第4章 2.4 积化和差与和差化积公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“积化和差与和差化积公式”核心知识点，以两角和与差的正弦、余弦公式为学习支架，通过引导学生对已有公式进行加减运算推导积化和差公式，进而引出和差化积公式，构建完整知识脉络。 该资料以问题驱动式设计引导学生主动推理，如通过“对公式①±②等运算能得到什么”培养逻辑推理能力，题型分类（公式应用、恒等式证明）及跟踪训练强化数学运算素养。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固应用，有效查漏补缺。

2.4　积化和差与和差化积公式 课标要求 了解积化和差与和差化积公式，并会简单应用（逻辑推理、数学运算）. 　　 　观察下列学过的两组公式： 　（1）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，　① sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β；　② （2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，　③ cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β.　④ 尝试一下，对①②③④做一些“运算”，例如①＋②，①－②等等，看看能得到些什么？ 【问题】　（1）如何用sin（α＋β），sin（α－β）表示sin αcos β及cos αsin β 的值？ （2）如何用cos（α＋β），cos（α－β）表示cos αcos β及sin αsin β 的值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　积化和差与和差化积公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝　[cos（α＋β）＋cos（α－β）]　； sin αsin β＝　－[cos（α＋β）－cos（α－β）]　； sin αcos β＝　[sin（α＋β）＋sin（α－β）]　； cos αsin β＝　[sin（α＋β）－sin（α－β）]　. 2.和差化积公式 sin x＋sin y＝　2sincos　； sin x－sin y＝　2cossin　； cos x＋cos y＝　2coscos　； cos x－cos y＝　－2sinsin　. 【想一想】 1.公式中α，β是任意角吗？ 提示：是任意角. 2.积化和差公式与两角和与差的正弦、余弦公式有何联系？ 提示：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，　① cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β，　② sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，　③ sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，　④ 利用①±②和③±④即得出积化和差公式. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）cos αsin β＝[sin（α－β）－sin（α＋β）].（　×　） （2）cos θ－cos φ＝2sinsin.（　×　） （3）cos x＋＝2coscos.（　√　） 2.sin 64°cos 20°化成和差形式为（　　） A.（sin 84°＋sin 44°） B.（sin 84°－sin 44°） C.（cos 84°＋cos 44°） D.（cos 84°－cos 44°） 解析：A　sin 64°cos 20°＝[sin（64°＋20°）＋sin（64°－20°）]＝（sin 84°＋sin 44°）. 3.sin 101°＋sin 19°化为积的形式为cos 41°. 解析：sin 101°＋sin 19°＝2sincos＝2sin 60°cos 41°＝cos 41°. 题型一｜积化和差公式的应用 【例1】　把下列各式化成和或差的形式： （1）2sin 64°cos 10°； 解：2sin 64°cos 10°＝sin（64°＋10°）＋sin（64°－10°）＝sin 74°＋sin 54°. （2）sin 80°cos 132°； 解：sin 80°cos 132°＝cos 132°sin 80°＝[sin（132°＋80°）－sin（132°－80°）]＝（sin 212°－sin 52°）＝－（sin 32°＋sin 52°）. （3）cos cos ； 解：cos cos ＝［cos＋cos］＝［cos ＋cos］＝（cos ＋cos ）. （4）sin 2sin 1. 解：sin 2sin 1＝－[cos（2＋1）－cos（2－1）]＝－（cos 3－cos 1）. 通性通法 　　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时右端是正弦的和、差形式，左端是同名函数乘积形式时右端是余弦的和、差形式. 【跟踪训练】 求cos 15°cos 60°cos 75°的值. 解：原式＝cos 15°cos 75° ＝×[cos（15°＋75°）＋cos（15°－75°）] ＝（0＋cos 60°）＝. 题型二｜和差化积公式的应用 【例2】　把下列各式化成积的形式： （1）sin 44°＋sin 76°； 解：原式＝2sin·cos ＝2sin 60°cos 16°＝cos 16°. （2）cos 50°＋cos 42°； 解：原式＝2coscos＝2cos 46°cos 4°. （3）cos 3x－cos 5x； 解：原式＝－2sinsin ＝2sin 4xsin x. （4）sin 50°－sin 70°. 解：原式＝2cossin ＝2cos 60°sin（－10°）＝－sin 10°. 通性通法 利用和差化积公式化简求值时应注意以下2点 （1）必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式； （2）若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和与差的形式再利用和差化积公式. 【跟踪训练】 将下列各式化成积的形式： （1）sin－sin； 解：原式 ＝2cos·sin ＝2cos αsin ＝cos α. （2）sin x＋. 解：sin x＋＝sin x＋sin ＝2sin cos＝2sincos. 题型三｜利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式 【例3】　在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋2sin ·cos ＝4cos cos cos . 证明：由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－（A＋B）， 即＝90°－， ∴cos ＝sin ， ∴sin A＋sin B＋2sin cos ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2sin （cos ＋cos ） ＝2cos ·2cos ·cos（－） ＝4cos cos cos ， ∴原等式成立. 通性通法 1.证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值. 2.证明三角恒等式的总体要求：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密. 【跟踪训练】 求证：tan－tan＝. 证明：法一　∵tan－tan＝－ ＝＝＝＝＝.∴原式成立. 法二　∵＝ ＝＝－＝tan－tan.∴原式成立. 1.cos cos ＝（　　） A.　　B.－　　C.－　　D.＋ 解析：D　cos cos ＝［cos（＋）＋cos］＝＋cos ＝＋. 2.将sin 40°＋化为积的形式为（　　） A.sin 50°sin 10° B.－sin 50°sin 10° C.sin 50°cos 10° D.－sin 50°cos 10° 解析：C　sin 40°＋＝（sin 40°＋sin 60°）＝sin 50°cos 10°. 3.2sin 50°cos 10°＝（　　） A.－sin 40° B.＋sin 40° C.－sin 40° D. 解析：B　2sin 50°cos 10°＝sin（50°＋10°）＋sin（50°－10°）＝sin 60°＋sin 40°＝＋sin 40°. 4.把cos x＋化为积的形式为2coscos. 解析：cos x＋＝cos x＋cos ＝2cos·cos＝2coscos. 5.求函数y＝sinsin的最小正周期. 解：y＝sincos x＝［sin＋sin ］＝sin＋， ∴函数的最小正周期T＝＝π. 1.sin 37.5°cos 7.5°＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　原式＝[sin（37.5°＋7.5°）＋sin（37.5°－7.5°）]＝（sin 45°＋sin 30°）＝×（＋）＝. 2.有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③cos 5θ＋cos 3θ＝2cos 4θcos θ，其中正确的个数是（　　） A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 解析：B　sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故①错误；cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin（－θ）＝2sin 4θsin θ，故②错误，③正确. 3.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin（x＋y）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：A　因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos（x－y）＝.因为sin 2x＋sin 2y＝，所以2sin（x＋y）cos（x－y）＝，所以sin（x＋y）＝. 4.cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝（　　） A.－ B. C. D. 解析：B　原式＝（cos 20°＋cos 140°）＋cos 100°＋cos 60°＝2cos 80°cos 60°＋cos 100°＋cos 60°＝cos 80°－cos 80°＋cos 60°＝. 5.函数f（x）＝2sinsin（－）的最大值是（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：C　f（x）＝2sin sin（－）＝2×（－）·［cos（＋－）－cos（－＋）］＝－cos ＋cos（x－）＝－＋cos（x－）≤－＋1＝，即f（x）的最大值为. 6.〔多选〕在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值可以是（　　） A.－1　　　　　 　　　 B.－ C.－ D. 解析：CD　cos Asin C＝[sin（A＋C）－sin（A－C）]＝－sin（A－C）.∵－1≤sin（A－C）≤1，∴cos Asin C∈［－，］. 7.〔多选〕已知cos（α＋β）＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则（　　） A.sin 2α＝ B.cos（α－β）＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝ 解析：AC　因为cos 2α＝－，其中α为锐角，所以sin 2α＝＝，A正确；因为cos（α＋β）＝－，且α，β为锐角，所以sin（α＋β）＝＝，所以cos（α－β）＝cos[2α－（α＋β）]＝cos 2αcos（α＋β）＋sin 2αsin（α＋β）＝（－）×（－）＋×＝，B错误；cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]＝（－＋）＝，C正确；sin αsin β＝[cos（α－β）－cos（α＋β）]＝［－（－）］＝，所以tan αtan β＝，D错误. 8.cos 37.5°cos 22.5°＝. 解析：cos 37.5°cos 22.5°＝（cos 60°＋cos 15°）＝＋cos 15°＝. 9.＝. 解析：＝ ＝＝ ＝＝＝. 10.化简：sin（α＋β）cos α－[sin（2α＋β）－sin β]. 解：sin（α＋β）cos α－＝－[sin（2α＋β）－sin β]＝sin（2α＋β）＋sin β－sin（2α＋β）＋sin β＝sin β. 11.在△ABC中，若sin Asin B＝（1＋cos C），则△ABC是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 解析：B　由已知得sin Asin B＝－[cos（A＋B）－cos（A－B）]＝（1＋cos C）.又A＋B＝π－C，所以cos（A－B）－cos（π－C）＝1＋cos C，所以cos（A－B）＝1.又－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形. 12.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α）且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：D　∵α，β∈（0，π），∴sin α＋sin β＞0，∴cos β－cos α＞0，cos β＞cos α.又在（0，π）上，y＝cos x单调递减，∴β＜α，∴0＜α－β＜π.由题意可知，2sin ·cos ＝（－2sin ·sin ），∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝. 13.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是（0，］. 解析：由已知可得A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos（A－B）＋cos（A＋B）]＝cos（A－B）.又因为A－B∈（－，），所以cos（A－B）∈（0，］. 14.求证：·tan 25°＝. 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝＝＝右边. 所以原等式成立. 15.已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，＋＝－，则cos ＝. 解析：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，所以＋＝＝－2，即cos A＋cos C＝－2cos Acos C，则2cos cos ＝－[cos（A＋C）＋cos（A－C）]，将cos ＝cos 60°＝，cos（A＋C）＝cos 120°＝－代入上式，得cos ＝－cos（A－C），因为cos（A－C）＝cos（＋）＝cos cos －sin sin ＝cos2－sin2＝cos2－（1－cos2）＝2cos2－1，代入上式并整理得4·cos2＋2cos －3＝0，即（2cos －）（2cos ＋3）＝0.因为2cos ＋3≠0，所以2cos －＝0.所以cos ＝. 16.已知向量a＝（sin B，1－cos B）与向量b＝（2，0）的夹角为，其中A，B，C是△ABC的内角. （1）求B的大小； （2）求sin A＋sin C的取值范围. 解：（1）由题意，得｜a｜＝＝，｜b｜＝2，a·b＝2sin B. 由夹角公式，得cos ＝， 整理得2sin2B＋cos B－1＝0， 即2cos2B－cos B－1＝0. 所以cos B＝1（舍去）或cos B＝－. 又因为0＜B＜π， 所以B＝. （2）因为A＋B＋C＝π，B＝， 所以A＋C＝. 所以－＜A－C＜. 所以－＜＜. 所以sin A＋sin C＝2sin cos ＝2sin cos ＝cos . 所以sin A＋sin C的取值范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $