3.2 半角公式 导学案-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学导学案聚焦三角恒等变换中的半角公式，通过回顾二倍角公式搭建学习支架，结合古代神话后羿拉弓情境图提出问题，引导学生从二倍角公式推导半角公式，衔接前后知识脉络。 资料以问题驱动探究，培养学生用数学眼光观察现实情境，通过公式推导过程发展逻辑推理能力，设置给角求值、给值求值等分层应用及变式训练，强调符号判断与方法技巧，助力学生用数学语言表达和解决问题。

第4章 三角恒等变换3.2　半角公式导学案 一、知识回顾： 二倍角公式 二倍角正弦公式： 二倍角余弦公式： 二倍角正切公式： 注意：二倍角正切公式中的α、2α 均不等于＋kπ，k∈Z． 二、学习目标： 1、能够利用二倍角公式推导半角公式，并能进行简单的应用. 2、能够利用半角公式结合三角函数的基本关系解决综合问题. 3、在公式生成与应用过程中，体会由一般到特殊、由特殊到一般的数学思想，理解半角中“半角”的含义. 三、课堂探究 探究一 半角公式推导 问题1:如图是古代神话中后羿拉弓射箭的场景，若弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝2b（其中MA＝MB，MN⊥AB）．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A，B的连线的距离相等（如图乙所示），设∠AMB＝，你能用a，b表示∠AMN的余弦值，即cos的值吗？ 问题1：cos与cos之间存在怎样的关系呢？ 问题2：与，二者有何数量关系？ 问题3：如何用cos表示sin，cos，tan？ 知识梳理：半角公式 （≠(2k＋1)π，k∈Z） （） 注意： ① 根号前面的符号由 所在象限相应的三角函数值的符号确定； ② 若象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号. ③半角公式需要cosα的值，一般需要先求cosα. 应用一　应用半角公式给角求值 例1.求cos15°的值． 变式训练1. 求sin的值． 应用二　应用半角公式给值求值 例2 .已知cosα=−,π<α< ，sin ，cos ，tan 的值. 方法技巧：1、找所求角与已知角的关系；2、确定所求角的象限；3、确定公式与符号； 4、求余弦值（知一求二）；5、代入数据求值。 变式训练2.已知θ为第四象限角，且sin θ＝−，求sin ，cos ，tan 的值. 应用3 变形公式应用 例3. sin cos的值等于（　　） A B C D 变式训练3.已知sin2＝ ，则sin2(+)＝（　　） A B C D 应用4 化简 例4. 化简 . 方法技巧： (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2) 化简的思路：①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．④还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 应用5证明恒等式 [例5] 求证：＝ tan2 . 方法技巧： 证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 课堂小结 知识凝练 半角公式及其变形公式 任务再现 1.半角公式求值. 2.三角恒等式的化简与证明 方法提炼 切化弦、变量代换、角度归一、化繁为简、转化与化归思想方法  易错警示 半角公式符号的判断 课后作业 1、教材P167习题4-3 A组6-9题； 2、同步练习《半角公式》 学科网（北京）股份有限公司 $