则a·（2a－b）＝（1，2）·（－2，1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且｜b｜＝3 ，则 b＝（　　） A. （－3，6） B. （3，－6） C. （6，－3） D. （－6，3） 解析：　由题意，设b＝λa＝（λ，－2λ）（λ＜0），由于｜b｜＝ 3 .∴｜b｜＝ ＝ ＝3 ，∴λ＝－3，即b＝ （－3，6）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角为 （　　） A. － B. C. D. 解析：　2a＋b＝2（1，2）＋（1，－1）＝（2，4）＋（1，－1）＝ （3，3），a－b＝（1，2）－（1，－1）＝（0，3）.设夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知向量a＝（0，－2 ），b＝（1， ），则向量a在向量b上的 投影向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 解析：　向量a在向量b上的投影向量为 · ＝ · ＝－ b， 其坐标为－ （1， ）＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，1），c＝（2， t），则下列说法正确的是（　　） A. 若（a＋b）∥c，则t＝6 B. 若（a＋b）⊥c，则t＝ C. 若t＝1，则 cos ＜a，c＞＝ D. ｜a＋c｜＜3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　a＋b＝（－1，3），若（a＋b）∥c，则－t－6＝0，所以t ＝－6，故A错误；若（a＋b）⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝ ，故B正 确；若t＝1，则 cos ＜a，c＞＝ ＝ ＝ ，故C正确；a ＋c＝（3，t＋2），则｜a＋c｜＝ ≥3，故D错误.故选 B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知向量a在向量b上的投影向量为（ ， ），向量b＝ （1， ），则向量a可以为（　　） A. （0，2） B. （2，0） C. （1， ） D. （ ，1） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由向量b＝（1， ），得｜b｜＝ ＝2，又向 量a在向量b上的投影向量为 ·b＝（ ， ），所以＝ ， 所以a·b＝2 .对于A，a·b＝0×1＋2× ＝2 ，符合题意，A正 确；对于B，a·b＝2×1＋0× ＝2，不符合题意，B错误；对于C，a·b ＝1×1＋ × ＝4，不符合题意，C错误；对于D，a·b＝ ×1＋ 1× ＝2 ，符合题意，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知向量a与b方向相反，a＝（1，－ ），｜b｜＝2，则｜a－b｜ ＝ ⁠. 解析：∵a＝（1，－ ），∴｜a｜＝2，又向量a与b方向相反，且｜ b｜＝2，∴a＝－b，∴｜a－b｜＝2｜b｜＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若向量m＝（0，－2），n＝（ ，1），写出一个与2m＋n垂直的 非零向量： ⁠. 解析：因为m＝（0，－2），n＝（ ，1），所以2m＋n＝2（0，－ 2）＋（ ，1）＝（ ，－3）.设a＝（x，y）（x≠0且y≠0），若a 与2m＋n垂直，则a·（2m＋n）＝0，即 x－3y＝0，令x＝ ，则y ＝1，所以a＝（ ，1）. （ ，1）（答案不唯一，满足 x－3y＝0即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知向量a＝（2，1），b＝（1－x，x），c＝（－3x，3x），且 a∥b，则b，c夹角的余弦值为 ⁠. 解析：由a∥b，得2·x－（1－x）＝0，解得x＝ ，则b＝ ，c＝ （－1，1），所以 cos ＜b，c＞＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知向量a＝（2，k），b＝（1，1），满足b⊥（a－3b）. （1）求k的值； 解：a－3b＝（2，k）－（3，3）＝（－1，k－3）， ∵b⊥（a－3b）， ∴b·（a－3b）＝1×（－1）＋1×（k－3）＝0，∴k＝4. （2）求向量a与向量b夹角的余弦值. 解：由（1）得a＝（2，4），b＝（1，1）， ∴｜a｜＝ ＝2 ，｜b｜＝ ＝ ， ∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知a，b，c均为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则（a－b）·c的取 值范围是（　　） A. [0，1] B. [－1，1] C. [－ ， ] D. [0， ] 解析：由a，b为单位向量和｜a＋b｜＝1的几何意义，可知｜a－b｜＝ ，设a－b与c的夹角为θ，则（a－b）·c＝｜a－b｜｜c｜· cos θ＝ cos θ，∵ cos θ∈[－1，1]，∴（a－b）·c的取值范围为[－ ， ]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在 边CD上，若 · ＝3，则 · ＝（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，建立平面直角坐标系.结合题意知，A（0， 0），B（2，0），E（2，2）， ＝（2，0）， ＝（2， 2），设F（x，4），x∈[0，2]，则 ＝（x，4）.因为 · ＝3，所以2x＝3，x＝ ，所以 ＝（ ，4），所以 · ＝2× ＋2×4＝11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 设m＝（a，b），n＝（c，d），规定两向量m，n之间的一个运 算“ⓧ”为mⓧn＝（ac－bd，ad＋bc），若已知p＝（1，2），pⓧq ＝（－4，－3），则q的坐标为 ⁠. 解析：设q＝（x，y），则pⓧq＝（x－2y，y＋2x）＝（－4，－ 3），∴ ∴ ∴q＝（－2，1）. （－2，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在平面直角坐标系中，O为原点，A（－2，2），B（3，1）. （1） 在直线AB上的投影向量是 ，求 的坐标； 解：设 ＝ ＋λ ＝（3，1）＋λ（－5，1）＝（3－5λ，1＋λ），λ∈R， 由题意得 · ＝0，所以－5（3－5λ）＋1＋λ＝26λ－14＝0，所以 λ＝ ，所以 ＝（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若四边形AOBD是以OB为底的直角梯形，求点D的坐标. 解：四边形AOBD是以OB为底的直角梯形，且 · ＝－4＜0， 即∠AOB不是直角. 所以 ∥ ， ⊥ . 设D（x，y），则 ＝（x＋2，y－2）， ＝（x－3，y－1），又 ＝（3，1），所以 解得 所以点D的坐标为（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知向量a＝（3，2），b＝ ，且函数f（x）＝（a＋ xb）·（xa－b）的图象是一条直线，则｜b｜＝（　　） A. B. C. 2 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意，f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）＝x｜a｜2－a·b＋ x2a·b－x｜b｜2＝a·bx2＋（｜a｜2－｜b｜2）x－a·b，因为函数f （x）的图象是一条直线，所以a·b＝0，即3×（－1）＋2× ＝ 0，解得m＝－2，所以b＝ ，｜b｜＝ ＝ . 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，－3）， 点P的横坐标为14，且 ＝λ ，点Q是边AB上一点，且 · ＝0. （1）求实数λ的值与点P的坐标； 解：设P（14，y），则 ＝（14，y）， ＝（－8，－3－y），由 ＝λ ，得（14，y）＝λ（－8，－3－y），解得λ＝－ ，y＝－7， ∴点P的坐标为（14，－7）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求点Q的坐标； 解：设Q（a，b），则 ＝（a，b）， 由（1）得 ＝（12，－16），∵ · ＝0， ∴12a－16b＝0，即3a－4b＝0.　① ∵点Q在边AB上，∴AQ∥AB， 又 ＝（4，－12）， ＝（a－2，b－9）， ∴4（b－9）＋12（a－2）＝0，即3a＋b－15＝0.　② 联立①②，解得a＝4，b＝3，∴Q点坐标为（4，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求 ·（ ＋ ）的 取值范围. 解：由（2）得 ＝（4，3）， ∵R为线段OQ上的一个动点，∴设 ＝t ＝（4t，3t），且 0≤t≤1， 则R（4t，3t）， ＝（－4t，－3t）， ＝（2－4t，9－3t）， ＝（6－4t，－3－3t）， ∴ ＋ ＝（8－8t，6－6t）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ∴ ·（ ＋ ）＝－4t·（8－8t）－3t·（6－6t）＝50t2－50t＝50 （t－ ）2－ （0≤t≤1）， 当t＝0或1时，上式取得最大值0； 当t＝ 时，上式取得最小值－ . 故 ·（ ＋ ）的取值范围为［－ ，0］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $