第1章 6.1 探究ω对y＝ sin ωx的图象的影响-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 1 理解y＝ sin ωx中ω对图象的影响；掌握y＝ sin x与y＝ sin ωx图象间的变换关系（数学抽象、直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　前面我们学习了“五点法”作正、余弦函数的图象，请用“五点法” 在同一平面直角坐标系下画出y＝ sin x，y＝ sin x，y＝ sin 2x的图象. 【问题】　你能说出它们之间的关系吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　ω对y＝ sin ωx的图象的影响 1. 对于ω＞0，有 sin ωx＝ sin （ωx＋2π）＝ sin ω . 根据周期函数的定义，T＝ 是函数y＝ sin ωx的最小正周期. 通常称周期的倒数 ＝ 为 ⁠. 2. 函数y＝ sin ωx的图象是将函数y＝ sin x图象上所有点的横坐标 ⁠ 到原来的 （当ω＞1时）或 （当0＜ω＜1时）到原来 的 倍（纵坐标不变）得到的. 　 频率　 缩 短　 伸长　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍， 得到图象的解析式为y＝ sin x. （　√　） （2）ω的大小与函数的周期有关. （　√　） √ √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 要得到y＝ sin 2x的图象，只需把y＝ sin x的图象上的所有点（　　） A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变 解析：ω从 变为2，三角函数周期变为原来的 ，故y＝ sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到y＝ sin 2x的图象，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝ sin 3x的最小正周期为 ⁠. 解析：由正弦函数的周期公式得T＝ ，所以函数y＝ sin 3x的最小正周 期为 . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝ sin 2x的简图，并指出这个函数的周 期，频率. 解：（1）列表： x 0 ​ ​ ​ π 2x 0 ​ π ​ 2π y 0 1 0 －1 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0）， ， ， ，（π，0）. （3）连线：将所得五点用光滑曲线连起来，如图. （4）这样就得到函数y＝ sin 2x在一个周期内的图象.周期T＝π.频率 ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 “五点法”作函数图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别 找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位 置和形状.连线要保持光滑，注意凹凸方向； （2）五个关键点的确定：使函数中ωx取0， ，π， ，2π，然后求出相 应的y值，再作出图象. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 用“五点法”作函数y＝ sin x的简图，并指出这个函数的周期和频率. 解：（1）列表： x 0 ​ 3 ​ 6 x 0 ​ π ​ 2π y 0 1 0 －1 0 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0）， ，（3，0）， ，（6，0）； （3）连线：用平滑曲线顺次连接，所得图象如图所示.周期T＝6，频率 ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜图象周期变换 【例2】　（1）函数y＝ cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原 来的2倍，得到图象的解析式为y＝ cos ωx，则ω的值为（　B　） A. 2 B. C. 4 D. 解析：由题意知 ＝2，即ω＝ . （2）将函数y＝ sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不 变）而得到的函数解析式为 ⁠. B 解析：设所得到的函数解析式为y＝ sin ωx（ω＞0），则 ＝ ，即ω＝ 4，故所求函数解析式为y＝ sin 4x. y＝ sin 4x 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　参数ω对y＝ sin ωx图象与性质的影响 （1）ω（ω＞0）影响函数y＝ sin ωx的周期； （2）y＝ sin ωx（ω≠1）与y＝ sin x的图象形状不同，此变换称为横向伸 缩变换.即y＝ sin x的图象 y＝ sin ωx的图象. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 把y＝ sin x图象的周期变为原来的 倍得到的函数的解析式是 ⁠ ⁠. 解析：由题意得所求为y＝ sin ＝ sin x. 2. 将函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不 变）而得到的函数解析式为 ⁠. 解析：由题意得所求为y＝ cos ＝ cos x. y＝ sinx y＝ cos x 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜函数y＝ sin ωx（ω＞0）的性质 角度1　函数y＝ sin ωx的周期性、奇偶性和对称性 【例3】　（1）函数y＝ sin 2x的图象的对称轴方程为 ⁠ ，对称中心为 ，奇偶性为 ⁠ ⁠； x＝ π＋ （k∈Z） （k∈Z） 奇函数 解析：由2x＝ ＋kπ（k∈Z）得x＝ ＋ π（k∈Z），∴函数y＝ sin 2x 的对称轴方程为x＝ ＋ π（k∈Z）.由2x＝kπ（k∈Z），得x＝ π， ∴函数y＝ sin 2x的对称中心为 （k∈Z）.∵ sin （－2x）＝－ sin 2x，∴函数y＝ sin 2x为奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 ②函数y＝ cos x的周期T＝ ＝6. （2）求下列函数的周期： ①y＝ sin x；②y＝ cos x. 解：①函数y＝ sin x的周期T＝ ＝16π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　函数y＝ sin ωx的单调性、最值 【例4】　（1）求函数y＝ sin x的单调区间； 解：由2kπ－ ≤ x≤2kπ＋ ， 得4kπ－π≤x≤4kπ＋π（k∈Z）， 由2kπ＋ ≤ x≤2kπ＋ ， 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π（k∈Z）， 故y＝ sin 的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]（k∈Z）， 单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]（k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数y＝ sin x取得最大值时对应的x的集合. 解：当 x＝2kπ＋ ，即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymax＝1， 故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 关于函数y＝ sin ωx的性质 （1）周期T＝ ； （2）解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法， 令u＝ωx，结合该函数的性质求解； （3）奇偶性，利用定义f（－x）＝ sin （－ωx）＝－ sin ωx＝－f （x），则f（x）为奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝ sin x. （1）求f（x）的周期，频率； 解：T＝ ＝4. ＝ . （2）求f（x）的单调递增区间； 解：令2kπ－ ≤ x≤2kπ＋ ，得4k－1≤x≤4k＋1，∴单调递增区间为 [4k－1，4k＋1]，k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）求f（x）的对称轴. 解：令 x＝kπ＋ ，得x＝2k＋1， ∴对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 为了得到函数y＝ sin x的图象，需将函数y＝ sin x的图象（　　） A. 纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变 B. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 C. 横坐标变为原来的 ，纵坐标不变 D. 纵坐标变为原来的 ，横坐标不变 解析：　将函数y＝ sin x的图象横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，即 可得到函数y＝ sin x的图象，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ sin 6x是（　　） A. 最小正周期为 的偶函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为π的奇函数 解析：　f（x）＝ sin 6x，f（－x）＝ sin （－6x）＝－ sin 6x，故f （x）为奇函数，最小正周期T＝ ＝ ，故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 利用“五点法”作函数y＝ sin 3x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点 的横坐标分别为 ⁠. 4. 函数y＝ sin 3x＋1的值域为 ， 单调递增区间为 .⁠ 0， ， ， ， 解析：∵－1≤ sin 3x≤1，∴0≤ sin 3x＋1≤2，即函数y＝ sin 3x＋1的值 域为[0，2]，由－ ＋2kπ≤3x≤ ＋2kπ，得－ ＋ kπ≤x≤ ＋ kπ， ∴函数y＝ sin 3x＋1的单调递增区间为［－ ＋ kπ， ＋ kπ］，k∈Z. [0，2] ，k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 函数y＝ sin x，x∈[－π，3π]的图象是（　　） √ 解析：　由函数y＝ sin x的图象过原点，排除C、D，又当x＝－π时，y ＝－1＜0，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 30 2. 函数f（x）＝ sin x的图象可以看成是由g（x）＝ sin 3x的图象按下列 哪种变换得到（　　） A. 纵坐标不变，横坐标伸长原来的3倍 B. 纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 C. 横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍 D. 横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍 解析：　函数g（x）＝ sin 3x的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3 倍，可得到f（x）＝ sin x的图象. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝ sin 的频率是（　　） A. 6 B. C. －6 D. － 解析：由题意得T＝ ＝6，∴频率为 ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若函数y＝ sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－ ， ）上只有一条对称 轴，则ω的取值范围为（　　） A. 1＜ω≤ B. ＜ω≤3 C. 3≤ω＜4 D. ≤ω＜ 解析：　因为函数y＝ sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－ ， ）上只有 一条对称轴，所以函数的对称轴只能是ωx＝－ ，因此有 解得 ＜ω≤3，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为 ，则ω＝（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 解析：　因为函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为 ，又T＝ ，所以ω＝ ＝ ＝4，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕函数f（x）＝ sin （2x－ ）（x∈R）的图象的一条对称轴 可以是（　　） A. x＝ B. x＝ C. x＝ D. x＝－ 解析：令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，当k＝0时，x＝ ，故C选项正确；当k＝－1时，x＝－ ，故D选项正确.故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 若x∈ ，则函数y＝3 sin 2x的最大值为 ，此时x的值 为 ⁠. 解析：当 sin 2x＝1时，ymax＝3，由 sin 2x＝1，x∈ 知2x＝ ，x ＝ . 3 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 设函数f（x）＝x3 cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝ ⁠. 解析：因为f（a）＝a3 cos a＋1＝11，所以a3 cos a＝10，所以f（－a） ＝－a3 cos （－a）＋1＝－a3 cos a＋1＝－9. －9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知f（n）＝ sin （n∈Z），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025） ＝ ⁠. 解析：f（1）＋f（2）＋…＋f（8）＝0，f（9）＋f（10）＋…＋f （16）＝0，依此循环，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝0＋f（2 025）＝f（1）＝ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 求函数y＝ sin x的周期，怎样由y＝ sin x的图象得到y＝ sin x的 图象？ 解：周期T＝ ＝ ，把y＝ sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变就得到y＝ sin x的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕函数f（x）＝ cos ，下列说法正确的是（　　） A. y＝f（x）是奇函数 B. y＝f（x）的周期为π C. y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称 D. y＝f（x）的最大值为1 解析：由f（x）＝ cos ＝－ sin 2x，由函数性质知A、B、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕将函数y＝ sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐 标不变），则所得图象对应的函数的单调递增区间为（　　） A. （－ ， ） B. （－ ， ） C. （－ ， ） D. （ ， ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin 2x的图象. 令2kπ－ ≤2x≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin 2x的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］ （k∈Z）.结合选项可知，当k＝0，1时，函数y＝ sin 2x在区间（－ ， ），（ ， ）上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0），满足f ＝f ，且在 内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω＝ ⁠. 解析：由题意及正弦函数的图象及性质，可得函数f（x）＝ sin ωx（ω＞ 0）的最小正周期为 ，即T＝ ＝ ，可得ω＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ sin 2x. （1）求函数f（x）的单调递增区间； 解：令2kπ－ ≤2x≤2kπ＋ ， ∴kπ－ ≤x≤kπ＋ . 故单调递增区间为 ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求函数f（x）在区间 上的最值. 解：令μ＝2x，∵x∈ ， ∴－ ≤μ≤π，∴－ ≤ sin μ≤1， ∴f（x）max＝1，f（x）min＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 若函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单调递减，则ω的 取值范围是（　　） A. 0≤ω≤ B. 0≤ω≤ C. ≤ω≤3 D. ≤ω≤3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　法一　∵f（x）＝ sin ωx（x＞0）在［ ， ］上单调递减， ∴ 解得 ＋6k≤ω≤3＋4k，k∈Z，∵ ＋6k≤3＋ 4k，即k≤ ，又ω＞0，∴取k＝0，则 ≤ω≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 法二　令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得 ＋ ≤x≤ ＋ （k∈Z）.∵函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单调递 减，可令 解得 ≤ω≤4k＋3，k∈Z， ∵ ≤4k＋3，得k≤ ，又ω＞0， ∴取k＝0，∴ ≤ 且 ≥ ，∴ ≤ω≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋1. （1）当x＝ 时，求f（x）的值； 解：当x＝ 时，f（x）＝2 sin （2× ＋ ）＋1＝2 sin 3π＋1＝2 sin π＋1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若存在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b），使得y＝f（x）在区 间[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的区间[a，b]中，求b－ a的最小值. 解：f（x）＝0⇒ sin （2x＋ ）＝－ ⇒x＝kπ－ ，k∈Z或x＝kπ－ π，k∈Z， 即函数f（x）的零点间隔依次为 和 . 故若y＝f（x）在[a，b]上至少含有6个零点， 则b－a的最小值为2× ＋3× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $