第1章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 1 1.理解正切函数的定义，会用正切函数的定义求正切值（数学抽象、数学运算）. 2.理解并熟记正切函数的诱导公式（逻辑推理）. 3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角 的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边 与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正 弦函数和余弦函数的定义，同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行 了深入探究. 【问题】　那么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又是怎样 的呢？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　正切函数的定义 1. 定义：根据函数的定义，比值 是x的函数，称为x的正切函数，记 作y＝tan x，其中定义域为 ⁠. 2. 结论：若角α的终边上任取一点Q（x0，y0）（x0≠0），则tan α ＝ ⁠. 　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 由正切函数的定义知：当角α的终边在第一和第三象限时，正切值 为 ；当角α的终边在第二和第四象限时，正切值为 ⁠. 　　提醒：（1）若x＝ ＋kπ（k∈Z），则角x的终边落在y轴上，此时 cos x＝0，比值 无意义，因此正切函数的定义域为 ；（2）三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有 正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正. 正　 负　 3. 正切值在各象限中的符号 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　正切函数的诱导公式 tan（x＋kπ）＝ （k∈Z）；tan （－x）＝ ⁠； tan（π－x）＝－tan x；tan ＝－ ； tan ＝ . 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数. tan x　 －tan x　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一 样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”；（2）利用诱导公式求 任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、余弦函数值 的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为 上的正切函数再 求值”，即由未知转化为已知的化归思想；（3）诱导公式用角度制和弧 度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）tan ＝tan α当且仅当k＝2时成立. （　×　） （2）tan（π－α）＝－tan α. （　√　） × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 ，则tan α的值为（　　） A. － B. － C. － D. － 解析：　tan α＝ ＝－ . √ 3. 已知点P（2，3）是角α终边上一点，则tan（π＋α）＝ ⁠. 解析：由题意知tan α＝ ＝ ，∴tan（π＋α）＝tan α＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜正切函数定义的应用 【例1】　已知角α的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求tan α的值. 解：r＝ ＝5｜a｜， 若a＞0，r＝5a，角α在第二象限， sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝－ ， tan α＝ ＝ ＝－ ； 若a＜0，r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用正切函数的定义求值的策略 （1）已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时，常用的解题方法有以 下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用正切函数的定义求 出相应的正切函数值； ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐 标（a，b），则对应角的正弦值 sin α＝ ，余弦值 cos α＝ ，正切值tan α＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际 情况对参数进行分类讨论. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y＜0， cos α＝ ，则tan α ＝（　　） A. － B. C. D. － 解析：　 cos α＝ ＝ ，解得y＝±4，又y＜0，所以y＝－4，故 tan α＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜利用正切函数诱导公式求值 【例2】　求下列各式的值： （1）tan ； 解：tan ＝－tan ＝－tan ＝－tan ＝tan ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）tan 10°＋tan 170°＋ sin 1 866°－ sin （－606°）. 解：原式＝tan 10°＋tan （180°－10°）＋ sin 1 866°－ sin （－ 606°）＝tan 10°－tan 10°＋ sin （5×360°＋66°）－ sin [（－2） ×360°＋114°]＝ sin 66°－ sin （180°－66°）＝ sin 66°－ sin 66°＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法 （1）正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值，即“给角求值”，关 键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为 上的正切函数 值，通常是特殊角的正切函数值； （2）“给值求值”时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选 择恰当的诱导公式求值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 计算：tan（－870°）·tan 930°＋tan（－1 380°）·tan（－690°）. 解：原式＝tan（－5×180°＋30°）·tan（5×180°＋30°）＋tan（－ 8×180°＋60°）·tan（－4×180°＋30°） ＝tan 30°·tan 30°＋tan 60°·tan 30° ＝（ ）2＋ × ＝ ＋1＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜利用正切函数的诱导公式化简与证明 【例3】　求证： ＝－tan α. 证明：左边＝ ＝ ＝ ＝－tan α＝右边.故原式得证. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则 （1）“切化弦”，函数名称尽可能化少； （2）“大化小”，角尽可能化小. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 化简： . 解：原式＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. tan 660°的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析：tan 660°＝tan（180°×3＋120°）＝tan 120°＝－tan 60°＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 下列各式成立的是（　　） A. tan（π＋α）＝－tan α B. tan（π－α）＝tan α C. tan（－α）＝－tan α D. tan（2π－α）＝tan α 解析：　tan（π＋α）＝tan α；tan（π－α）＝－tan α；tan（－α）＝－tan α；tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tan α.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若角α的终边经过点P（－2，3），则tan α＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　因为角α的终边经过点P（－2，3），所以tan α＝ ＝－ . 故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知tan（π－x）＝ ，则tan（x－3π）＝ 　－ 　. 解析：由tan（π－x）＝ 知，tan x＝－ ， 故tan（x－3π）＝－tan（3π－x）＝tan x＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 若点P（x，y）是330°角终边上异于原点的任意一点，则 的值是 （　　） A. B. － C. － D. 解析：　依题意得 ＝tan 330°，又tan 330°＝tan（360°－30°）＝－ tan 30°＝－ ，∴ ＝－ ，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. tan（－1 560°）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析：　tan（－1 560°）＝－tan 1 560°＝－tan（4×360°＋120°） ＝－tan 120°＝－tan（180°－60°）＝tan 60°＝ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知a＝ sin ，b＝tan ，c＝log4 ，则（　　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. a＞c＞b 解析：　因为 ＜ ＜ ＜ ＜ ，所以 ＜ sin ＜1，tan ＞1，又 log4 ＝ ，所以b＞a＞c.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知α∈[0，2π），点P（1，tan 2）是角α终边上的一点，则α＝（　　） A. 2＋π B. 2 C. π－2 D. 2－π 解析：　因为 ＜2＜π，所以tan 2＜0，所以α是第四象限角，又由tan α ＝tan 2，α∈[0，2π），所以α＝2＋π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. cos 2x＝（　　） A. tan x B. sin x C. cos x D. 解析：（tan x＋ ） cos 2x＝（ ＋ ）· cos 2x＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕下列各函数值，其中符号为正的是（　　） A. sin （－ 1 000°） B. cos （－2 200°） C. tan（－10°） D. 解析： sin （－1 000°）＝ sin （－3×360°＋80°）＝ sin 80°＞0； cos （－2 200°）＝ cos 2 200°＝ cos （6×360°＋40°）＝ cos 40°＞0；tan（－10°）＝－tan 10°＜0； sin ＞0， cos π＝－1＜0，tan ＝tan ＜0，故 ＞0. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 若角α的终边经过点P（5，－12），则 sin α＝ ， cos α ＝ 　​ 　，tan α＝ 　－ 　. 解析：因为x＝5，y＝－12，所以r＝ ＝13，则 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ . － ​ － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. tan ＝ 　​ 　. 解析：tan ＝－tan ＝－tan ＝－tan ＝tan ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. tan 405°－ sin 450°＋ cos 750°＝ ⁠. 解析：tan 405°－ sin 450°＋ cos 750°＝tan（360°＋45°）－ sin （360°＋90°）＋ cos （720°＋30°）＝tan 45°－ sin 90°＋ cos 30° ＝1－1＋ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 P（3，y），且tan α＝－ . （1）求y的值； 解：因为tan α＝ ＝－ ，所以y＝－4. （2）求 的值. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 已知角α的终边过点（m，－2），若tan（π＋α）＝ ，则m＝（　　） A. B. －10 C. 10 D. － 解析：　因为tan（π＋α）＝tan α＝ ，角α的终边过点（m，－2），得 tan α＝ ＝ ，解得m＝－10.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 已知tan （π－α）＝－ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. 1 解析：　由tan （π－α）＝－ 得，tan α＝ . ∴ ＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知 cos （α＋β）＝－1，且tan α＝2，则tan β＝ ⁠. 解析：由 cos （α＋β）＝－1，知α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），∴β＝2kπ＋π －α（k∈Z）.∴tan β＝tan （2kπ＋π－α）＝tan （π－α）＝－tan α＝－2. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知 sin （α＋β）＝1，试求tan（2α＋β）＋tan β的值. 解：因为 sin （α＋β）＝1，所以α＋β＝2kπ＋ （k∈Z）， 所以α＝2kπ＋ －β（k∈Z）.故tan（2α＋β）＋tan β ＝tan ＋tan β＝tan（4kπ＋π－2β＋β）＋tan β＝tan （4kπ＋π－β）＋tan β＝tan（π－β）＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A. 正角的正弦值是正的，负角的余弦值是负的，零角的正切值是零 B. 若tan α≥0，则kπ≤α≤ ＋kπ（k∈Z） C. tan（－945°）＝－1 D. 对任意角α ，都有｜tan α＋ ｜＝｜tan α｜＋ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负，故A错误；若tan α≥0，则kπ≤α＜ ＋kπ（k∈Z），故B错误；tan（－945°）＝－tan 945°＝－tan（225°＋2×360°）＝－tan 225°＝－tan（180°＋45°） ＝－tan 45°＝－1，故C正确；因为tan α， 的符号相同，所以 ＝｜tan α｜＋ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知①角α的终边经过点P（4m，－3m）（m≠0）；②tan（ －α） ＝ ；③3 sin α＋4 cos α＝0.在这三个条件中任选一个，求 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解： ＝ . 选①：由题意得，tan α＝ ＝－ ， ∴原式＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 选②：由tan（ －α）＝ ＝ ， 得tan α＝ ， ∴原式＝ ＝ ＝－ . 选③：由3 sin α＋4 cos α＝0，得tan α＝－ ， ∴原式＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $