第1章 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 1 1.会用“五点法”画余弦函数的图象（数学抽象、直观想象）. 2.掌握余弦函数的图象与性质及应用（数学运算、直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　某港口的水深y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函 数，根据有关数据描出曲线，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝ cos t 的图象. 【问题】　你能类比正弦函数的性质，总结出余弦函数的相关性质吗？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　余弦函数的图象 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝ cos x 定义域 ⁠ 最大值与 最小值 当x＝ （k∈Z）时，最大值为1； 当x＝ （k∈Z）时，最小值为－1 值域 ⁠ 周期性 以2kπ为周期（k∈Z，k≠0）， ⁠为最小正周期 R 2kπ　 2kπ＋π　 [－1，1] 2π　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 单调性 在区间 （k∈Z）上单调递增； 在区间 （k∈Z）上单调递减 奇偶性 ⁠ 对称轴 x＝ ⁠ 对称中心 ⁠ [2kπ－π，2kπ]　 [2kπ，2kπ＋π]　 偶函数 kπ，k∈Z　 ，k∈Z 数学·必修第二册（BSD） 目 录 　　提醒：（1）余弦函数有单调区间，但不是定义域上的单调函数，即 余弦函数在整个定义域内不单调；（2）余弦函数图象的对称轴一定过余 弦函数图象的最高点或最低点，即此时的余弦值取最大值或最小值； （3）利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小，必须先看两角 是否同属于这一函数的同一单调区间，若不属于，先化至同一单调区间 内，再比较大小. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝ cos x的图象与y轴只有一个交点. （　√　） （2）将余弦曲线向右平移 个单位长度就得到正弦曲线. （　√　） （3）函数y＝2 cos x是偶函数. （　√　） （4）函数y＝ cos x的最小正周期是π. （　×　） √ √ √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 在同一平面直角坐标系内，函数y＝ cos x，x∈[0，2π]与y＝ cos x， x∈[2π，4π]的图象（　　） A. 重合 B. 形状相同，位置不同 C. 关于y轴对称 D. 形状不同，位置不同 解析：　根据余弦曲线的作法可知函数y＝ cos x，x∈[0，2π]与y＝ cos x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，形状相同. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝－ cos x在区间 上是（　　） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 解析：　因为y＝ cos x在区间 上先增后减，所以y＝－ cos x在 区间 上先减后增. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 角度1　“五点法”作余弦函数的图象 【例1】　画函数y＝2 cos x＋3，x∈[0，2π]的图象. 解：（1）列表： x 0 ​ π ​ 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 y＝2 cos x＋3 5 3 1 3 5 题型一｜余弦函数的图象及应用 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示. （2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，5）， ，（π，1）， ，（2π，5）五个点. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　用五点法画函数y＝A cos x＋b（A≠0），x∈[0，2π]的图象的步骤 （1）列表： x 0 π 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 y＝A cos x＋b A＋b b －A＋b b A＋b （2）描点：在平面直角坐标系中描出（0，A＋b）， ，（π，－ A＋b）， ，（2π，A＋b）五个点； （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　根据余弦函数的图象求角的范围 【例2】　利用余弦函数的图象，求满足 cos x≤ 的x的集合. 解：作出余弦函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为［ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 用余弦函数图象解不等式的步骤 （1）作出余弦函数在区间[0，2π]上的图象； （2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； （3）根据余弦函数周期确定取值范围. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 满足 cos x＞0，x∈[0，2π]的x的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：画出函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示.由图象，可知满足 cos x＞0，x∈[0，2π]的x的取值范围为［0， ）∪（ ，2π］. ［0， ）∪（ ，2π］ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 作出函数y＝－ cos x＋1，x∈[0，2π]的图象. 解：（1）列表： x 0 ​ π ​ 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 y＝－ cos x＋1 0 1 2 1 0 （2）描点：在坐标系中描出点（0，0）， ，（π，2）， ，（2π，0）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜余弦函数的单调性及应用 【例3】　（1）求函数y＝1－ cos x的单调区间； 解：因为y＝ cos x在[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）上单调递增，在 [2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）上单调递减， 所以y＝1－ cos x的单调递减区间是[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z），单调 递增区间是[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）比较大小： cos 与 cos . 解： cos ＝ cos ＝ cos ， cos ＝ cos ＝ cos . 因为函数y＝ cos x在[0，π]上单调递减， 且0＜ ＜ ＜π，所以 cos ＞ cos ， 即 cos ＞ cos . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 1. 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图象并类比正弦函数的相关 性质进行记忆，其解题方法与正弦函数的对应性质解题方法一致. 2. 单调性是对一个函数的某个区间而言的，不在同一单调区间内时，应先 用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性 比较大小. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝1－2 cos x的单调递增区间是 ⁠. 解析：由于y＝ cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），所以函 数y＝1－2 cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）. [2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 比较大小 cos π cos . 解析：由于 cos π＝ cos ＝ cos ， cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ， y＝ cos x在[0，π]上单调递减. 由 ＜ 知 cos ＞ cos ， 即 cos π＜ cos . ＜ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜与余弦函数有关的奇偶性及周期性 角度1　奇偶性的判断 【例4】　判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x cos x； 解：定义域为R，且f（－x）＝－x· cos （－x）＝－x cos x＝－f （x），因此函数f（x）是奇函数. （2）f（x）＝ sin cos . 解：定义域为R，且f（－x）＝ sin · cos ＝－ sin cos ＝－f（x）， 因此函数f（x）是奇函数. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 判断与余弦函数有关奇偶性的方法 （1）判断函数的奇偶性时，必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果 是，再验证f（－x）是否等于－f（x）或f（x），进而判断函数的奇偶 性；如果不是，那么该函数既不是奇函数，也不是偶函数. （2）判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时，需注意诱导公式的合理 运用. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 角度2　求函数的周期 【例5】　函数f（x）＝3 cos πx的最小正周期是 ⁠. 解析：∀x∈R，存在一个非零常数2，使得f（x＋2）＝3 cos [π（x＋2）] ＝3 cos （πx＋2π）＝3 cos πx＝f（x），故T＝2为f（x）的一个周期， 那么2k（k∈Z）是f（x）的周期，则当k＝1时，T＝2为f（x）的最小 正周期. 2 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求周期函数的最小正周期的注意事项 （1）周期函数的周期不唯一.如果T是函数f（x）的周期，那么kT （k∈Z且k≠0）也是函数的周期，若周期函数f（x）的所有周期中存在 一个最小的正数，那么该最小正数叫作f（x）的最小正周期； （2）不是所有周期函数都有最小正周期，如f（x）＝c（c为常数）就不 存在最小正周期. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝－x cos x的部分图象是下图中的（　　） 解析：　因为函数y＝－x cos x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除 A、C；当x∈（0， ）时，y＝－x cos x＜0，故排除B，选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）的定义域为R，最小正周期为 ，且满足f（x）＝ 则f（－ ）＝ 　－ 　. 解析：f（－ ）＝f（－ ＋ ×3）＝f（ ）＝ cos ＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型四｜与余弦函数有关的最值问题 【例6】　（1）设M和m分别是函数y＝ cos x－1的最大值和最小值，则 M＋m＝ ⁠； 解析：因为 cos x∈[－1，1]，所以M＝ ×1－1＝－ ，m＝ ×（－1） －1＝－ ，所以M＋m＝－ － ＝－2. （2）函数y＝ cos 2x－4 cos x＋5的值域为 ⁠. －2 解析：令t＝ cos x，则－1≤t≤1.所以y＝t2－4t＋5＝（t－2）2＋1，所 以t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.所以函数y＝ cos 2x－4 cos x＋5的值域为[2，10]. [2，10] 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 求余弦函数值域的常用方法 （1）求解形如y＝a cos x＋b的函数的最值或值域问题时，利用余弦函数 的有界性（－1≤ cos x≤1）求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集 合时，要注意考虑余弦函数的周期性； （2）求解形如y＝a cos 2x＋b cos x＋c，x∈D的函数的值域或最值时， 通过换元，令t＝ cos x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求 值域或最值即可.求解过程中要注意t＝ cos x的有界性. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 函数y＝ cos x 的最小值、最大值分别为（　　） A. 0，1 B. －1，1 C. － ，1 D. －1， 解析：　由y＝ cos x 的图象（如图） 可知，当x＝ 时，y＝ cos x有最大值 ；当x＝π 时，y＝ cos x有最小值－1.故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 用“五点法”作y＝3 cos 2x的简图时，五个关键点的横坐标是（　　） A. 0， ，π， π，2π B. 0， ， ， π，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ， 解析：令 2x＝0， ，π， π，2π，得x＝0， ， ， π，π，故选B. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝ cos x－2在x∈[－π，π]上的图象是（　　） 解析：把y＝ cos x，x∈[－π，π]的图象向下平移2个单位长度即可. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 函数y＝ sin 的奇偶性是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 解析：因为y＝ sin ＝ cos x，所以该函数是偶函数. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝ cos （－x），x∈[0，2π]的单调递减区间是 ⁠. 解析：y＝ cos （－x）＝ cos x，当x∈[0，2π]时，其单调递减区间为 [0，π]. 5. 函数y＝ cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标 为 ⁠. 解析：作出函数y＝ cos x＋4，x∈[0，2π]的图象（图略），容易发现它 与直线y＝4的交点坐标为 ， . [0，π] ， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 下列函数中，周期为 的是（　　） A. y＝ cos 4x B. y＝ sin 2x C. y＝ cos D. y＝ sin 解析：　对于A，周期为 ；对于B，周期为π；对于C，周期为8π；对于 D，周期为4π.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 函数y＝－ cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（　　） A. B. （π，1） C. （0，1） D. （2π，1） √ 解析：　用五点作图法作出函数y＝－ cos x在（0，2π]上的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 从函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象来看，满足 cos x＝－ 的x的个 数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　先画出函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的简图，再画出直线y＝ － （图略），可得有两个交点，即满足 cos x＝－ ，x∈[0，2π]的 x有2个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 函数y＝｜ cos x｜－1的最小正周期是（　　） A. 2kπ（k∈Z） B. 3π C. π D. 2π 解析：　∵函数y＝｜ cos x｜－1的周期同函数y＝｜ cos x｜的周期一 致，由函数y＝｜ cos x｜的图象知其最小正周期为π，∴y＝｜ cos x｜－1 的最小正周期也是π，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 函数y＝｜ cos x｜的一个单调减区间是（　　） A. B. C. D. √ 解析：　函数y＝｜ cos x｜的图象如图所示，由图象知在 上y＝｜ cos x｜单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕关于三角函数的图象，下列命题正确的是（　　） A. y＝ sin ｜x｜与y＝ sin x的图象关于y轴对称 B. y＝ cos （－x）与y＝ cos ｜x｜的图象相同 C. y＝｜ sin x｜与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称 D. y＝ cos x与y＝ cos （－x）的图象关于y轴对称 解析：对B，y＝ cos （－x）＝ cos x，y＝ cos ｜x｜＝ cos x，故其图象相同；对D，y＝ cos （－x）＝ cos x，故其图象关于y轴对称，由作图（图略）可知A、C均不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知函数y＝3 cos （π－x），则当x＝ 时，函数取 得最大值，当x＝ 时，函数取得最小值. 解析：y＝3 cos （π－x）＝－3 cos x，当 cos x＝－1，即x＝2kπ＋π，k∈Z时，y有最大值3；当 cos x＝1，即x＝2kπ，k∈Z时，y有最小值－3. 2kπ＋π，k∈Z 2kπ，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 函数y＝ cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：因为y＝ cos x在区间[－π，0]上单调递增，在区间[0，π]上单调递 减，所以只有－π＜a≤0时，满足已知条件，所以a∈（－π，0]. （－ π，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 若存在实数a使得方程 cos x＝a在[0，2π]上有两个不相等的实数根 x1，x2，则 sin （x1＋x2）＝ ⁠. 解析：由函数y＝ cos x在[0，2π]上的图象关于直线x＝π对称，得y＝ cos x的图象与直线y＝a的两交点必关于直线x＝π对称，所以 ＝π，即 x1＋x2＝2π，所以 sin （x1＋x2）＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知函数f（x）＝ （1）作出该函数的图象； 解：函数f（x）的图象如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若f（x）＝ ，求x的值； 解：当－π≤x＜0时，f（x）＝ cos x＝ ，解得x＝－ . 当0≤x≤π时，f（x）＝ sin x＝ ，解得x＝ 或 . 综上，x＝－ 或 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （3）若a∈R，讨论方程f（x）＝a的解的个数. 解：方程f（x）＝a的解的个数等价于y＝f（x）与y＝a的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当a＞1或a＜－1时，解的个数为0； 当－1≤a＜0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a＜1时，解的个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕若函数f（x）＝2 cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成 一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是（　　） A. 当x∈（ ， ）时，f（x）＜0 B. f（0）＝1 C. f（ ）＝0 D. 围成的封闭图形的面积为2π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　作出函数f（x）的图象及直线y＝2，如图所示.函数f（x）的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形为图中阴影部分.由图可知，A正确，B错误，C正确；利用函数y＝2 cos x图象的对称性，可知该阴影部分的面 积等于矩形OABC的面积.又OA＝2，OC＝2π，故S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕对于函数f（x）＝ 下列说法正确的是 （　　） A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数 B. 当且仅当x＝π＋2kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值－1 C. 该函数的图象关于直线x＝ π＋2kπ（k∈Z）对称 D. 当且仅当2kπ＜x＜ ＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　画出f（x）在[0，2π]上的图象如图所示.由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，当x＝π＋2kπ（k∈Z）和x＝ π＋2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值－1，故A、B错误.由图象知，函数图象关于直线x＝ π＋2kπ（k∈Z）对称，当2kπ＜x＜ ＋2kπ （k∈Z）时，0＜f（x）≤ ，故C、D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 若函数f（x）＝ cos x，x∈[－2π，2π]，则不等式xf（x）＞0的解集 为 ⁠. 解析：当x＞0时， cos x＞0，且x∈[－2π，2π]，解得0＜x＜ 或 ＜ x≤2π；当x＜0时， cos x＜0，且x∈[－2π，2π]，解得－ ＜x＜－ ， 故不等式xf（x）＞0的解集为 ∪ ∪ . ∪ ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 画出函数y＝3＋2 cos x的简图. （1）求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大 值、最小值； 解：按五个关键点列表如下， x 0 ​ π ​ 2π y＝ cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2 cos x 5 3 1 3 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 描点画出图象（如图）. （1）当 cos x＝1，即x∈{x｜x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当 cos x＝－1，即x∈{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）讨论此函数的单调性. 解：令t＝ cos x，则y＝3＋2t， 因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增函数， 所以当x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）时，函数y＝ cos x单调递增，y＝3 ＋2 cos x也单调递增，当x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）时，函数y＝ cos x单调递减，y＝3＋2 cos x也单调递减.综上，函数y＝3＋2 cos x在区间 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单 调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 已知函数f（x）＝－ cos 2x＋ cos x＋a＋1，a∈R，若对区间 上任意x，都有f（x）≤1成立，则实数a的最大值为（　　） A. － B. 0 C. 2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由f（x）≤1在 上恒成立，∴a≤ cos 2x－ cos x＝ － 在 上恒成立.∵x∈ ，∴ cos x∈[0，1]， ∴ － ≥－ ，当且仅当 cos x＝ ，即x＝ 时取等号，∴a≤ － ，则实数a的最大值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知函数y＝ cos x＋ ｜ cos x｜. （1）画出函数的图象； 解：y＝ cos x＋ ｜ cos x｜＝ ​ 函数图象如图所示. （2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； 解：由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. （3）求出这个函数的单调递增区间. 解：由图象知函数的单调递增区间为［2kπ－ ，2kπ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $