第1章 4.3 诱导公式与对称-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 1 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐 之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几 何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对 称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与 π±α，－α有什么样的对称关系？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点　诱导公式 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边 关于原点对称 角π－α与角α的终边 关于y轴对称 图示 数学·必修第二册（BSD） 目 录 公 式 sin （－α）＝ ⁠； cos （－α）＝ ⁠ ⁠ sin （π＋α）＝ ⁠ ⁠； cos （π＋α）＝ ⁠ ⁠； sin （α－π）＝ ⁠ ⁠； cos （α－π）＝ ⁠ ⁠ sin （π－α）＝ ⁠ ⁠； cos （π－α）＝ ⁠ ⁠ 特 点 （1）公式两边的函数名称一致； （2）将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符 号，即为等号右边的符号 － sin α cos α － sin α　 － cos α　 － sin α　 － cos α sin α －cos α 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8 　　提醒：诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数 名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还 是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终 边所在象限是取正值还是负值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式中角α是任意角. （　√　） （2）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）. （　×　） （3）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （　×　） （4） cos （－α－β）＝ cos （α＋β）. （　√　） √ × × √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. cos 300°＋ sin 450°＝（　　） A. －1＋ B. C. －1－ D. 解析：　原式＝ cos （360°－60°）＋ sin （360°＋90°）＝ cos （－ 60°）＋ sin 90°＝ cos 60°＋1＝ . √ 3. 若 cos （π－α）＝ ，则 cos α＝ 　－ 　. 解析：∵ cos （π－α）＝－ cos α， ∴－ cos α＝ ，即 cos α＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列三角函数式的值： （1） sin 495°· cos （－675°）； 解： sin 495°· cos （－675°） ＝ sin （135°＋360°）· cos 675° ＝ sin 135°· cos 315° ＝ sin （180°－45°）· cos （360°－45°） ＝ sin 45°· cos 45° ＝ × ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin ＋ cos . 解： sin ＋ cos ＝－ sin ＋ cos ＝－ sin ＋ cos ＝－ sin ＋ cos ＝－ sin － cos ＝ sin － cos ＝ － ＝0. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”——用 sin （－α）＝－ sin α， cos （－α）＝ cos α 转化； （2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之 间的角； （3）“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于 的角转化为锐角； （4）“求值”——得锐角三角函数后求值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 求下列各三角函数式的值： （1） sin 1 320°； 解：法一　 sin 1 320°＝ sin （3×360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin （180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ . 法二　 sin 1 320°＝ sin （4×360°－120°）＝ sin （－120°）＝－ sin （180°－60°）＝－ sin 60°＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：法一　 cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . （2） cos . 法二　 cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜给值（式）求值问题 【例2】　（1）已知 sin （π＋α）＝－0.3，则 sin （2π－α）＝ ⁠； 解析：∵ sin （π＋α）＝－0.3， sin （π＋α）＝－ sin α， ∴ sin α＝0.3.∴ sin （2π－α）＝－ sin α＝－0.3. （2）已知 cos ＝ ，则 cos ＝ 　－　. －0.3 解析：∵ ＋α＝π－ ，∴ cos ＝ cos ＝－ cos （ －α）＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 解决条件求值问题的策略 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数 名称及有关运算之间的差异及联系； （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式 转化. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知 sin β＝ ， cos （α＋β）＝－1，则 sin （α＋2β）＝ 　－ 　. 解析：∵ cos （α＋β）＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴α＋2β＝（α＋ β）＋β＝2kπ＋π＋β.∴ sin （α＋2β）＝ sin （2kπ＋π＋β）＝ sin （π＋ β）＝－ sin β＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜三角函数式的化简 【例3】　化简下列各式： （1） · sin （π＋α） cos （－α）； 解：原式＝ ·（－ sin α） cos α ＝ ·（－ sin α） cos α＝ sin 2 α. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） . 解：原式＝ ＝ ＝ cos α. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 利用诱导公式化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角 化同角等. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　化简下列各式： （1） ； 解：原式＝ ＝ ＝1. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. cos （－780°）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　因为 cos （－780°）＝ cos 780°＝ cos （2×360°＋60°）＝ cos 60°＝ ，故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（　　） A. sin α＝ sin β B. sin （α－2π）＝ sin β C. cos α＝ cos β D. cos （2π－α）＝－ cos β 解析：　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ（k∈Z）， 故 sin α＝－ sin β， cos α＝ cos β.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ，则 cos （π－ θ）的值为（　　） A. － B. － C. D. 解析：　∵角θ的终边与单位圆交于点P（－ ， ），∴ cos θ＝－ .∴ cos （π－θ）＝－ cos θ＝ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 若k为整数，则 sin cos ＝ 　－ 　. 解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，原 式＝ sin · cos ＝－ sin · cos ＝－ × ＝－ ； 当k＝2n＋1（n∈Z）时，原式＝ sin · cos ＝ sin · cos ＝ sin ＝ × ＝－ .综上， sin cos ＝－ . － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. sin ＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：由题意可得 sin ＝－ sin ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. sin 240°＋ cos （－150°）＝（　　） A. － B. －1 C. 1 D. 解析：　 sin 240°＋ cos （－150°）＝ sin （180°＋60°）＋ cos （180°－30°）＝－ sin 60°－ cos 30°＝－ － ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若 sin （θ＋2π）＜0， cos （θ－π）＞0，则θ为（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：　∵ sin （θ＋2π）＝ sin θ＜0， cos （θ－π）＝ cos （π－θ） ＝－ cos θ＞0，∴ cos θ＜0，∴θ为第三象限角. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（　　） A. cos α＝ cos β B. cos α＝－ cos β C. sin α＝－ sin β D. sin α＝－ cos β 解析：　对于A、B选项，因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β. cos α＝ cos （180°－β）＝－ cos β，故A选项错误，B选项正确；对于C选项， sin α＝ sin （180°－β）＝ sin β，故C选项错误；对于D选项，由于 sin α＝ sin β，所以 sin α＝－ cos β不一定成立，故D选项错误. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（　　） A. cos 210° B. sin C. sin D. cos （－1 920°） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　A. cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ ＜ 0.B. sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ ＞0.C. sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ ＞0.D. cos （－1 920°）＝ cos 1 920°＝ cos （5×360°＋120°）＝ cos 120° ＝ cos （180°－60°）＝－ cos 60°＝－ ＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕已知n∈Z，则下列三角函数中，与 sin 的值相同的是（　　） A. sin B. cos C. sin D. cos √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　对于A，当n＝2k，k∈Z时， sin ＝ sin ＝ sin π＝ sin ＝－ sin ，所以A错误，对于B， cos ＝ cos ＝ ＝ sin ，所以B正确，对于C， sin ＝ sin ，所以C正 确，对于D， cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ ＝－ sin ，所以D错误，故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 计算： cos ＋ cos ＋ cos ＋ cos ＋ cos ＋ cos ＝ ⁠. 解析：原式＝（ cos ＋ cos ）＋（ cos ＋ cos ）＋（ cos ＋ cos ）＝［ cos ＋ cos （π－ ）］＋［ cos ＋ cos （π－ ）］＋［ cos ＋ cos （π－ ）］＝（ cos － cos ）＋（ cos － cos ）＋（ cos － cos ）＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 若 cos （π＋α）＝－ ， π＜α＜2π，则 cos （α－2π）＝ 　​ 　. 解析：由 cos （π＋α）＝－ ，得 cos α＝ ，故 cos （α－2π）＝ cos α＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 如果A为△ABC的内角， sin （π＋A）＝－ ，那么 cos （π－A） ＝ ⁠. 解析：因为 sin （π＋A）＝－ ，所以－ sin A＝－ ，即 sin A＝ ，又A 为△ABC的内角，即0＜A＜π，所以A＝ 或A＝ .因为 cos （π－A）＝ － cos A， cos A＝ 或 cos A＝－ ，所以 cos （π－A）＝－ 或 cos （π －A）＝ . ± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 化简下列各式： （1） sin cos π； 解： sin cos π ＝－ sin cos ＝ sin cos ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2） sin （－960°） cos 1 470°－ cos 240° sin （－210°）. 解：sin （－960°） cos 1 470°－ cos 240°· sin （－210°）＝－ sin （180°＋60°＋2×360°）· cos （30°＋4×360°）＋ cos （180°＋60°）· sin （180°＋30°）＝ sin 60° cos 30°＋ cos 60°· sin 30°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列等 式恒成立的是 （　　） A. sin （α＋π）＝ sin β B. sin （α－π）＝ sin β C. sin （2π－α）＝－ sin β D. sin （2π＋α）＝ sin β 解析：因为α与β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ（k∈Z）， sin β＝ sin （2kπ＋π－α）＝ sin α， sin （α＋π）＝－ sin α，则 sin （α＋π）＝ sin β不恒成立，A错误； sin （α－π）＝－ sin α，则 sin （α－π）＝ sin β不恒成立，B错误； sin （2π－α）＝－ sin α，则 sin （2π－α）＝－ sin β恒成立，C正确； sin （2π＋α）＝ sin α，则 sin （2π＋α）＝ sin β恒成立，D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是（　　） A. sin （A＋B）＋ sin C B. cos （A＋B）＋ cos C C. sin （2A＋2B）＋ sin 2C D. cos （2A＋2B）＋ cos 2C √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：A项， sin （A＋B）＋ sin C＝2 sin C；B项， cos （A＋B）＋ cos C＝－ cos C＋ cos C＝0；C项， sin （2A＋2B）＋ sin 2C＝ sin [2（A＋B）]＋ sin 2C＝ sin [2（π－C）]＋ sin 2C＝ sin （2π－2C）＋ sin 2C＝－ sin 2C＋ sin 2C＝0；D项， cos （2A＋2B）＋ cos 2C＝ cos [2（A＋B）]＋ cos 2C＝ cos [2（π－C）]＋ cos 2C＝ cos （2π－2C）＋ cos 2C＝ cos 2C＋ cos 2C＝2 cos 2C. 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋a） ＝bf（x）对任意x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝ ⁠， b＝ .（只需写出一组） 解析：当a＝ 时，f ＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x，即b＝－1，故 当a＝ ，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立. ​ －1（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P ，求 的值. 解：∵在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P ，由正 弦函数、余弦函数的定义得 cos α＝ ， sin α＝－ ， ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体 到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字 串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数 字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会 得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为 a，则 cos （ ＋ ）＝（　　） A. B. － C. D. － √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变为101， 第二步之后变为123，接着变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即 a＝123，故 cos （ ＋ ）＝ cos （ ＋ ）＝ cos （π＋ ）＝－ cos ＝－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 已知f（x）＝ （n∈Z）. （1）化简f（x）的表达式； 解：当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时， f（x）＝ ＝ ＝ ＝ sin 2x； 当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 f（x）＝ ＝ ＝ ＝ sin 2x. 综上得f（x）＝ sin 2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求f . 解：由（1）知f ＝ sin 2 π ＝ sin 2（675π＋ ）＝ sin 2 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $