第4章 3 培优课 三角恒等变换的综合问题(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理其与解三角形、三角函数、向量的综合应用，通过公式推导、多解法例题及通性通法总结，搭建从基础公式到复杂问题的学习支架。 资料以高考真题为载体，例题提供多种解法培养数学思维，通性通法提炼解题步骤强化推理能力，跟踪训练与练习题助力知识巩固。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的应用意识。

题型一｜三角恒等变换与解三角形 【例1】　（2024·新高考Ⅱ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. （1）求A； 解：法一（辅助角公式法）　由sin A＋cos A＝2，可得sin A＋cos A＝1，即sin（A＋）＝1， 由于A∈（0，π）⇒A＋∈（，），故A＋＝，解得A＝. 法二（同角三角函数的基本关系法）　由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得4cos2A－4cos A＋3＝0⇔（2cos A－）2＝0，解得cos A＝， 又A∈（0，π），故A＝. （2）若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长. 解：由题设条件和正弦定理，bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈（0，π），则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝，sin C＝sin（π－A－B）＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋sin Bcos A＝. 法一（基本量法）　由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 法二（整体思想法）　由正弦定理＝＝，得＝＝＝4， 所以a＋b＋c＝4（sin A＋sin B＋sin C）＝4×（＋＋）＝2＋＋3， 所以△ABC的周长为2＋＋3. 通性通法 解三角形与三角恒等变换综合问题的一般步骤 【跟踪训练】 （2022·新高考Ⅰ卷18题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； 解：因为＝， 所以＝， 所以＝， 所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B， 所以cos（A＋B）＝sin B， 所以sin B＝－cos C＝－cos ＝， 因为B∈，所以B＝. （2）求的最小值. 解：由（1）得cos（A＋B）＝sin B， 所以sin＝sin B，且0＜A＋B＜， 所以0＜B＜，0＜－（A＋B）＜， 所以－（A＋B）＝B，解得A＝－2B， 由正弦定理得＝ ＝＝ ＝＝ ＝ ＝4cos2B＋－5≥2－5 ＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 题型二｜三角恒等变换与三角函数 【例2】　已知函数f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋a（ω＞0），其图象相邻两个最高点之间的距离为π. （1）求函数f（x）的单调递增区间； 解：f（x）＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋a＝sin 2ωx＋cos 2ωx－2＋a ＝sin（2ωx＋）＋a－2. 由已知得函数f（x）的最小正周期T＝π，即＝π， 所以ω＝1，所以f（x）＝sin（2x＋）＋a－2. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）设函数f（x）在［0，］上的最小值为－，求函数f（x）（x∈R）的值域. 解：当0≤x≤时，≤2x＋≤， 所以－≤sin（2x＋）≤1. 这时f（x）的最小值为a－. 由已知，得a－＝－，所以a＝2， 所以f（x）＝sin（2x＋）， 所以f（x）的值域为[－，]. 通性通法 　　解决三角恒等变换与三角函数的综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式进行变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数，再解决与图象和性质有关的问题.在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想（切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩变换、和差与积的互化、角的变换）的运用，还要注意一般的数学思想方法（如换元法等）的运用. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝asin（2x－）－2cos2（x＋）（a＞0），且满足f（x）的图象过点（，0）. （1）求函数f（x）的解析式及最小正周期； 解：因为f（x）的图象过点（，0）， 所以f（）＝asin（2×－）－2cos2（＋）＝a－＝0，所以a＝1，所以f（x）＝sin（2x－）－2cos2（x＋）＝sin（2x－）－cos［2（x＋）］－1＝2sin（2x－）－1，最小正周期为π. （2）若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围. 解：由f（x）＝2sin（2x－）－1＝1，整理得sin（2x－）＝1.因为x∈[0，m]，所以2x－∈［－，2m－］，由于f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，所以2m－∈［，），即m∈［，）. 题型三｜三角恒等变换与向量 【例3】　已知向量a＝（sin θ，－2）与b＝（1，cos θ）互相垂直，其中θ∈（ 0，）. （1）求sin θ和cos θ的值； 解：∵a⊥b， ∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin2θ＋cos2θ＝1， ∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝. 又∵θ∈（ 0，），∴sin θ＝，cos θ＝. （2）若5cos（θ－φ）＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值. 解：∵5cos（θ－φ）＝5（cos θcos φ＋sin θsin φ） ＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ， ∴cos φ＝sin φ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ， 即cos2φ＝. 又∵0＜φ＜，∴cos φ＝. 通性通法 　　向量坐标运算中的数量积、向量的平行与垂直、向量的模等与三角恒等变换知识交汇的一类题，是常考的一种重要题型.解题时通常应用向量的坐标运算及三角恒等变换等运算最终化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k或y＝Acos（ωx＋φ）＋k的形式，再进一步研究其性质.通过解决此类问题，有利于提升学生数学运算能力. 【跟踪训练】 已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），｜a－b｜＝. （1）求cos（α－β）的值； 解：因为a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），｜a－b｜＝ ＝＝， 所以2－2cos（α－β）＝，所以cos（α－β）＝. （2）若－＜β＜0＜α＜，且sin β＝－，求sin α的值. 解：因为0＜α＜，－＜β＜0，所以0＜α－β＜π. 因为cos（α－β）＝，sin β＝－， 所以sin（α－β）＝，cos β＝， 所以sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）·cos β＋cos（α－β）sin β＝×＋×（－）＝. 1.cos 160°sin 10°－sin 20°cos 10°＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：C　cos 160°sin 10°－sin 20°cos 10°＝－cos 20°sin 10°－sin 20°cos 10°＝－sin（10°＋20°）＝－，故选C. 2.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos 72°，则＝（　　） A.2　　　　B.1 C.　　　　D. 解析：C　＝＝＝＝＝＝，故选C. 3.已知f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝（　　） A.2 B. C.1 D.0 解析：A　f（x）＝sin（x＋）－cos（x＋）＝2sin［（x＋）－］＝2sinx，所以f（x）的周期为6，且f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝2. 4.已知＜α＜π，且cos（α－）＝－，则cos α的值为（　　） A. B.－ C. D. 解析：D　因为＜α＜π，所以＜α－＜，因为cos（α－）＝－，所以sin（α－）＝，所以cos α＝cos［（α－）＋］＝cos（α－）cos －sin（α－）sin ＝－×－×＝. 5.在△ABC中，点P在线段AB上，且＝4，若＝cos2θ·＋sin2θ·，则cos 2θ＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：A　如图所示，因为＝4，所以＝3.根据向量相关公式可得＝＋，即＝＋.又因为＝cos2θ·＋sin2θ·，所以cos2θ＝，sin2θ＝，所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－.故选A. 6.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（　　） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：A　由一元二次方程根与系数的关系，得所以tan（A＋B）＝＝＝.在△ABC中，tan C＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）＝－＜0，所以C是钝角，则△ABC是钝角三角形.故选A. 　　 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知4bsin B＝asin A，tan＝， 则＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　由4bsin B＝asin A及正弦定理得a2＝4b2，故a＝2b.因为tan A＝＝＝－＜0，所以A∈（，π）.tan A＝＝＝－，解得cos A＝－.cos A＝＝＝·－·＝－，设＝t（t＞0），则t－·＝－，解得t＝或t＝－2（舍去），故＝. 8.〔多选〕已知a＝（cos 2α，sin α），b＝（1，2sin α－1），α∈（，π），若a·b＝，则（　　） A.sin α＝ B.cos 2α＝－ C.sin 2α＝－ D.tan（α＋）＝ 解析：ACD　因为a·b＝cos 2α＋sin α（2sin α－1）＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝，所以sin α＝，所以A正确；因为α∈（，π），所以cos α＝－，所以sin 2α＝2××（－）＝－，所以B错误，C正确；所以tan α＝－，所以tan（α＋）＝＝，所以D正确. 9.〔多选〕若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b－2a＋4asin2＝0，则下列结论正确的是（　　） A.角C可以为锐角 B.a2＋2b2－c2＝0 C.tan B的最小值为 D.3tan A＋tan C＝0 解析：BD　因为b－2a＋4asin2＝0，A＋B＋C＝π，所以b－2a＋4acos2＝0，即b－2a＋2a（cos C＋1）＝0，所以cos C＝－＜0，又C∈（0，π），所以C一定为钝角，A错误；由余弦定理知，cos C＝＝－，化简得a2＋2b2－c2＝0，B正确；因为＝＝·＝·＝＝－，所以3tan A＋tan C＝0，D正确；因为A＋B＋C＝π，所以tan B＝－tan（A＋C）＝－＝－＝，因为C为钝角，所以A∈（0，），所以tan A＞0，所以＋3tan A≥2＝2，当且仅当＝3tan A，即tan A＝时，等号成立，此时tan B取得最大值，C错误. 10.函数y＝sin（x＋10°）＋cos（x＋40°）（x∈R）的最小值是－1，最大值是1. 解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.∵y＝sin α＋cos（α＋30°）＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°＝sin α＋cos α＝sin（α＋60°），∴ymin＝－1，ymax＝1. 11.定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意的x∈R都有f（x＋3）＝－f（x）.若tan α＝2，则f（15sin αcos α）的值为0. 解析：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α.由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，则f（15sin αcos α）＝f（15·2cos2α）＝f（6）.因为对于任意的x∈R，都有f（x＋3）＝－f（x），则f（x＋6）＝－f（x＋3）＝－[－f（x）]＝f（x），所以f（x）的周期为6.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以f（15sin αcos α）＝f（6）＝f（0）＝0. 12.已知sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围是［－，］. 解析：法一　设x＝cos αsin β，则sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋x，sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝－x.因为－1≤sin（α＋β）≤1，－1≤sin（α－β）≤1，所以所以所以－≤x≤. 法二　设x＝cos αsin β，则sin αcos β·cos αsin β＝x，即sin 2α·sin 2β＝2x.由｜sin 2α·sin 2β｜≤1，得｜2x｜≤1，所以－≤x≤. 13.已知sin α＝，cos β＝，α，β∈（0，）. （1）求cos（2α－）的值； （2）求α＋β的值. 解：（1）∵α∈（0，）且sin α＝， ∴cos α＝＝. ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. ∴cos（2α－）＝cos 2αcos＋sin 2αsin ＝×＋×＝. （2）由（1）知sin α＝，cos α＝. ∵β∈（0，）且cos β＝， ∴sin β＝＝＝， ∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝， ∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π）， ∴α＋β＝. 14.已知函数f（x）＝cos xsin（x＋）－cos2x＋，x∈R. （1）求f（x）的最小正周期； （2）若f（＋）＋f（－）＝，且α∈（，），求α的值. 解：（1）f（x）＝cos xsin（x＋）－cos2x＋ ＝cos x（sin x＋cos x）－cos2x＋ ＝sin xcos x＋cos2x－cos2x＋ ＝sin 2x－×＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin（2x－）， 所以f（x）的最小正周期T＝π. （2）由（1）知，f（x）＝sin（2x－）. 因为f（＋）＋f（－）＝， 所以sin α－cos α＝， 即sin（α－）＝，所以sin（α－）＝. 因为α∈（，），所以＜α－＜， 所以α－＝，α＝. 15.已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（cos ，－sin ），且x∈［0，］. （1）求a·b及｜a＋b｜； （2）若f（x）＝a·b－2λ｜a＋b｜的最小值为－，求λ的值. 解：（1）a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x. ｜a＋b｜＝＝＝2. ∵x∈［0，］，∴cos x≥0，∴｜a＋b｜＝2cos x. （2）f（x）＝cos 2x－4λcos x＝2cos2x－1－4λcos x＝2（cos x－λ）2－1－2λ2.∵x∈［0，］，∴0≤cos x≤1. ①若λ＜0，则当cos x＝0时，f（x）取得最小值－1，这与已知矛盾. ②若0≤λ≤1，则当cos x＝λ时，f（x）取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝或λ＝－（舍去）. ③若λ＞1，则当cos x＝1时，f（x）取得最小值1－4λ.由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1矛盾.综上所述，λ的值为. 16.已知函数f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c为f（x）在［0，］上的最大值. 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a－b的取值范围. 条件①：acos B＋bcos A＝2ccos C； 条件②：2asin Acos B＋bsin 2A＝a； 条件③：△ABC的面积为S，且S＝. 解：（1）f（x）＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＝2sin（2ωx＋）＋1，因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，所以2ω＝，即ω＝1. （2）由（1）可知f（x）＝2sin（2x＋）＋1， 因为x∈［0，］，所以2x＋∈［，］，当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值3，所以c＝3. 方案一　选择条件①. 对于acos B＋bcos A＝2ccos C， 由正弦定理可得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 因为sin Acos B＋sin Bcos A＝sin（A＋B）＝sin C， 所以sin C＝2sin Ccos C， 又C∈（0，），所以sin C≠0， 所以cos C＝，所以C＝， 由正弦定理可得＝＝＝＝2， 则a＝2sin A，b＝2sin B， 又C＝，则A＋B＝，B＝－A， 所以a－b＝2sin A－2sin B＝2sin A－2sin（－A）＝2sin A－2（cos A＋sin A）＝sin A－3cos A＝2sin（A－）. 因为△ABC为锐角三角形，所以解得＜A＜， 可得－＜A－＜，则－＜sin（A－）＜， 可得－＜a－b＜. 所以a－b的取值范围为（－，）. 方案二　选择条件②. 对于2asin Acos B＋bsin 2A＝a， 由正弦定理可得2sin2Acos B＋sin Bsin 2A＝sin A， 即2sin2 Acos B＋2sin Bsin Acos A＝sin A， 因为A∈（0，），所以sin A≠0， 所以2sin Acos B＋2sin Bcos A＝2sin（A＋B）＝2sin C＝， 即sin C＝， 又C∈（0，），所以C＝. 以下同方案一. 方案三　选择条件③. 由S＝，得absin C＝， 整理得 sin C＝cos C，则tan C＝， 又C∈（0，），所以C＝. 以下同方案一. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $