第1章 7 培优课 三角函数的综合问题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

培优课　三角函数的综合问题 1 典例研析 01 目录 课时作业 02 2 01 PART 典例研析 目 录 题型一｜三角函数的对称性 【例1】　已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）. （1）若将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原图 象重合，求ω的最小值； 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：法一　将函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）的图象向右平移 个单位长度 后，所得图象对应的函数为y＝ sin ［ω（x－ ）＋ ］＝ sin （ωx＋ － ）， 因为平移后的图象与原图象重合，所以 ＝2kπ，k∈Z，则ω＝12k （k∈Z）， 又ω＞0，所以当k＝1时，ω取得最小值12. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　将函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）的图象向右平移 个单位长度后， 所得图象与原图象重合，故 为函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）的周期，即 k× ＝ （k∈N*），则ω＝12k（k∈N*），故当k＝1时，ω取得最小值 12. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象与原图 象关于x轴对称，求ω的最小值； 解：法一　结合图象（如图所示）可知 ＝（k＋ ）T＝ · ，得ω＝4（2k＋1），k∈Z，又ω ＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值4. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　记函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后所得图象对应的函数 为g（x），则g（x）＝ sin ［ω（x－ ）＋ ］， 由题意知 sin （ωx＋ ）＝－ sin ［ω（x－ ）＋ ］，即 sin （ωx＋ ） ＝ sin ［ωx－ ＋ ＋（2k＋1）π］，所以 ＝－ ＋ ＋（2k＋1） π，k∈Z，得ω＝4（2k＋1），k∈Z， 又ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值4. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若将函数f（x）的图象分别向左、向右各平移 个单位长度后，所 得两个图象的对称轴与原图象的对称轴重合，求ω的最小值. 解：将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的解 析式为y＝ sin ［ω（x＋ ）＋ ］＝ sin （ωx＋ ＋ ）， 将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的解析式 为y＝ sin ［ω（x－ ）＋ ］＝ sin （ωx＋ － ）. 因为平移后两图象的对称轴重合，所以（ ＋ ）－（ － ）＝ ＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，又ω＞0，所以当k＝1时，ω取得最 小值3. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　正弦函数、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法 　　求正弦函数、余弦函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给正弦函 数、余弦函数式化为y＝A sin （ωx＋φ）或y＝A cos （ωx＋φ）的形式， 再把（ωx＋φ）整体看成一个变量.若求函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） （ω≠0）图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，求x.若求函 数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ω≠0）图象的对称中心的横坐标，则只需 令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求x. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数 的图象（　　） A. 关于点（ ，0）对称 B. 关于直线x＝ 对称 C. 关于点（ ，0）对称 D. 关于直线 x＝ 对称 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由T＝π知ω＝ ＝ ＝2，所以函数f（x）＝ sin （2x＋ ）. 函数f（x）的对称轴满足2x＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z）；函数f（x）的对称中心的横坐标满足2x＋ ＝kπ（k∈Z）， 解得x＝－ ＋ （k∈Z）.故选A. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜三角函数中的参数问题 角度1　已知定义域或最值求参数 【例2】　若函数y＝a－b cos x（b＞0）的最大值为 ，最小值为－ ，求 函数y＝－4a cos bx的最值和最小正周期. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：∵y＝a－b cos x（b＞0）， ∴ymax＝a＋b＝ ，ymin＝a－b＝－ . 由 解得 ∴y＝－4a cos bx＝－2 cos x， ∴函数y＝－4a cos bx的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　已知函数的定义域或最值求参数是逆向问题，通常利用化归与转化思 想，将问题转化为解含参数的不等式（组）问题、不等式恒成立问题或方 程（不等式）有（无）解问题等进行求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　由三角函数的图象求参数 【例3】　已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，0），且过点 （0，－3）.求函数f（x）的解析式. 解：由题意可得f（x）的周期为T＝ － ＝ ＝ ，所以ω＝ ，得f （x）＝Atan（ x＋φ）， 它的图象过点（ ，0）， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以tan（ × ＋φ）＝0，即tan（ ＋φ）＝0， 所以 ＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－ ，k∈Z， 又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ， 于是f（x）＝Atan（ x－ ）， 它的图象过点（0，－3）， 所以Atan（－ ）＝－3，得A＝3. 所以f（x）＝3tan（ x－ ）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 由三角函数图象求参数的一般思路 　　由三角函数的图象可观察出该函数的周期，零点及单调性、奇偶性等 性质，结合ω与T的关系，φ与零点（或奇偶性）的关系，A与最值（对称 轴）的关系求参数A，ω，φ的值或范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度3　根据单调性求参数 【例4】　已知函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单 调递增，则ω的取值范围是 ⁠. 解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单调 递增，当－ ＜x＜ 时，－ ＋ ＜ωx＋ ＜ ＋ ，∵当x＝0时，ωx ＋ ＝ ，由于函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单 调递增，∴ 解得ω≤ ，∵ω＞0，∴0＜ω≤ ，因此ω 的取值范围是（0， ］. （0， ］ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用函数的单调性求参数的解题思路 （1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调 区间，与已知单调区间比较求参； （2）根据函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），通过解不等 式（组）求出参数的取值范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝a sin x＋ cos x关于直线 x＝ 对称，则a的取值集合为 （　　） A. {1} B. {－1，1} C. {－1} D. {0} 解析：　由条件可知，f ＝ a＋ ＝± ，即 ＝ a2＋1，解得a＝1，所以a的取值集合为{1}. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝ sin （φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　∵f（x）＝ sin 是偶函数，∴f（0）＝±1.∴ sin ＝ ±1.∴ ＝kπ＋ （k∈Z），∴φ＝3kπ＋ （k∈Z）.又∵φ∈[0， 2π]，∴当k＝0时，φ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数f（x）＝2tan（kx＋ ）的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然 数k的值为 ⁠ 解析：由题意得1＜ ＜2，k∈N，∴ ＜k＜π，∵k∈N，∴k＝2或k＝3. 2或3 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 02 PART 目 录 1. 已知 sin （α＋ ）＝ ，则 cos （α－ ）的值为（　　） A. B. C. － D. － 解析： cos （α－ ）＝ cos （α＋ － ）＝ sin （α＋ ）＝ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知点P（ sin α－ cos α，tan α）在第一象限，且α∈[0，2π），则角α 的取值范围是（　　） A. ∪ B. ∪ C. ∪ D. ∪ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为点P在第一象限，所以 即 由tan α＞0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图. 又 sin α＞ cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的 阴影部分（不包括边界），即角α的取值范围是 ∪ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 命题p： cos θ＝ ，命题q：tan θ＝1，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由 cos θ＝ ，得θ＝± ＋2kπ，k∈Z，则tan θ＝±1，故 p q，p不是q的充分条件；由tan θ＝1，得θ＝ ＋kπ，k∈Z，则 cos θ＝± ，故q p，p不是q的必要条件，所以p是q的既不充分也不必 要条件.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝ln｜x｜· sin x的部分图象大致为（　　） √ 解析：　由解析式知f（x）＝ln｜x｜· sin x定义域为{x｜x≠0}，关于 原点对称，且f（－x）＝ln｜－x｜· sin （－x）＝－ln｜x｜· sin x＝－f （x），所以f（x）为奇函数，排除B、D，当0＜x＜1时，ln｜x｜＜0， sin x＞0，可得f（x）＝ln｜x｜· sin x＜0，排除C，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 函数f（x）＝｜ sin （x＋ ）－2｜的一个周期是（　　） A. B. π C. D. 2π 解析：　法一　因为f（x＋2π）＝｜ sin （x＋2π＋ ）－2｜＝｜ sin （x＋ ）－2｜＝f（x），所以f（x）的一个周期是2π.容易验证 ，π， 均不是函数f（x）的周期. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　如图，由函数y＝ sin （x＋ ）－2与y＝｜ sin （x＋ ）－2｜的图象，知函数y＝｜ sin （x＋ ）－2｜的最小正周期与y＝ sin （x＋ ）－2的最小正周期相同，为2π.结合选项知选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 已知函数y＝ sin （3x＋φ）（0＜φ＜π）在区间（－ ， ）上单调， 则φ的取值范围是（　　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. ［ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　当x∈（－ ， ）时，3x＋φ∈（－ ＋φ， ＋φ）.因为0 ＜φ＜π，所以－ ＜－ ＋φ＜ ， ＜ ＋φ＜ ，所以 解得 ≤φ≤ ，即φ的取值范围为［ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ sin x的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图 象所对应的函数解析式是（　　） A. y＝f（4x－ ） B. y＝f（ － ） C. y＝f（ －2） D. y＝f（4x－2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　题图1的函数为f（x）＝ sin x，T＝ ＝4.题图2的函数最小 正周期为T＝1，所以可将f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ， 对应函数解析式为y＝f（4x）＝ sin 2πx.又由题可得题图2对应的函数解 析式为y＝ sin ［2π（x－ ）］，所以函数y＝ sin 2πx的图象向右平移 个单位长度，纵坐标不改变，即可得到题图2中的图象，所以题图2中的图 象对应的函数解析式为y＝f（4（x－ ））＝f（4x－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 设函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）在区间（0，π）恰有两个零点，则ω的 取值范围是（　　） A. ［ ， ） B. ［ ， ） C. （ ， ］ D. （ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意可得只考虑ω＞0即可，设 ωx＋ ＝t，则当x∈（0，π）时，t∈ （ ，πω＋ ），y＝ sin t在（ ，＋∞）上 的图象如图所示. 若f（x）在（0，π）有两个零点，则由图知2π＜πω＋ ≤3π，即 ＜ω≤ .故ω的取值范围是（ ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 〔多选〕由曲线C1：y＝ sin （2x－ ）得到C2：y＝ cos x，下面变换 正确的是（　　） A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线C2 B. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向 左平移 个单位长度，得到曲线C2 C. 把C1向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到 原来的 ，纵坐标不变，得到曲线C2 D. 把C1向左平移 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到 原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为C1：y＝ sin （2x－ ）＝ cos （2x－ － ）＝ cos （2x－ ），所以把函数y＝ cos （2x－ ）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝ cos （x－ ）的图象，再把y＝ cos （x－ ）的图象向左平移 个单位长度，得到y＝ cos x的图象，A正确，B错误；把函数y＝ cos （2x－ ）＝ cos ［2（x－ ）］的图象向左平移 个单位长度，得到y＝ cos 2x的图象，再把y＝ cos 2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝ cos x的图象，C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 〔多选〕关于函数f（x）＝4 sin （πx－ ），下列说法正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为2 B. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称 C. 若f（a－x）＝f（a＋x），则｜a｜的最小值为 D. f（x）的图象与曲线y＝ （0＜x＜ ）共有4个交点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题可得T＝ ＝2，f（x）的最小正周期为2，A正确；f （ ）＝4 sin （ － ）＝4≠0，所以f（x）的图象不关于点（ ，0）中 心对称，B错误；令πx－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得x＝ ＋k，k∈Z，离y轴 最近的对称轴为x＝－ ，所以若f（a－x）＝f（a＋x），则函数关于x ＝a对称，｜a｜的最小值为 ，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 在y轴右边离y最近的对称轴为x＝ ，f（ ）＝4，而 ＝ ＜4，y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，因此f（x）的图象在第一象限每个周期内与y＝ 的图象都有两个交点，在区间（ ， ）上有两个交点，在区间（ ， ）上有两个交点，从而在区间（0， ）上共有4个交点，D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知函数g（x）＝ sin （ωx＋φ）（0＜ω＜4，0＜φ＜π）为 偶函数，将g（x）图象上的所有点向左平移 个单位长度，再把图象上所 有点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数f（x）的图象，若f（x）的图象 过点（0， ），则（　　） A. 函数f（x）的最小正周期为1 B. 函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝ C. 函数f（x）在［1， ］上的最小值为－ D. 函数f（x）在（0，π）上恰有5个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由函数g（x）为偶函数，得φ＝ ＋kπ，k∈Z，而0＜φ＜π， 则φ＝ ，因此f（x）＝ sin （2ωx＋ ＋ ）＝ cos （2ωx＋ ），则f （0）＝ cos ＝ .由0＜ω＜4，得0＜ ＜ ，于是 ＝ ，解得ω＝π，则 f（x）＝ cos （2πx＋ ）.对于A，函数f（x）的最小正周期为T＝ ＝ 1，A正确；对于B，f（ ）＝ cos ＝ ≠±1，函数f（x）的图象不关于 直线x＝ 对称，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 对于C，当1≤x≤ 时， ≤2πx＋ ≤ ，而函数y＝ cos t在t∈［ ， ］上单调递减，因此函数f（x）在［1， ］上单调递减，则f（x）在 ［1， ］上的最小值为f（ ）＝－ ，C正确；对于D，由f（x）＝0， 得2πx＋ ＝kπ＋ ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，由0＜ ＋ ＜π， k∈Z，解得k∈{0，1，2，3，4，5}，因此函数f（x）在（0，π）上恰有 6个零点，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π），且f （ ）≤f（x）≤f（ ）对任意的x∈R都成立，则（　　） A. f（x）的最小正周期为π B. 当ω取最小值时，φ＝－ C. f（ ）＝0 D. f（x）在区间（ ， ）上单调递增 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　因为f（ ）≤f（x）≤f（ ）对任意的x∈R都成立，所以 ω＋φ＝2k1π－ ， ω＋φ＝2k2π＋ ，k1，k2∈Z且k2≥k1，所以 ω＝ （2k＋1）π，ω＝2（2k＋1），其中k＝k2－k1，k1，k2∈Z，又ω＞0，所 以f（x）的最小正周期T＝ ＝ ，k∈Z，故A错误；易知ωmin＝2， 此时φ＝2k2π－ ，k2∈Z，因为｜φ｜≤π，所以φ＝－ ，B正确；易知 x＝ 和x＝ 是f（x）的两个极值点，所以（ ，0）是f（x）图象的一 个对称中心，故C正确；当k＞1时，f（x）的最小正周期T≤ ，而 － ＝ ＞ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 函数y＝ sin （x＋ ），x∈［0， ］的值域是 　［ ，1］　 解析：因为x∈［0， ］，所以 ≤x＋ ≤ ，所以 ≤ sin （x＋ ） ≤1，即原函数的值域为［ ，1］. ［ ，1］ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ），y＝f （x）的部分图象如图，则f（ ）＝ 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题图可知，此函数的半周期等于 － ＝ ＝ ，故最小正周期 为 ，所以ω＝2.又图象过点（ ，0），所以0＝Atan（2× ＋φ），即 ＋φ＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－ （k∈Z），又｜φ｜＜ ，所以φ ＝ .由图象过点（0，1）可知A＝1.综上，f（x）＝tan（2x＋ ）.故f （ ）＝tan（2× ＋ ）＝tan ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）＋ （0＜ω＜2，0＜φ＜ ），若 函数f（x）的图象关于点（ ， ）对称，且其相邻对称轴与对称中心之 间的距离为1，则函数f（x）＝ ⁠. 2 cos （ x＋ ）＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：函数f（x）的图象中相邻对称轴与对称中心之间的距离为1，所以 函数f（x）的最小正周期为T＝4×1＝4，即 ＝4，解得ω＝ .因为函数 f（x）的图象关于点（ ， ）对称，所以 × ＋φ＝ ＋kπ （k∈Z），即φ＝ ＋kπ（k∈Z），又0＜φ＜ ，所以φ＝ ，所以f （x）＝2 cos （ x＋ ）＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 关于函数f（x）＝ cos （2x－ ）有以下命题： ①若f（x1）＝f（x2）＝0，则x1－x2＝kπ（k∈Z）； ②函数f（x）在［ ， ］上单调递减； ③将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于原点对称； ④函数f（x）的图象与函数g（x）＝ sin （2x＋ ）的图象相同. 其中正确命题为 （填上所有正确命题的序号）. ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：函数f（x）＝ cos （2x－ ）的最小正周期是π，所以若f（x1）＝ f（x2）＝0，则x1－x2＝ （k∈Z），①错误；当x∈［ ， ］时，2x － ∈[0，π]，函数f（x）＝ cos （2x－ ）单调递减，②正确；将f （x）＝ cos （2x－ ）的图象向左平移 个单位长度，得到f（x）＝ cos ［2（x＋ ）－ ］＝ cos 2x的图象，则图象关于y轴对称，③错误；f （x）＝ cos （2x－ ）＝ sin （2x＋ ），④正确.所以正确命题为②④. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 17. 已知函数f（x）＝－ sin 2x＋ sin x＋1＋a. （1）当f（x）＝0有实数解时，求实数a的取值范围； 解：由f（x）＝0得a＝ sin 2x－ sin x－1＝（ sin x－ ）2－ .∵－ 1≤ sin x≤1，∴实数a的取值范围是［－ ，1］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若1≤f（x）≤ 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）＝－（ sin x－ ）2＋ ＋a. 由题意得 ⇒ ⇒2≤a≤3，即实数a的取值 范围是[2，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 18. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部 分图象如图所示，且f（0）＝f（ ）. （1）求函数f（x）的最小正周期； 解：由题意知，函数f（x）图象的一条对称轴为直 线x＝ ＝ .设函数f（x）的最小正周期为T，则 ＝ － ＝ ， 所以T＝π，即函数f（x）的最小正周期是π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f（x）的解析式，并写出它的单调递增区间. 解：由题图可知A＝2.因为T＝π， 所以ω＝ ＝2. 又因为f（ ）＝－2， 所以2 sin （ ＋φ）＝－2， 即 sin （ ＋φ）＝－1， 所以 ＋φ＝2k1π－ ，k1∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 即φ＝2k1π－ ，k1∈Z. 又因为0＜φ＜2π， 所以φ＝ . 所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）. 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 解得kπ－ ≤x≤kπ－ ，k∈Z， 所以函数f（x）的单调递增区间为 ［kπ－ ，kπ－ ］，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $