2.5.2-2.5.3 向量数量积的坐标表示 利用数量积计算长度与角度-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标表示及长度、角度计算，衔接向量基本运算与坐标几何，通过课前自主预习（概念梳理+基础训练）搭建知识支架，课堂围绕坐标运算、夹角垂直、模长及几何应用四大题型展开，形成梯度进阶学习路径。 其特色在于以“问题情境—坐标建模—推理运算”为主线，例1正方形建系体现几何直观（数学眼光），例2夹角计算强化运算推理（数学思维），例4矩形问题渗透模型观念（数学语言）。分层训练结合高考真题，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.　 3.会利用数量积计算长度与角度. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b=____________. 2.向量长度的坐标表示 设a=(x,y),则|a|2=_______,或|a|=______________. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),那么|a|==___________________________. x1x2+y1y2 x2+y2 3.向量夹角的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==___________________ (|a||b|≠0). 4.向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔_______________. x1x2+y1y2=0 基础落实训练 1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 (　　) A.23 B.7 C.-23 D.-7 解析:a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7. √ 2.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 解析:∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. √ 3.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为__________. 解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5, |b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==. 4.与a=(3,-4)平行的单位向量的坐标有几个,是什么? 提示:因为a的模为5,所以与a平行的单位向量是±a.所以与a平行的单位向量有2个,对应坐标为或. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上, =2,则·=__________. 解析:建立平面直角坐标系如图所示, 则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0). 因为=2,所以F. 所以=(2,1),=-(2,0)=. 所以·=(2,1)· =2×+1×2=. (2)已知向量a和b同向,b=(1,2),a·b=10,求: ①向量a的坐标; ②若c=(2,-1),求(a·c)·b. 解析:①设a=λb=(λ,2λ)(λ>0). ∵a·b=10,∴λ×1+2λ×2=5λ=10, 解得λ=2.∴a=(2,4). ②(a·c)·b=[2×2+4×(-1)]·b=0·b=0. 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解. |思|维|建|模| 针对训练 1.已知点P(2,4),Q(1,6),向量=(2,λ),若·=0,则实数λ的值为( 　) A. B.- C.2 D.1 解析:由P(2,4),Q(1,6)可得=(-1,2),又=(2,λ), 所以·=-2+2λ=0,解得λ=1.故选D. √ 2.矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,则·=(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:建立如图所示的平面直角坐标系, 因为矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,所以A(0,0), B(2,0),E(2,2),F(1,4),则=(2,2), =(-1,4),所以·=6. √ 题型(二)　平面向量的夹角及垂直 [例2]　(1)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. √ 解析:∵2a+b=(3,3),a-b=(0,3), ∴cos<2a+b,a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为. (2)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 √ 解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t, b·c=1×(3+t)+0×4=3+t. ∵<a,c>=<b,c>,∴cos<a,c>=cos<b,c>,即=,即=3+t,解得t=5,故选C. (3)已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量a+xb与b垂直,则x= (　　) A. B. C.2 D.- √ 解析:a+xb=(3,4)+(2x,-x)=(3+2x,4-x),若向量a+xb与b垂直, 则(a+xb)·b=(3+2x,4-x)·(2,-1)=6+4x-4+x=5x+2=0, 解得x=-.故选D. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ. |思|维|建|模| 针对训练 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ). 因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ) (1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. √ 4.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角θ是锐角,求实数m的取值范围. 解:因为向量a与向量b的夹角θ是锐角,所以cos θ=>0.所以a·b=2m+6>0,解得m>-3.又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m>-3且m≠12. 故m的取值范围为(-3,12)∪(12,+∞). [例3]　设平面向量a=(1,1),b=(0,2).求a-2b的坐标和模的大小. 题型(三)　平面向量的模坐标表示 解:∵a=(1,1),b=(0,2), ∴a-2b=(1,1)-2(0,2)=(1,-3). ∴|a-2b|==. 　　[变式拓展] 1.例题中的条件不变,若c=3a-(a·b)·b,试求|c|. 解:∵a·b=1×0+1×2=2,∴c=3(1,1)-2(0,2)=(3,-1). ∴|c|==. 2.将例题中的“b=(0,2)”改为“b=(0,-2)”,其他条件不变,若ka-b与a+b共线,试求k值. 解:∵a=(1,1),b=(0,-2),∴ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2), a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1). ∵ka-b与a+b共线,∴k+2-(-k)=0.∴k=-1. 3.将例题中的“b=(0,2)”改为“b=(0,-2)”,其他条件不变,若ka-b的模等于,试求k值. 解:∵ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2), ∴=,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.即当k=1或k=-3时满足条件. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. |思|维|建|模| 5.已知梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,P是CD的中点,则|+2|=(　　) A. B.2 C.4 D.5 针对训练 解析:以B为坐标原点,分别以BC,BA所在的直线为x轴, y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,1), C(1,0),D(2,1).∵P是CD的中点,∴P.∴=, =.∴+2=+2=. ∴|+2|==. √ 6.已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为__________. - 解析:∵a=(1,2),b=(-3,4),∴c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),∴|c|2=c2=(1-3λ)2+ (2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时,|c|min=2. [例4]　如图所示,矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合,B,D分别在x,y轴正半轴上,AB=4, AD=2,点E为AB上一点. (1)若DE⊥AC,求AE的长; 题型(四)　数量积在几何图形中的应用 解:由题意可得A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2),则=(4,2). 设E(x,0)(0≤x≤4),则=(x,-2).因为DE⊥AC, 所以·=4x-4=0⇒x=1.则E(1,0),故AE的长为1. (2)若E为AB的中点,AC与DE的交点为M, 求cos∠CME. 解:若E为AB的中点,则E(2,0),=(2,-2). 又=(4,2). 由题图可知cos∠CME=cos<,> ===. 7.已知点A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),求证:△ABC是直角三角形. 针对训练 解:因为A(-2,1),B(6,-3),C(0,5), 所以=(8,-4),=(2,4),=(-6,8). 所以||===4, ||===2, ||===10. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是直角三角形. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由题意知a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|==5,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若向量a=(1,1),b=(0,-1),则a与b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. 解析:因为cos<a,b>===-,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,即a与b的夹角等于.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0, 故x=2,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]已知向量a与向量b满足如下条件,其中a与b的夹角为的是(　　) A.|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2 B.|a|=|b|=1,a2+a·b= C.a=(,-1),b=(2,2) D.a=(2,2),b=(-3,0) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设向量a与b夹角的大小为α.对于A,∵a·(b-a)=a·b-a2=2, ∴a·b=|a|·|b|cos α=3.∴cos α=.∵α∈[0,π],∴α=,故A正确.对于B, ∵a2+a·b=,|a|=1,∴a·b=|a|·|b|cos α=.∴cos α=. ∵α∈[0,π],∴α=,故B正确.对于C,由a=(,-1),b=(2,2),得|a|=2, |b|=4,a·b=4.∴a·b=|a|·|b|cos α=4.∴cos α=.∵α∈[0,π],∴α=,故C正确.对于D,由a=(2,2),b=(-3,0),得|a|=4,|b|=3,a·b=-6. ∴a·b=|a|·|b|cos α=-6.∴cos α=-.∵α∈[0,π],∴α=,故D错误. 故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是(　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos<a,b>= D.向量a+b在a上的投影向量为2a √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为向量a=(1,0),b=(1,2),所以a+b=(1+1,0+2)=(2,2).所以|a+b|==4,A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2,B正确.由向量的夹角公式,可得cos<a,b>==,C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a,D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知a=(1,2),b为单位向量,若a·b+|a|·|b|≤0,则b= (　　) A. B. C. D. 解析:由题意可得a·b+|a|·|b|=|a|·|b|cos<a,b>+|a|·|b|= |a|·|b|(cos<a,b>+1)≤0.因为|a|,|b|≠0,所以cos<a,b>+1≤0, 即cos<a,b>≤-1,可得cos<a,b>=-1.又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π,即a,b反向,可得b=-=-a=-a=.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在△ABC中,·=0,且面积等于2,若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(　　) A.9 B.15 C.19 D.25 解析:∵·=0,∴AB⊥AC.以A为原点,直线AB, AC分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,其中,为x轴,y轴上的单位向量,设AC=t,t>0,则根据条件得P(1,4),B,C(0,t),·=· (-1,t-4)=-+1-4t+16=-+17≤-2+17=9,当且仅当4t=,即t=1时等号成立,∴·的最大值为9.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知点A(1,0),B(-2,1),向量e=(0,1),则在e方向上的投影数量为__________. 1 解析:由A(1,0),B(-2,1),可得=(-3,1),所以在e方向上的投影数量为==1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=__________. 解析:∵a-b=(1,1-2x),a⊥(a-b), ∴由a·(a-b)=0,得x+1-2x=0,解得x=1,故|a|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,∠BAD=90°,点P在线段BC上运动. (1)当点P与点C重合时,·=__________. 解析:如图,以点A为原点,建立平面直角坐标系, 当点P与点C重合时,A(0,0),P(1,1),C(1,1),B(2,0), =(1,1),=(-1,1),·=1×(-1)+1×1=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)·的最小值是__________. - 解析:由(1)可知,△ABC是等腰直角三角形,设P(2-y,y),0≤y≤1, =(2-y,y),=(-y,y),·=(2-y)·(-y)+y2=2y2-2y=2-,当y=时,·的最小值是-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)(2025·天津高考)△ABC中,D为AB边中点,=,=a,=b, 则=__________(用a,b表示),若||=5,AE⊥CB,则·=_________. a+b -15 解析:如图,因为=,所以-=(-),所以=+. 因为D为线段AB的中点,所以=+=a+b. 又因为||=5,AE⊥CB,所以==a2+a·b+b2=25, ·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0,所以a2+3a·b=4b2, 所以a2+4a·b=180,又=+=-+=-b+a, 所以·=·=a2+a·b-b2=(a2+2a·b-8b2) =(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=-15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知向量a=(2,0),b=(1,). (1)设k∈R,求|2a-kb|的最小值;(5分) 解:由题意得2a-kb=2(2,0)-k(1,)=(4-k,-k), 所以|2a-kb|= ==. 所以当k=1时,|2a-kb|取得最小值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.(5分) 解:因为ta+b=t(2,0)+(1,)=(2t+1,),a+tb=(2,0)+t(1,)=(2+t,t),向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角, 所以(ta+b)·(a+tb)<0,且向量ta+b与向量a+tb不能共线,即t≠±1. 所以(2t+1)(2+t)+×t=2t2+8t+2<0, 解得-2-<t<-2+.故实数t的取值范围为(-2-,-1)∪(-1,-2+). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知O是坐标原点,=(2,3),=(1,4). (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和投影数量;(6分) 解:由向量=(2,3),=(1,4), 可得||=,·=2×1+3×4=14, 则投影向量的坐标是||cos<,>·=·=, 投影数量是||cos<,>==,即向量在方向上的投影向量的坐标是,投影数量是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若=3,=3,=2+,请判断C,D,E三点是否共线,并说明理由.(4分) 解:C,D,E三点共线,理由如下:因为向量=(2,3),=(1,4), =3,=3,=2+, 所以=(6,9),=(3,12),=(5,10). 所以=-=(-3,3),=-=(-1,1),可得=3. 所以C,D,E三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠DAB=90°,AB=2,CD=1,P是线段AD(包括端点) 上的一个动点. (1)当AD=时,求·的值;(5分) 解:如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意得,A(0,0),B(2,0), ∴=(2,0). ∵AD=,∴C(1,). ∴=(1,).∴·=1×2+×0=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在(1)的条件下,若·=,求;(5分) 解:设=t,则点P的坐标为(0,t)(0≤t≤). ∴=(2,-t),=(1,-t). ∴·=2×1+(-t)×(-t)=t2-t+2=+=(0≤t≤),解得t=,即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求|2+|的最小值.(5分) 解:设C(1,c)(c>0),P(0,m)(0≤m≤c), ∴=(2,-m),=(1,c-m). ∴2+=2(2,-m)+(1,c-m)=(5,c-3m). ∴|2+|=≥5,当且仅当m=时取等号. 因此|2+|的最小值为5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $