第2章 5 培优课 平面向量中的最值、范围问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

培优课　平面向量中的最值、范围问题 1 典例研析 01 目录 课时作业 02 2 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜平面向量数量积的最值、范围问题 【例1】　在△ABC中，C＝ ，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P 在边AB上运动（点P可与A，B重合），则 · 的最小值为 ⁠. ​ 解析：法一　如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标 系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0， 1）， 依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则 ＝（x，1 －x）， ＝（x，2－x），所以 · ＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（ x－ ）2＋ ≥ .故 · 的最小值为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　取MC的中点为Q，连接PQ，则｜ ｜＝ ，所以 · ＝ · ＝ － ＝ － ≥（ ）2－ ＝ ，故 · 的最小值 为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 数量积的最值、范围问题的处理方法 （1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基表示后，再运算； （2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理； （3）利用极化恒等式来处理. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则 · 的最 大值是 ⁠. 6 解析：如图，取AB中点D，连接OD，OA，OC，则 cos ∠OAD＝ ，∴ · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＋｜ ｜｜ ｜· cos ∠OAD＝4 cos ＜ ， ＞＋2≤6；当 cos ＜ ， ＞＝1，即 ， 同向时取“＝”；∴ · 的最大值为6. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜平面向量模的最值、范围问题 【例2】　已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满 足｜ － － ｜＝1，则｜ ｜的最小值为（　　） A. －1 B. 2 －1 C. 2 －1 D. －1 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　如图，建立平面直角坐标系，则A（0， ），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y）， ＝（x，y－ ）， ＝（－1，－ ）， ＝（1，－ ）， － － ＝（x，y＋ ），｜ － － ｜＝ ＝ ＝1，则P到（0，－ ）距离为1，则｜ ｜最小值为2 －1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 向量模的最值、范围问题的处理方法 　　设a＝（x，y），则｜a｜＝ ＝ ，向量的模可以利用坐 标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合 平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基表示 再求. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知｜ ｜＝｜ ｜＝2，点C在线段AB上，且｜ ｜的最小值为 ，则｜ ＋t ｜（t∈R）的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　当OC⊥AB时，｜ ｜取得最小值，因为｜ ｜＝｜ ｜ ＝2，所以此时点C为线段AB的中点，因为｜ ｜＝ ｜ ｜，所以 ∠A＝ ，故∠AOB＝ ，则 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ＝2，因 为｜ ＋t ｜2＝t2｜ ｜2＋2t · ＋｜ ｜2＝4t2＋4t＋4＝ （2t＋1）2＋3≥3，故｜ ＋t ｜≥ .故选B. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜平面向量夹角的最值、范围问题 【例3】　已知a＝（λ，2），b＝（－3，5），且a与b的夹角为锐角， 则λ的取值范围是 ⁠. 解析：由于a与b的夹角为锐角，∴a·b＞0，且a与b不共线同向，由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜ ，当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得 λ＝－ ，因此λ的取值范围是（ －∞，－ ）∪（ － ， ）. （ －∞，－ ）∪（ － ， ） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 夹角的最值、范围问题的处理方法 （1）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为锐角⇔a·b＞0且 ＜a，b＞≠0； （2）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），若＜a，b＞为钝角⇔a·b＜0且 ＜a，b＞≠π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最 小值是 ⁠ ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意得a·b＝ ｜a｜2｜b｜2，（｜a｜＋｜b｜）2＝4， 整理得｜a｜2＋｜b｜2＝4－2｜a｜·｜b｜≥2｜a｜·｜b｜， 即｜a｜·｜b｜≤1. cos ＜a，b＞＝ ＝ ｜a｜·｜b｜≤ ， ∴ ≤＜a，b＞≤π， 所以a与b夹角的最小值为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1. 如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A. a＝b B. a·b＝1 C. a＝－b D. ｜a｜＝｜b｜ 解析：　两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C错误； 由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B错误；｜ a｜＝｜b｜＝1，则选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若平面向量a与b＝（1，－1）方向相同，且｜a｜＝2 ，则a＝ （　　） A. （－ ， ） B. （ ，－ ） C. （－2，2） D. （2，－2） 解析：　因为向量a与b方向相同，且｜a｜＝2 ，所以a＝λb＝ （λ，－λ），λ＞0，且｜a｜2＝λ2＋（－λ）2＝2λ2＝（2 ）2＝ 8，解得λ＝2，所以a＝（2，－2）.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 设a＝（3，m），b＝（4，2），则“m＝－1”是“a⊥（a－b）” 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　当m＝－1时，a－b＝（－1，－3），a·（a－b）＝3×（－ 1）＋（－1）×（－3）＝0，a⊥（a－b）成立，所以“m＝－1”是 “a⊥（a－b）”的充分条件； 当a⊥（a－b）时，a－b＝（－1，m －2），a·（a－b）＝3×（－1）＋m·（m－2）＝0，解得m＝－1或m ＝3，所以“m＝－1”不是“a⊥（a－b）”的必要条件，所以“m＝－ 1”是“a⊥（a－b）”的充分不必要条件，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，AB是☉O的直径，点C，D是半圆弧 上的两个三等分点， ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a－b B. a－ b C. － a＋b D. －a＋ b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　画出图形如图所示，由于C，D是半圆弧 上的两 个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所 以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD 是菱形，四边形OBDC是菱形， 所以 ＝ ＝ － ＝ － ＝－ a＋b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜ b，c＞，则t＝（　　） A. －6 B. －5 C. 5 D. 6 解析：　由题意，c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋ 4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b， c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，即 ＝ ，即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. ｜b｜＝｜a｜＝｜c｜＝1，a·b＝ ，则（a＋b）·（2b－c）的最小 值为（　　） A. 3＋ B. 3－ C. 2＋ D. 2－ 解析：　（a＋b）·（2b－c）＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－（a＋ b）·c，因为－｜a＋b｜·｜c｜≤（a＋b）·c≤｜a＋b｜·｜c｜，所以 （a＋b）·c的最大值为｜a＋b｜·｜c｜＝ ，所以（a＋b）·（2b－ c）的最小值为3－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别为BC，AC边上的动 点，且CN＝BM，则 · 的最大值为（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴， OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则B（－1，0），C（1，0），A（0， ），∴ ＝ （2，0）， ＝（－1， ），设 ＝t （0≤t≤1），则 ＝t （0≤t≤1），∴M（2t－1，0），N（1－t， t），∴ ＝（2t－1，－ ）， ＝（2－3t， t），∴ · ＝（2t－1）·（2－3t）＋（－ ）·（ t）＝－6t2＋4t－2＝－6（t－ ）2－ ，∵0≤t≤1，∴当t＝ 时， · 取得最大值， 为－ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8.17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一 点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在△ABC中，若三个内 角均小于120°，当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点.根据以上性 质，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向 量，｜c｜＝2，｜b｜＝1，则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的最小 值是（　　） A. 2－ B. 2＋ C. －1 D. ＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　设a＝（x，y），b＝（1，0），c＝（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜＝ ＋ ＋ .记P（x，y），A（1，0），B（－1，0），C（0，2），则｜a－b｜＋｜a＋b｜＋｜a－c｜的几何意义为点P（x，y）到A（1，0），B（－1，0）和点C（0，2）三个点的距离之和，且△ABC为等腰三角形，如图，由费马点的性质可得，要保证∠APB＝120°，则∠APO＝60°.因为OA＝1，则OP＝ ，所以点P坐标为（0， ）时， 距离之和最小，最小距离之和为 ＋ ＋（2－ ） ＝2＋ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 〔多选〕已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，则（　　） A. ｜a－b｜的最大值为3 B. ｜a＋b｜的最小值为0 C. ｜a－b｜－｜a＋b｜的最大值为2 D. ｜a－b｜＋｜a＋b｜的最小值为4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝5－4 cos ＜a，b＞∈[1，9]，所以1≤｜a－b｜≤3，当且仅当向量a与b反向时｜a－b｜取到最大值3，A正确；因为｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋4 cos ＜a，b＞∈[1，9]，所以1≤｜a＋b｜≤3，当且仅当向量a与b反向时｜a＋b｜取到最小值1，B错误；设＜a，b＞＝θ，由A，B可知，（｜a－b｜－｜a＋b｜）2＝（ － ）2＝10－2 ∈[0，4]，所以｜a－b｜－｜a＋b｜的最大值为2，C正确；（｜a－b｜＋｜a＋b｜）2＝（ ＋ ）2＝10＋2 ∈[16，20]，所以｜a－b｜＋｜a＋b｜的最小值为4，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（－3，4），如图 所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确 的是（　　） A. ＝2i＋3j B. ＝3i＋4j C. ＝－5i＋j D. ＝5i－j √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：i，j互相垂直，故{i，j}可作为一组基，由平面向量基本定理，得 ＝2i＋3j， ＝－3i＋4j， ＝ － ＝－5i＋j， ＝ － ＝5i－j，故A、C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知向量a＝（1，3），b＝（2，－4），则下列结论正确的 是（　　） A. （a＋b）⊥a B. ｜2a＋b｜＝ C. 向量a，b的夹角为 D. a·b＝－10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：对于选项A，a＋b＝（3，－1），因为（a＋b）·a＝（3，－1）·（1，3）＝3－3＝0，所以（a＋b）⊥a，故A正确；对于选项B，可求得2a＋b＝（4，2），所以｜2a＋b｜＝ ＝ ＝2 ，故B错误；对于选项C，设向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，所以θ＝ ，即向量a，b的夹角为 ，故C正确；对于选项D，a·b＝1×2＋3×（－4）＝－10，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知向量a，b的数量积（又称向量的点积或内积）a·b＝｜ a｜｜b｜ cos ＜a，b＞，其中＜a，b＞表示向量a，b的夹角；向量 a，b的向量积（又称向量的叉积或外积）a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜ b｜ sin ＜a，b＞，其中＜a，b＞表示向量a，b的夹角.则下列说法正确 的是（　　） A. △ABC的面积为｜ × ｜ B. 若a，b为非零向量，且｜a×b｜＝a·b，则＜a，b＞＝ C. 已知点A（0，1），B（－1， ），O为坐标原点，则｜ × ｜ ＝ D. 若｜a×b｜＝ a·b＝ ，则｜a＋2b｜的最小值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：S△ABC＝ ｜ ｜｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝ ｜ × ｜，A错误；若a，b为非零向量，由｜a×b｜＝a·b，得｜a｜｜b｜ sin ＜a，b＞＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞，即 sin ＜a，b＞＝ cos ＜a，b＞，又＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，B正确；因为点A（0，1），B（－1， ），所以 ＝（0，1）， ＝（－1， ），所以｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝2，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，又＜ ， ＞∈[0，π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以＜ ， ＞＝ ，所以｜ × ｜＝｜ ｜｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝1×2× sin ＝1，C错误；由｜a×b｜＝ a·b＝ ，得｜a｜｜b｜· sin ＜a，b＞＝ ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝ ，得tan＜a，b＞＝ ，a·b＝1，所以＜a，b＞＝ ，所以｜a｜｜b｜＝2，则｜a＋2b｜＝ ≥ ＝ ＝2 ，当且仅当｜a｜＝｜2b｜，即｜a｜＝2，｜b｜＝1时取“＝”，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点， ＝x ＋y ，且 ＝4 ，则x＝ 　​ 　，y＝ 　​ 　. 解析：由 ＝4 ，得 － ＝4（ － ），即 ＝ ＋ ， 所以x＝ ，y＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知单位向量a，b，则｜a－2b｜的取值范围为 ⁠. 解析：设向量a与b的夹角为θ，则（a－2b）2＝a2＋4b2－4a·b＝5－4 cos θ，因为 cos θ∈[－1，1]，所以（a－2b）2∈[1，9]，所以｜a－ 2b｜∈[1，3]. [1，3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 设两个向量e1，e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1与e2的夹角为 ，若 向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ⁠ ⁠. （－7，－ ）∪（－ ，－ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得 ＜0，即（2te1＋7e2）·（e1＋te2）＜0，化简可得 2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－ .当夹角为π时，也有（2te1＋ 7e2）·（e1＋te2）＜0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ（e1＋ te2），λ＜0，可得 解得 ∴所求实数t的取值范围 是（－7，－ ）∪（－ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O，以O为圆心 作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则 · 的取值范围为 ⁠ ⁠. [－ 8，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：法一（定义法）　如图1所示，连接OM，OC， 设＜ ， ＞＝θ，依题意得AD＝2AB＝4，OC＝ 2，OM＝1，＜ ， ＞＝ ，则 · ＝ · （ － ）＝ · － · ＝4×1× cos θ－ 4×2× cos ＝4 cos θ－4.因为θ∈[0，π]，所以－1≤ cos θ≤1，所 以－8≤ · ≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二（坐标法）　如图2，以O为坐标原点，以AD所在直线为x轴，过O且和AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（－2，0），D（2，0），C（1，－ ）.因为圆O的半径为1，所以可设M（ cos θ， sin θ），所以 ＝（4，0）， ＝（ cos θ－1， sin θ＋ ），所以 · ＝4 cos θ－4，又－1≤ cos θ≤1，所以－8≤ · ≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法三（投影向量法）　如图3所示，设＜ ， ＞＝θ，由题意得AD＝2AB＝4，则 · ＝｜ ｜｜ ｜· cos θ＝4｜ ｜ cos θ.｜ ｜ cos θ可看成是 在 上的投影数量，记AD与圆O分别相交于点G，N，当点M与G重合时｜ ｜ cos θ最小，最小值为－2，当点M与N重合时｜ ｜ cos θ最大，最大值为0，故－8≤ · ≤0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 17. 已知向量a＝（2，1），b＝（4，－3）. （1）若（a－2b）⊥（λa＋b），求λ的值； 解：因为a＝（2，1），b＝（4，－3）， 所以a－2b＝（－6，7），λa＋b＝（2λ＋4，λ－3）. 又（a－2b）⊥（λa＋b）， 所以－6（2λ＋4）＋7（λ－3）＝0， 解得λ＝－9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若c＝（1，μ），向量a与c的夹角为锐角，求μ的取值范围. 解：因为向量a与c的夹角为锐角， 所以a·c＞0且a与c不共线. 所以 解得μ＞－2且μ≠ . 所以μ的取值范围为（－2， ）∪（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 18. 已知向量a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－2），c＝（ sin x－3， 1），d＝（1，k）（x∈R，k∈R）. （1）若x∈ ，且a∥（b＋c），求x的值； 解：∵b＋c＝（ sin x－1，－1），a∥（b＋c）， ∴－（2＋ sin x）＝ sin x－1，即 sin x＝－ . 又x∈ ，∴x＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若函数f（x）＝a·b，求f（x）的最小值； 解：∵a＝（2＋ sin x，1），b＝（2，－2）， ∴f（x）＝a·b＝2（2＋ sin x）－2＝2 sin x＋2. ∵x∈R，∴－1≤ sin x≤1，∴0≤f（x）≤4， ∴f（x）的最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）是否存在实数k，使得（a＋d）⊥（b＋c）？若存在，求出k的取 值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵a＋d＝（3＋ sin x，1＋k），b＋c＝（ sin x－1，－1）， 若（a＋d）⊥（b＋c），则（a＋d）·（b＋c）＝0， 即（3＋ sin x）（ sin x－1）－（1＋k）＝0， ∴k＝ sin 2x＋2 sin x－4＝（ sin x＋1）2－5， 由 sin x∈[－1，1]，得k∈[－5，－1]， ∴存在k∈[－5，－1]，使得（a＋d）⊥（b＋c）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $