专题1.7 正切函数（高效培优讲义，5知识&10题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

专题1.7 正切函数 教学目标 1.理解任意角的正切函数定义，会根据终边上一点的坐标求正切值，并能利用定义进行化简求值； 2.掌握正切函数的诱导公式及其推导与应用；能借助单位圆中的正切线画出的图象； 3.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，并能利用其性质解决相关问题。 教学重难点 1.重点 （1）正切函数的定义、诱导公式及其应用； （2）正切函数的图象绘制与核心性质（定义域、周期性、单调性）的理解与应用。 2.难点 （1）正切函数诱导公式的推导与灵活运用； （2）正切函数定义域的限制及图象的渐近线特征，以及在区间内单调性的深入理解。 知识点01 正切函数的定义 比值 是的函数，称为的正切函数，记作其中定义域为 ；正切函数是 周期函数 ， 是它的最小正周期，正切函数是 奇函数 （奇偶性）。 角在各象限所对的正弦值的符号： 象限 一 二 三 四 + + 【即学即练】 1．已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【答案】A 【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限. 【详解】因为，所以或， 所以可能为第一象限角或第二象限角． 故选：A． 2．若且，则的终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论． 【详解】因，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因，则的终边在第一、三象限， 因此，的终边所在象限为第三象限． 故选：C． 知识点02 正切函数的定义拓展 如图所示，在角的终边上异与原点的一点，则 【即学即练】 3．(24-25高一下·陕西汉中十校联考·期末)已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用任意角三角函数的定义可求得的值. 【详解】由题意， 因为角的终边过点， ∴. 故选：D. 4．(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边过点，所以， 故选：A. 知识点03 正切函数诱导公式 正切函数的诱导公式（其中是使等式两边都有意义的任意实数）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【即学即练】 5．(24-25高一下·河南驻马店·期末)（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 6．(21-22高一下·辽宁六校协作体·期中)的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解. 【详解】解：. 故选：A. 知识点04 正切函数的图像与性质 1.正切函数图像 （1）函数图像 （2） 正切函数的图象称作 正切曲线 ，正切曲线各支的渐近线方程为 。 【注意】③ 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴。 2.正切函数性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间 上都是增函数 对称性 对称中心为 零点 【即学即练】 7．(24-25高一下·江西萍乡·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，故. 故选：B. 8．(25-26高一上·山东济南西城实验中学·月考)下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式及正弦函数和正切函数的单调性可得， 【详解】对于A，正弦函数在上单调递增，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C ，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A 知识点05 正切型函数的性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 当时，函数具有奇偶性：若，则，为奇函数；若，则，为奇函数；一般情况下，函数不具有奇偶性 单调性 对称性 零点 【即学即练】 9．(25-26高一上·河南豫北名校·)函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数的单调性求解即可 【详解】令 ，得 ， 故 的单调递增区间为 ， 令,则函数 的一个单调递增区间是. 故选：B 10．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调性、对称中心、周期、对称轴逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数，因为在每个单调区间是递增的， 所以在每个单调区间是递减的，故A错误； 对于B，令，得，所以函数的对称中心的集合是，故B错误； 对于C，函数的周期为，所以直线与函数图像的两个相邻交点之间的距离是，故C错误； 对于D，由于的对称轴是. 令，得，D正确. 故选：D. 题型01 利用终边上的点求角的正切值 【典例1】(24-25高二·云南·期末)已知点是角终边上的点，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义直接求解. 【详解】依题意，. 故选：B 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求． 【详解】∵角的终边与单位圆交于点， ∴， 则. 故选：B． 【变式2】(23-24高一上·浙江杭州第四中学（下沙校区）·期末)已知点是角终边上的一点，且，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】由点是角终边上的一点， 所以，所以， 故选：D 【变式3】(24-25高一上·福建龙岩第一中学·月考)已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求出，相减即得． 【详解】角终边与单位圆交于点，则，. . 故选：A. 【变式4】(20-21高一·7.1正切函数的定义7.2正切函数的诱导公式课后习题·)已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为（　　） A． B．- C． D．- 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求的值. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点，所以. 故选：A 题型02 正切函数的诱导公式 【典例1】(24-25高一下·河南部分学校·期中)已知角θ的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义法求出，再用诱导公式化简代入即可求解. 【详解】依题意，角的终边经过点，则， 于是. 故选：C. 【变式1】(24-25高一下·河南南阳六校联盟体·期中)计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】. 故选：A 【变式2】(24-25高三上·安徽A10联盟·)若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】C 【分析】根据诱导公式可得，化弦为切即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故选: . 【变式3】(23-24高二上·云南迪庆州·期末)（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式与特殊角的三角函数值可得. 【详解】. 故选：D. 【变式4】的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：A 题型03 求正切（型）/含正切函数的定义域 【典例1】(25-26高一上·天津第九十五中学·)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 【变式1】(24-25高一下·江西九师联盟·)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 【变式2】(24-25高一上·浙江宁波九校·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 【变式3】(21-22高一上·浙江温州·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【详解】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 【变式4】(20-21高一·广西南宁东盟中学·月考)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，有，即，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：B. 题型04 求正切（型）函数的最值/值域或参数 【典例1】(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的单调性可得在处取得最小值. 【详解】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增， 所以其最小值为. 故选：D 【变式1】(23-24高一下·江西多校联考·月考)函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 【变式2】(22-23高一·江西南昌第二中学·期中)若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得在的取值范围，进而得到的大小顺序. 【详解】当时，，， 则，则 故选：C 【变式3】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于， 在上为增函数，从而可求得函数的值域 【详解】，且函数在上为增函数， ∴． 即． 故选：C． 【变式4】(22-23高二下·湖南新高考教学教研联盟·)若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，则，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 题型05 正切（型）函数的周期及运用 【典例1】(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期性求解最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：C. 【变式1】(24-25高一上·福建莆田第六中学·期末)函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的最小正周期公式计算可得. 【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为. 故选：D. 【变式2】若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 故选：C. 【变式3】(23-24高一下·内蒙古包头·期末)设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数周期及解析式求值即可. 【详解】由周期为可得， ， 故选：D 【变式4】若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由函数是周期为3的周期函数，计算的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，， ， 所以． 故选：B. 题型06 正切（型）函数的奇偶性及运用 【典例1】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 【变式1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】设，定义域为，关于原点对称， 则，故是奇函数， 从而，即， 即. 故选：A 【变式2】(19-20高一上·江西南昌第十八中学·期末)若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算得出，进而可得出的值. 【详解】因为，则， 由于，因此，. 故选：B. 【变式3】函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 【变式4】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义，依次判断各选项即可得解. 【详解】各函数的定义域均关于原点对称， 对于A，，故为奇函数； 对于B，，故为偶函数； 对于C，，故为非奇非偶函数； 对于D，，故为奇函数. 故选：B 题型07 求正切（型）函数的单调性 【典例1】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 【变式1】下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 【变式2】把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质可得，进而利用整体法即可求解. 【详解】由题意可得， 令，解得， 故单调递增区间为， 故选：A 【变式3】若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 【变式4】(24-25高三下·陕西榆林·三模)函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. 题型08 利用正切（型）函数单调性求参数 【典例1】(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 【变式1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 【变式2】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题在上单调，结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由的定义域为， 时，， 结合正切函数的单调性可知， 解得， 由可知， 由可知，即， 即，而，故只能为0或1， 时，结合可知；时，， 于是. 故选：D 【变式3】(24-25高一上·山西运城·期末)若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 【变式4】已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 题型09 比较正切值大小 【典例1】(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合三角函数的单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由正弦函数性质得在上单调递减， 则，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得， ，则，故B错误， 对于C，由诱导公式得， 且在上单调递减， 得到，即，故C正确； 对于D，由正切函数性质结合诱导公式得， ，得到，故D错误. 故选：C 【变式1】(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【答案】B 【分析】由题意根据三角函数的性质逐一分析即可. 【详解】锐角满足，又在上单调递增， 所以， 对于：在上单调递减，所以，故错误； 对于：在上单调递增，所以，故正确； 对于：，由不等式的性质可得，故错误. 故选：. 【变式2】(24-25高一下·北京第一六一中学·月考)下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项由诱导公式化简，由在一象限，得出判断；B选项由诱导公式化简，由余弦函数在的单调性得出判断；C选项由正切函数在的单调性得出判断；D选项由正余弦函数在的单调性分别判断，与，的大小，然后得出判断. 【详解】A选项：∵，且，∴，∴，A选项错误； B选项：，又∵，∴，B选项正确； C选项：∵，∴，C选项错误； D选项：∵，∴，，且， ∴，D选项错误. 故选：B. 【变式3】(23-24高一下·陕西韩城·期中)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可得，又由从而得出的大小关系，得出答案. 【详解】因为，即，所以 又， ，所以 所以 故选：C 【变式4】(23-24高一下·北京门头沟区大峪中学·期中)比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式得，然后由正切函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：D 题型10 解正切不等式 【典例1】(23-24高一下·广西钦州·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【变式1】(22-23高一下·贵州遵义·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像和周期性直接求解. 【详解】由题意得，， 得. 故选：C 【变式2】(22-23高一下·安徽阜南县阜南县王店孜乡亲情学校·月考)满足的x的取值范围是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据正切函数的单调性进行求解即可. 【详解】由，， 故选：D 【变式3】(22-23高一上·云南昆明嵩明县·期末)已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将转化为或，利用数形结合法求解. 【详解】解：等价于或， 如图所示： 由正切函数图象知， 故选：B． 【变式4】不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 1．(24-25高一上·广东揭阳第一中学·)已知点是角终边上的一点，则 . 【答案】 【分析】由任意角的三角函数定义可得答案. 【详解】因点是角终边上的一点， 则， . 故答案为： 2．已知角的终边与单位圆交于点，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数定义即可求得. 【详解】根据三角函数的定义，. 故选：A. 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 4．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用诱导公式化简，结合三角函数定义可解. 【详解】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 5．(24-25高一下·陕西汉中部分学校·)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于不等式求解即可. 【详解】由，可得． 所以函数的定义域为. 故选：A. 6．(24-25高一下·四川广安友谊中学·月考)函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的定义域和整体角意识解不等式即得. 【详解】因函数的定义域为， 故由，可解得， 即函数的定义域是. 故选：C. 7．(22-23高三上·江苏南京师范大学附属中学江宁分校等2校·期末)已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域、值域即可求解. 【详解】因为单调递增，所以， 所以, 又由解得，所以， 所以 ， 故选:C. 8．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故选：A． 9．函数的值域是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的性质，结合的取值范围即可求解． 【详解】当时，，∴；当时，， ∴，∴当时，函数的值域为． 故选：B 10．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】的最小正周期， 故选：C 11．(25-26高三上·云南昆明第一中学·)函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得. 故选：C 12．(24-25高一下·辽宁实验中学·月考)下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项判断. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A不是； 对于B，函数是偶函数，B不是； 对于C，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，函数，所以为奇函数，且最小正周期为，D是. 故选：D 13．(22-23高一上·浙江杭州源清中学·期末)已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可. 【详解】设， 因为， 所以函数是奇函数， 因此， 故选：A 14．(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·三模)已知函数，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，且函数在上单调递增，由，得，得进行求解即可． 【详解】因为， 且， 所以函数为奇函数， 而在上单调递增，在上单调递增， 则函数在上单调递增， 由，得， 得，得， 得， 故选：A 15．(24-25高一下·江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学·月考)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，当时，，所以单调递增，故B错误； 对C：的最小正周期为，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 16．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 17．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 【答案】A 【分析】根据函数经过的点，求得，，再由的单调性确定，即得. 【详解】因函数经过点，，则得，因，解得； 又，则得，解得，. 又由可得， 因函数在单调递增，则，解得， 故，经检验此时满足题意，. 故选：A. 18．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 19．(22-23高一下·江苏镇江丹阳高级中学·月考)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】D 【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案. 【详解】A：因为， 所以函数的最小正周期，故A正确. B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确. C：由，， 得，， 当时，， 所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确. D：因为， ， 所以，故D不正确. 故选：D. 20．(24-25高一下·江西多校联考·)已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的周期确定的值，再结合正切函数的图象解不等式即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得. 所以， 由得，得， 解得. 故选：A 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 正切函数 教学目标 1.理解任意角的正切函数定义，会根据终边上一点的坐标求正切值，并能利用定义进行化简求值； 2.掌握正切函数的诱导公式及其推导与应用；能借助单位圆中的正切线画出的图象； 3.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，并能利用其性质解决相关问题。 教学重难点 1.重点 （1）正切函数的定义、诱导公式及其应用； （2）正切函数的图象绘制与核心性质（定义域、周期性、单调性）的理解与应用。 2.难点 （1）正切函数诱导公式的推导与灵活运用； （2）正切函数定义域的限制及图象的渐近线特征，以及在区间内单调性的深入理解。 知识点01 正切函数的定义 比值______是的函数，称为的正切函数，记作其中定义域为______；正切函数是______，______是它的最小正周期，正切函数是______（奇偶性）。 角在各象限所对的正弦值的符号： 象限 一 二 三 四 ______ ______ ______ ______ 【即学即练】 1．已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 2．若且，则的终边所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点02 正切函数的定义拓展 如图所示，在角的终边上异与原点的一点，则______ 【即学即练】 3．(24-25高一下·陕西汉中十校联考·期末)已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·新疆吐鲁番·期末)已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 知识点03 正切函数诱导公式 正切函数的诱导公式（其中是使等式两边都有意义的任意实数）： （1） （2） （3）______ （4） （5） （6） 【即学即练】 5．(24-25高一下·河南驻马店·期末)（   ） A． B． C．1 D． 6．(21-22高一下·辽宁六校协作体·期中)的值为（    ） A． B． C． D． 知识点04 正切函数的图像与性质 1.正切函数图像 （1）函数图像 （2） 正切函数的图象称作______，正切曲线各支的渐近线方程为______。 【注意】③ 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴。 2.正切函数性质 函数 定义域 ______ 值域 ______ 最小正周期 ______ 奇偶性 ______ 单调性 在开区间____________上都是增函数 对称性 对称中心为______ 零点 ______ 【即学即练】 7．(24-25高一下·江西萍乡·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·山东济南西城实验中学·月考)下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 正切型函数的性质 函数 定义域 ______ 值域 ______ 最小正周期 ______ 奇偶性 当______时，函数具有奇偶性：若______，则，为奇函数；若______，则，为奇函数；一般情况下，函数不具有奇偶性 单调性 ______ 对称性 ______ 零点 ______ 【即学即练】 9．(25-26高一上·河南豫北名校·)函数 的一个单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 10．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间是（） B．函数图像对称中心的集合是 C．对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是 D．函数的对称轴是直线， 题型01 利用终边上的点求角的正切值 【典例1】(24-25高二·云南·期末)已知点是角终边上的点，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24高一上·浙江杭州第四中学（下沙校区）·期末)已知点是角终边上的一点，且，则的值为（     ） A． B． C．1 D． 【变式3】(24-25高一上·福建龙岩第一中学·月考)已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(20-21高一·7.1正切函数的定义7.2正切函数的诱导公式课后习题·)已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为（　　） A． B．- C． D．- 题型02 正切函数的诱导公式 【典例1】(24-25高一下·河南部分学校·期中)已知角θ的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·河南南阳六校联盟体·期中)计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高三上·安徽A10联盟·)若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【变式3】(23-24高二上·云南迪庆州·期末)（    ） A． B． C． D． 【变式4】的值是（    ） A． B． C． D． 题型03 求正切（型）/含正切函数的定义域 【典例1】(25-26高一上·天津第九十五中学·)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·江西九师联盟·)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一上·浙江宁波九校·期末)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】(21-22高一上·浙江温州·期末)函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【变式4】(20-21高一·广西南宁东盟中学·月考)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型04 求正切（型）函数的最值/值域或参数 【典例1】(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)函数在上的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】(23-24高一下·江西多校联考·月考)函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(22-23高一·江西南昌第二中学·期中)若，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4】(22-23高二下·湖南新高考教学教研联盟·)若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型05 正切（型）函数的周期及运用 【典例1】(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1】(24-25高一上·福建莆田第六中学·期末)函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【变式2】若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【变式3】(23-24高一下·内蒙古包头·期末)设函数是以π为最小正周期的周期函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 题型06 正切（型）函数的奇偶性及运用 【典例1】若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 【变式2】(19-20高一上·江西南昌第十八中学·期末)若函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式4】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型07 求正切（型）函数的单调性 【典例1】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【变式1】下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】把函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的单调区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4】(24-25高三下·陕西榆林·三模)函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 题型08 利用正切（型）函数单调性求参数 【典例1】(25-26高三上·吉林长春德惠实验中学等校·)已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一上·山西运城·期末)若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型09 比较正切值大小 【典例1】(24-25高一下·北京清华附中学院路学校·期中)下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)若锐角满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D．以上说法均不对 【变式2】(24-25高一下·北京第一六一中学·月考)下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(23-24高一下·陕西韩城·期中)已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高一下·北京门头沟区大峪中学·期中)比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 题型10 解正切不等式 【典例1】(23-24高一下·广西钦州·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】(22-23高一下·贵州遵义·期中)不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(22-23高一下·安徽阜南县阜南县王店孜乡亲情学校·月考)满足的x的取值范围是（    ） A． B． C．， D．， 【变式3】(22-23高一上·云南昆明嵩明县·期末)已知，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】不等式，的解集为 . 1．(24-25高一上·广东揭阳第一中学·)已知点是角终边上的一点，则 . 2．已知角的终边与单位圆交于点，则(　　) A． B． C． D． 3．(24-25高一下·上海南汇中学·期中)（）是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．(23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末)已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·陕西汉中部分学校·)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·四川广安友谊中学·月考)函数的定义域是（    ） A．R B． C． D． 7．(22-23高三上·江苏南京师范大学附属中学江宁分校等2校·期末)已知集合则（   ） A． B． C． D． 8．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的值域是 A． B． C． D． 10．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 11．(25-26高三上·云南昆明第一中学·)函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 12．(24-25高一下·辽宁实验中学·月考)下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 13．(22-23高一上·浙江杭州源清中学·期末)已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 14．(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·三模)已知函数，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一下·江苏苏州工业园区南京航空航天大学苏州附属中学·月考)下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 16．(24-25高一上·河南豫东名校·期末)若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 18．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 19．(22-23高一下·江苏镇江丹阳高级中学·月考)已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 20．(24-25高一下·江西多校联考·)已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $