第1章 5.1 第2课时 正弦函数的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

第二课时　正弦函数的性质 1 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 2 01 PART 基础落实 目 录 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电 掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包 含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地 运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、 加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）这几个循环路径. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　（1）函数y＝ sin x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这 是函数y＝ sin x的什么性质？ （2）过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝ sin x的什么性质？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　正弦函数的性质 函数 y＝ sin x 定义域 R 最大值 与最小值 ymax＝1 x＝ ＋2kπ，k∈Z ymin＝－1 ⁠ 值域 [－1，1] x＝－ ＋2kπ，k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 函数 y＝ sin x 周期性 2kπ（k∈Z且k≠0），2π为最小正周期 单调性 单调递增区间 ⁠ 单调递减区间 ⁠ 奇偶性 ⁠ 对称轴 x＝ ⁠ 对称中心 ⁠ ， ，k∈Z ，k∈Z 奇函数 ＋kπ，k∈Z （kπ，0），k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 从图象的变化趋势来看，正弦函数的最大值、最小值点分别处在什 么位置？ 提示：正弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 正弦函数y＝ sin x在 上函数值的变化有什么特点？推广到整 个定义域呢？ 提示：观察图象可知： 当x∈ 时，曲线逐渐上升，y＝ sin x单调递增， sin x的值由－1增 大到1； 当x∈ 时，曲线逐渐下降，y＝ sin x单调递减， sin x的值由1减小 到－1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 当x∈ （k∈Z）时，正弦函数y＝ sin x单调递增， 函数值由－1增大到1； 当x∈ （k∈Z）时，正弦函数y＝ sin x单调递减，函 数值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）正弦函数y＝ sin x的定义域为R. （　√　） （2）正弦函数y＝ sin x是增函数. （　×　） （3）正弦函数y＝ sin x是周期函数. （　√　） （4）正弦函数y＝ sin x的最大值为1，最小值为－1. （　√　） √ × √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ 的定义域为（　　） A. R B. {x｜x≠kπ，k∈Z} C. [－1，0）∪（0，1] D. {x｜x≠0} √ 解析：　要使函数有意义，应有 sin x≠0，因此，x≠kπ（k∈Z）.故定 义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}. 3. 若函数f（x）＝ sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝ ⁠. 解析：由奇函数的定义f（－x）＝－f（x）得a＝1. 1 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜正弦函数单调性的应用 角度1　求正弦函数的单调区间 【例1】　（1）函数y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为 ⁠ ⁠； 解析：当－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，y＝－3 sin x＋1单调递减， ∴y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为 ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）. ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若x∈[0，π]，则函数y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为 ⁠. 解析：∵［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）∩[0，π]＝［0， ］，∴当 x∈[0，π]时，y＝－3 sin x＋1的单调递减区间为［0， ］. ［0， ］ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 结合y＝ sin x的图象，熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间. 2. 对形如y＝a sin x＋b的形式的函数，当a＞0时，其单调性与y＝ sin x 的单调性相同；当a＜0时，其单调性与y＝ sin x的单调性相反. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝ sin x＋1的单调递增区间为 .⁠ 解析：y＝ sin x＋1的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. ［－ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　利用正弦函数单调性比较大小 【例2】　比较下列三角函数值的大小： （1） sin 196°与 sin 156°； 解： sin 196°＝ sin （180°＋16°）＝－ sin 16°， sin 156°＝ sin （180°－24°）＝ sin 24°， 又∵－ sin 16°＜0， sin 24°＞0， ∴ sin 24°＞－ sin 16°，∴ sin 156°＞ sin 196°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin （－ ）与 sin （－ ）. 解：∵ sin （－ ）＝－ sin ， sin （－ ）＝－ sin （2π＋ ）＝－ sin ， 由于 ＜ ＜ ＜ ， 且y＝ sin x在（ ， ）上单调递减， ∴ sin ＞ sin ，∴－ sin ＜－ sin ， 即 sin （－ ）＜ sin （－ ）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 比较 sin α与 sin β的大小，可利用诱导公式把 sin α与 sin β转化为同一单 调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较. 2. 比较 sin α与 cos β的大小，常把 cos β转化为 sin （ ±β）后，再依据单 调性来进行比较. 3. 当不能将两角转化到同一单调区间上时，还可以借助于图象或值的符号 来进行比较. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 比较 sin 194°与 cos 110°的大小. 解：∵ sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14°， cos 110°＝ cos （180°－70°）＝－ cos 70°＝－ sin （90°－70°）＝－ sin 20°，由 于0°＜14°＜20°＜90°，而y＝ sin x在0°≤x≤90°时单调递增， ∴ sin 14°＜ sin 20°， ∴－ sin 14°＞－ sin 20°，即 sin 194°＞ cos 110°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜正弦函数的周期性、奇偶性 【例3】　求y＝3 sin 2x的周期并判断它的奇偶性. 解：因为∀x∈R，有3 sin （2x＋2π）＝3 sin [2（x＋π）]＝3 sin 2x， 由周期函数的定义可知，函数y＝3 sin 2x的周期为π， 又因为∀x∈R，且－x∈R， 所以3 sin [2（－x）]＝3 sin [－（2x）]＝－3 sin 2x， 即满足f（－x）＝－f（x），故y＝3 sin 2x为奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求正弦函数周期和判断奇偶性的方法 （1）求正弦函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解； ②图象法：通过观察函数图象求其周期. （2）判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再看f（－ x）与f（x）的关系. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝ cos （x－ ）是（　　） A. 周期为2π的奇函数 B. 周期为2π的偶函数 C. 周期为π的奇函数 D. 周期为π的偶函数 解析：因为y＝ cos （x－ ）＝ sin x，所以该函数是周期为2π的奇函数. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜与正弦函数有关的值域问题 【例4】　求下列函数的值域： （1）y＝3－2 sin x； 解：∵－1≤ sin x≤1， ∴－1≤－ sin x≤1，1≤3－2 sin x≤5， ∴函数y＝3－2 sin x的值域为[1，5]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）y＝－ sin 2x＋ sin x＋ . 解：令t＝ sin x，则－1≤t≤1， y＝－t2＋ t＋ ＝－ ＋2， ∴当t＝ 时，ymax＝2.此时 sin x＝ ， 即x＝2kπ＋ 或x＝2kπ＋ ，k∈Z. 当t＝－1时，ymin＝ － . 此时 sin x＝－1，即x＝2kπ＋ ，k∈Z. ∴函数y＝－ sin 2x＋ sin x＋ 的值域为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 1. （变条件）若将本例（1）的条件变为“函数y＝1＋2 sin x，x∈ ”，求函数的最值. 解：∵－ ≤x≤ ，∴－ ≤ sin x≤ . ∴0≤1＋2 sin x≤2.即y＝1＋2 sin x，x∈ 的最大值为2，最小值 为0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. （变条件）若将本例（1）中的函数变为“y＝3＋a sin x（a≠0）”试 求函数的值域. 解：∵－1≤ sin x≤1. 当a＞0时，－a≤a sin x≤a，3－a≤3＋a sin x≤3＋a. 当a＜0时，a≤a sin x≤－a，3＋a≤3＋a sin x≤3－a. 综上，当a＞0时函数的值域为[3－a，3＋a]； 当a＜0时，函数的值域为[3＋a，3－a]. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求与正弦函数有关的值域一般有两种方法 （1）将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求解； （2）利用 sin x的有界性. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数y＝－3 sin x＋2，当x＝ 时，y有最大值 等于 . － ＋2kπ，k∈Z 5 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 函数f（x）＝ sin （－x）是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 解析：　由于x∈R，且f（－x）＝ sin x＝－ sin （－x）＝－f（x）， 所以f（x）为奇函数. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象上的一条对称轴是（　　） A. y轴 B. x轴 C. 直线x＝ D. 直线x＝π 解析：结合函数y＝ sin x，x∈R的图象可知直线x＝ 是函数的一条对称轴. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝－ sin 2x＋ sin x＋1的最大值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 0 解析：　令t＝ sin x，t∈[－1，1]，则y＝－t2＋t＋1＝－（t－ ）2＋ ，当t＝ 时，ymax＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数f（x）＝ sin 2x＋1的奇偶性是 ⁠. 解析：f（－x）＝[ sin （－x）]2＋1＝ sin 2x＋1＝f（x），所以f（x） 为偶函数. 5. 比较下列各组数的大小. （1） sin 2 024°和 cos 160°； 解： sin 2 024°＝ sin （360°×5＋224°） ＝ sin 224°＝ sin （180°＋44°）＝－ sin 44°， cos 160°＝ cos （180°－20°）＝－ cos 20°＝－ sin 70°. ∵ sin 44°＜ sin 70°，∴－ sin 44°＞－ sin 70°， 即 sin 2 024°＞ cos 160°. 偶函数 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin 和 cos . 解： cos ＝ sin ， 又 ＜ ＜ ＋ ＜ ， y＝ sin x在 上单调递减， ∴ sin ＞ sin ＝ cos ， 即 sin ＞ cos . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知a∈R，函数f（x）＝ sin x＋｜a｜－1，x∈R为奇函数，则a＝ （　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1 解析：　由题意，得f（0）＝0，即｜a｜－1＝0，所以a＝±1，即当a ＝±1时，f（x）＝ sin x为R上的奇函数. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝4 sin x＋3在[－π，π]上的单调递增区间为（　　） A. B. C. D. 解析：y＝ sin x的单调递增区间就是y＝4 sin x＋3的单调递增区间. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知M和m分别是函数y＝ sin x－1的最大值和最小值，则M＋m＝ （　　） A. B. － C. － D. －2 解析：　因为M＝ymax＝ －1＝－ ，m＝ymin＝－ －1＝－ ，所以M ＋m＝－ － ＝－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知函数y＝ sin x，x∈ ，则y的取值范围是（　　） A. [－1，1] B. C. D. 解析：　y＝ sin x在 上单调递增，在 上单调递减，∴当x ＝ 时，ymax＝1，当x＝ 时，ymin＝ ，∴y∈ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）＝｜ sin x｜，下列说法正确的是（　　） A. f（x）既是偶函数，又是周期函数 B. f（x）的最大值为 C. y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称 D. y＝f（x）的图象关于点（π，0）中心对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：作出函数f（x）的图象，如图所示. 由图可知，A正确；函数f（x）的最大值为1，故B错误；函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，也关于直线x＝π对称，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中正确的是（　　） A. f（x）在 上单调递减 B. f（x）的图象关于原点对称 C. f（x）的最小正周期为2π D. f（x）的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：因为函数y＝ sin x在 上单调递减，所以f（x）＝ sin 2x在 上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 函数y＝3 sin x－1的最大值为 ，取得最大值时对应的自变量x的取 值范围为 ⁠. 解析：当 sin x＝1，即x＝2kπ＋ ，k∈Z时，ymax＝2. 2 {x｜x＝2kπ＋ ，k∈Z} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数f（x）＝x3＋ sin x＋1，x∈R，若f（a）＝2，则f（－a）的值 为 ⁠. 解析：f（a）＝a3＋ sin a＋1＝2，所以a3＋ sin a＝1， f（－a）＝（－a）3＋ sin （－a）＋1＝－（a3＋ sin a）＋1＝－1＋1 ＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. cos 10°， sin 11°， sin 168°从小到大的排列顺序是 ⁠ ⁠. 解析：因为 sin 168°＝ sin （180°－12°）＝ sin 12°， cos 10°＝ cos （90°－80°）＝ sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝ sin x单调 递增，因此 sin 11°＜ sin 12°＜ sin 80°，即 sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10°. sin 11°＜ sin 168°＜ cos 10° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 比较下列各组中三角函数值的大小. （1） sin 250°， sin 260°； 解：因为250°＝ ，260°＝ ，y＝ sin x在（π， ）上单调递减， 所以 sin ＞ sin ，即 sin 250°＞ sin 260°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin （－ ）， sin （－ ）； 解： sin （－ ）＝ sin （－8π＋ ）＝ sin ， sin （－ ）＝ sin （－8π＋ ）＝ sin ， 因为 ＞ ＞ ＞0，y＝ sin x在（0， ）上单调递增， 所以 sin ＞ sin ，即 sin （－ ）＞ sin （－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3） sin 1， sin 2， sin 3. 解： sin 2＝ sin （π－2）， sin 3＝ sin （π－3）. 因为0＜π－3＜1＜π－2＜ ，且y＝ sin x在（0， ）上单调递增， 所以 sin （π－3）＜ sin 1＜ sin （π－2）， 即 sin 3＜ sin 1＜ sin 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正 周期是π，且当x∈ 时，f（x）＝ sin x，则f ＝（　　） A. － B. 解析：∵f（x）的周期是π，∴f ＝f ＝f ＝f ＝f .又f（x）是偶函数，∴f ＝f ＝ sin ＝ ，∴f ＝ . C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－ ， ）时，f（x）＝x ＋ sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（　　） A. a＜b＜c B. b＜c＜a C. c＜b＜a D. c＜a＜b 解析：　由已知得，函数f（x）在（－ ， ）上单调递增.因为π－2∈ （－ ， ），π－3∈（－ ， ），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f （1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 关于函数f（x）＝ sin x＋ 有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称； ②f（x）的图象关于原点对称； ③f（x）的图象关于直线x＝ 对称； ④f（x）的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 ⁠. ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：由题意知f（x）的定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对 称.又f（－x）＝ sin （－x）＋ ＝－ ＝－f（x）， 所以函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为 真命题.因为f ＝ sin ＋ ＝ cos x＋ ，f ＝ sin ＋ ＝ cos x＋ ，所以f ＝f ，所以函 数f（x）的图象关于直线x＝ 对称，③为真命题.当 sin x＜0时，f（x） ＜0，所以④为假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. （1）求实数a的值； 解：∵ymax＝1－a，∴a＜0， 故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4. （2）求该函数的单调递增区间； 解：由（1）知，y＝－4 sin x＋1， 当 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4 sin x＋1单调递增，∴y ＝－4 sin x＋1的单调递增区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间. 解：∵［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）∩[－π，π]＝［－π，－ ］∪［ ，π］. ∴当x∈[－π，π]时，y＝－4 sin x＋1的单调递增区间为［－π，－ ］， ［ ，π］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕关于函数f（x）＝｜ sin x｜－ sin ｜x｜有下述四个结论， 其中正确的结论是（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）在（0，2π）上有3个零点 C. f（x）在 上单调递增 D. f（x）的最大值为2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　A项，f（－x）＝｜ sin （－x）｜－ sin ｜－x｜＝｜ sin x｜ － sin ｜x｜＝f（x）且x∈R，即f（x）是偶函数，正确；B项，f（x） ＝ 零点有无数个，错误；C项，由B知：在 上f（x）＝0为常数，不单调，错误；D项，由B知：在x∈R上，当x＝ 3kπ＋ ，k∈Z时最大值为2，正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ），其中φ为实数，且｜φ｜＜π. （1）若f（x）≤ 对x∈R恒成立，且f ＞f（π），求φ的值； 解：由f（x）≤ 对x∈R恒成立知2· ＋φ＝2kπ± （k∈Z）， ∴φ＝2kπ＋ 或φ＝2kπ－ （k∈Z）. ∵｜φ｜＜π，∴φ＝ 或φ＝－ ， 又∵f ＞f（π）， ∴φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）在（1）的基础上，探究f（x）的单调递增区间； 解：由（1）知f（x）＝ sin . 令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）.得f（x）的单调递增区间是 （k∈Z）. （3）我们知道正弦函数是奇函数，f（x）＝ sin （2x＋φ）是奇函数吗？ 若它是奇函数，写出φ满足的条件.（只写结论，不写推理过程） 解：f（x）＝ sin （2x＋φ）不一定是奇函数， 若f（x）＝ sin （2x＋φ）是奇函数， 则φ＝kπ（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $