第1章 5.1 第1课时 正弦函数的图象-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

5.1　正弦函数的图象与性质再认识 1 1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数的图象（数学抽象、直观想象）. 2.掌握正弦函数的图象与性质，并会利用图象与性质解决一些应用问题（数学运算、直观想象）. 课标要求 第一课时　正弦函数的图象 3 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 4 01 PART 基础落实 目 录 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”. 【问题】　（1）你能画出y＝ sin x， x∈[0，2π]的图象吗？ （2）y＝ sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点的坐标是什么？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　正弦函数的图象 1. 正弦曲线 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象称作 ⁠. 正弦曲线　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （1）几何法： ①在区间[0，2π]上取一系列的x值，借助单位圆获得对应的正弦函数值， 画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象； ②将所得图象向左、向右平移（每次平移2π个单位长度）. 2. 正弦函数图象的画法 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点 ⁠ ， 　 　， ，  ， ，用光滑的曲线顺次连接； ②将所得图象向左、向右平移（每次平移2π个单位长度）. 　　提醒：“五点法”中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象 与坐标轴的交点. （0，0） 　 （π，0）　 　 （2π，0）　 （2）五点法： 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ sin x的图象介于直线y＝－1和y＝1之间. （　√　） （2）函数y＝ sin x的图象关于x轴对称. （　×　） （3）用五点法画函数y＝ sin x在区间[－π，π]上的简图时， 是其中的一个关键点. （　√　） √ × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ sin （－x），x∈[0，2π]的简图是（　　） 解析：　y＝ sin （－x）＝－ sin x，故图象与y＝ sin x的图象关于x轴对 称，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 用五点法画y＝ sin x，x∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的 和是 ⁠. 解析：0＋ ＋π＋ ＋2π＝5π. 5π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜用五点法作正弦函数图象 【例1】　利用“五点法”画出函数y＝－2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象. 解：列表： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 －2＋ sin x －2 －1 －2 －3 －2 描点，并用光滑的曲线连接起来，得函数y＝－2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　用五点法画函数y＝A sin x＋b（A≠0），x∈[0，2π]的图象的步骤 （1）列表： x 0 π 2π y＝ sin x 0 1 0 －1 0 y＝A sin x＋b b A＋b b －A＋b b （2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，b）， ，（π， b）， ，（2π，b）五个点； （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 作出函数y＝－2 sin x（0≤x≤2π）的图象. 解：列表： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 －2 sin x 0 －2 0 2 0 描点，并用光滑的曲线连接起来，如图. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用正弦函数图象解不等式 【例2】　利用y＝ sin x的图象，在[0，2π]内求满足 sin x≥－ 的x的取值 范围. 解：列表： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 描点，连线如图，同时作出直线y＝－ 的图象. 由图象可得 sin x≥－ 的取值范围为 ∪ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用正弦函数图象解不等式的方法 （1）作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象； （2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； （3）根据图象写出不等式的解集. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　利用正弦函数的图象，求满足 sin x≥ 的x的集合. 解：作出正弦函数y＝ sin x，x∈[0，2π]与直线y＝ 在同一坐标系内的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为 ，k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利用正弦函数图象判断方程根的个数 【例3】　函数f（x）＝ sin x＋2｜ sin x｜，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围. 解：f（x）＝ 作出图象，如图. ∵f（x）图象与直线y＝k有且仅有两个不同交点.由图象可得k的取值范围为（1，3）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）将本例变为“求方程lg x＝ sin x的实数解的个数”应 如何求解. 解：作出y＝lg x，y＝ sin x在同一坐标系内的图象，则方程根的个数即为 两函数图象交点的个数，由图象知方程有三个实根. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式转化为形象直观的 图形.利用正弦函数图象可解决许多问题，如特殊方程根的问题，通常可 转化为函数图象交点个数问题. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 判断方程 sin x＝－ ，x∈[0，2π]根的个数. 解：画出y＝ sin x和y＝－ 在区间[0，2π]上的图象，如图所示.由图象可知两图象有2个交点，因此原方程有2个实数根. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 用“五点法”作y＝2 sin x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 （　　） A. 0， ，π， ，2π B. 0， ， ， ，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ， 解析：　y＝2 sin x与y＝ sin x对应五点的横坐标相同，则用“五点法” 作图时，对应五点的横坐标为0， ，π， ，2π.故选A. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝1－ sin x，x∈[0，2π]的大致图象是（　　） 解析：　当x＝0时，y＝1；当x＝ 时，y＝0；当x＝2π时，y＝1.结合 正弦函数的图象可知B正确. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 根据函数y＝ sin x的图象，可得方程 sin x＝0的解为（　　） A. x＝2kπ（k∈Z） B. x＝kπ（k∈Z） C. x＝ ＋kπ（k∈Z） D. x＝ ＋2kπ（k∈Z） 解析：　由题意和正弦函数y＝ sin x的图象可知，由 sin x＝0可得x＝kπ （k∈Z）.故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 方程x2＝ sin x的实数解的个数为 ⁠. 解析：作函数y＝ sin x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有2个实数解. 2 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 在[0，2π]内，用五点法作出函数y＝2 sin x－1的图象. 解：（1）列表： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 2 sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 （2）描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： （0，－1）， ，（π，－1）， ，（2π，－1）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，得函数y＝2 sin x－1，x∈[0，2π]的图象，如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 在同一平面直角坐标系内，函数y＝ sin x，x∈[0，2π]与y＝ sin x， x∈[2π，4π]的图象（　　） A. 重合 B. 形状相同，位置不同 C. 关于y轴对称 D. 形状不同，位置不同 解析：　根据正弦曲线的作法可知函数y＝ sin x，x∈[0，2π]与y＝ sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 下列函数图象相同的是（　　） A. y＝ sin x与y＝ sin （π－x） B. y＝｜ sin x｜与y＝ sin ｜x｜ C. y＝ sin x与y＝ sin （－x） D. y＝ sin x与y＝ sin （2π－x） 解析：　函数的图象相同，则函数的解析式相同，因为y＝ sin （π－x） ＝ sin x，所以y＝ sin x与y＝ sin （π－x）的图象相同. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若点（ ，b）在函数y＝ sin x＋1的图象上，则b＝（　　） A. B. C. 2 D. 3 解析：由题意知b＝ sin ＋1＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的大致图象是（　　） 解析：　函数y＝1＋ sin x的图象是由y＝ sin x图象向上平移1个单位长度 得到的，因此只有A项是正确的. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 不等式 sin x＞0，x∈[0，2π]的解集为（　　） A. [0，π] B. （0，π） C. D. 解析：由y＝ sin x在[0，2π]的图象（图略）可得选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕对于正弦函数y＝ sin x的图象，下列说法正确的是（　　） A. 向左、右无限延展 B. 与y＝－ sin x的图象形状相同，只是位置不同 C. 与x轴有无数个交点 D. 关于y轴对称 解析：y＝ sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误.A、B、C正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 函数y＝ sin x，x∈ 的图象与函数y＝x的图象交点个数 是 ⁠. 解析：在同一坐标系内画出图象，由图象知交点个数为1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝ 的交点个数为 ⁠. 解析：在同一坐标系中作出函数y＝1＋ sin x，x∈[0，2π]和y＝ 的图象 （图略），可得有两个交点. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知 sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是 ⁠. 解析：由y＝ sin x，x∈R的图象知，－1≤ sin x≤1，即－1≤m－1≤1， 所以0≤m≤2. [0，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 用五点法作函数y＝2＋ sin x，x∈[0，2π]的图象. 解：列表如下： x 0 ​ π ​ 2π sin x 0 1 0 －1 0 2＋ sin x 2 ​ 2 ​ 2 描点作图，如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 函数y＝x sin x的部分图象是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　函数y＝x sin x的定义域为R，令f（x）＝x sin x，则f（－x） ＝（－x）· sin （－x）＝x sin x＝f（x），知f（x）为偶函数，排除B、 D；当x∈ 时，f（x）＞0，故排除C，选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 若函数y＝ sin x，x∈［ ， ］的图象与直线y＝1围成一个封闭图 形，则这个封闭图形的面积是（　　） A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π √ 解析：　如图，由正弦函数图象的对称性 知，所围成平面图形的面积是长为 － ＝ 2π，宽为1的矩形的面积，∴S＝2π.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 函数f（x）＝ 则不等式f（x）＞ 的解集是 ⁠ ⁠. 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）和y＝ 的图象（图 略），由图象易得：－ ＜x＜0或 ＋2kπ＜x＜ π＋2kπ，k∈N. {x｜ － ＜x＜0或 ＋2kπ＜x＜ π＋2kπ，k∈N} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 判断方程x＋ sin x＝0的解的个数. 解：设f（x）＝－x，g（x）＝ sin x. 在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图象，如图. 由图知f（x）和g（x）的图象仅有一个交点，即方程x＋ sin x＝0仅有一个根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 若集合M＝{θ｜ sin θ≥ ，0≤θ≤π}，当x∈M时，y＝｜ sin x｜ ＋ sin x的值域是 ⁠. 解析：作出y＝ sin x在 [0，π]内的函数图象如图，∴M＝{θ｜ ≤θ≤ π}， 又∵y＝｜ sin x｜＋ sin x＝ 且当x∈M时， ≤ sin x≤1，1≤2 sin x≤2， ∴函数y＝｜ sin x｜＋ sin x的值域为[1，2]. [1，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 若方程 sin x＝ 在x∈ 上有两个实数根，求a的取值范围. 解：在同一直角坐标系中作出y＝ sin x，x∈ 的图 象，y＝ 的图象，由图象可知，当 ≤ ＜1，即 －1＜a≤1－ 时，y＝ sin x，x∈ 的图象与 y＝ 的图象有两个交点，即方程 sin x＝ 在x∈ 上有两个实根，所以a的取值范围为（－1，1－ ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $