6.2 一、向量在几何证明中的应用 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

向量在几何证明中的应用 问题导入 问题1　平面几何中常涉及：（1）求线段的长度或证明线段相等；（2）直线平行或共线问题；（3）夹角或垂直等问题，对于上述问题，用向量方法如何解决？ 设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2） （1）求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量的模｜a｜＝； （2）线段平行或涉及共线问题，常用向量平行（共线）的等价条件： a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）⇔x1y2－x2y1＝0； （3）a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 师生活动：学生思考，回答问题． 设计意图：回顾前面学过的内容，引出本节课的研究主题——向量在几何证明中的应用（版书）． 2 新知探究 问题2　若O为△ABC重心，则＝？ ＝0． 问题3　水渠横断面是四边形ABCD，，且，则这个四边形为等腰梯形．类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系？ 向量运算之间不仅涉及大小还涉及方向． 2．用向量方法解决平面几何问题 师生活动：学生思考，回答问题． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 师生活动：学生思考，回答问题． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 3 新知探究 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度． 问题4　 （1）向量运算与几何中的结论“若a＝b，则｜a｜＝｜b｜，且a，b所在直线平行或重合”相类比，你有什么体会？（2）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． 问题5　用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？ 所选择基底中向量的长度和夹角应该是已知的． 师生活动：学生思考，回答问题． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 4 新知探究 问题6　如图所示，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，并且BE＝FD．如何证明四边形AECF是平行四边形？ 利用向量证明， 要证四边形AECF是平行四边形，只需证明即可． A C B D E F O 由已知设 则，， 所以，即边AE，FC平行且相等， 因此，四边形AECF是平行四边形． 师生活动：学生思考、证明． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 5 新知探究 问题7　如何证明平行四边形的对角线互相平分？ 首先画图，写出已知求证，然后利用向量法证明． 详解见教材P119例14． 师生活动：学生思考、证明． 设计意图：培养学生分析和归纳的能力． 6 例1　已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．如何求证：AD，BE，CF相交于一点． 初步应用 证明：如图，设AD与BE交于点H，以下只需要证明点H在CF上． 因为AD⊥BC，BE⊥CA，所以＝0，＝0． 所以①， ②， ①－②得，＝0，所以＝0， 所以CH⊥AB，又CF⊥AB，所以C，H，F三点共线，点H在CF上． A B C E F H D 师生活动：学生思考、证明，教师板书解题过程． 设计意图：利用量数量积解决三角形的三高交点问题． 7 例2　如图所示，点O是□ABCD两条对角线的交点，点E，F分别在边CD，AB上， 初步应用 且 ． A B D C E F O 求证：E，O，F三点在同一直线上． 证明：设． 所以 由 　　　　　，可知点E，F分别是CD，AB的三等分点， 因此，又直线FO、直线OE有公共点O，故点E，O，F在同一直线上． 师生活动：师生分析思路，学生板演解题过程． 设计意图：利用向量法证明三点共线 8 初步应用 例3　已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC． 证明：如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． 设A（0，2），C（2，0），则D（1，0），＝（2，－2）． 设， 则＝（0，2）＋（2λ，－2λ）＝（2λ，2－2λ）． 又因为＝（－1，2），， 所以＝0， A C x y B D E F 师生活动：师生分析思路，写证明过程． 设计意图：利用向量法证明平面几何中的角相等． 9 初步应用 例3　已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC． 所以－2λ＋2（2－2λ）＝0， 又因为＝（1，0）， 又因为∠ADB，∠FDC∈（0，π）， 所以∠ADB＝∠FDC． A C x y B D E F 解得λ＝ ，所以 ． 所以　　　　　 ． 所以cos∠ADB＝ ，c