第1章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

7.1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 课标要求 1.理解正切函数的定义，会用正切函数的定义求正切值（数学抽象、数学运算）. 2.理解并熟记正切函数的诱导公式（逻辑推理）. 3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题（逻辑推理、数学运算）. 　　在初中阶段，我们就已经知道，在一个直角三角形中，我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中，我们又讨论了正弦和余弦问题，给出了正弦函数和余弦函数的定义，同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究. 【问题】　那么正切函数是如何定义的呢？正切函数的诱导公式又是怎样的呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正切函数的定义 1.定义：根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为　　. 2.结论：若角α的终边上任取一点Q（x0，y0）（x0≠0），则tan α＝　　. 3.正切值在各象限中的符号 由正切函数的定义知：当角α的终边在第一和第三象限时，正切值为　正　；当角α的终边在第二和第四象限时，正切值为　负　. 　　提醒：（1）若x＝＋kπ（k∈Z），则角x的终边落在y轴上，此时cos x＝0，比值无意义，因此正切函数的定义域为；（2）三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限各三角函数值均为正，第二象限只有正弦值为正，第三象限只有正切值为正，第四象限只有余弦值为正. 知识点二　正切函数的诱导公式 　tan（x＋kπ）＝　tan x　（k∈Z）；tan （－x）＝　－tan x　； tan（π－x）＝－tan x；tan＝－； tan＝. 其中的x是使等式两边都有意义的任意实数. 　　提醒：（1）正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆，即“奇变偶不变，符号看象限”；（2）利用诱导公式求任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同，都是依据“负化正，大化小，化为上的正切函数再求值”，即由未知转化为已知的化归思想；（3）诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）tan＝tan α当且仅当k＝2时成立.（　×　） （2）tan（π－α）＝－tan α.（　√　） 2.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan α的值为（　　） A.－　 　B.－　 　C.－　 　D.－ 解析：A　tan α＝＝－. 3.已知点P（2，3）是角α终边上一点，则tan（π＋α）＝. 解析：由题意知tan α＝＝，∴tan（π＋α）＝tan α＝. 题型一｜正切函数定义的应用 【例1】　已知角α的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求tan α的值. 解：r＝＝5｜a｜， 若a＞0，r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－； 若a＜0，r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 通性通法 利用正切函数的定义求值的策略 （1）已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值； ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标（a，b），则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. （2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 【跟踪训练】 　若点P（3，y）是角α终边上的一点，且满足y＜0，cos α＝，则tan α＝（　　） A.－　　　B. C.　　D.－ 解析：D　cos α＝＝，解得y＝±4，又y＜0，所以y＝－4，故tan α＝－. 题型二｜利用正切函数诱导公式求值 【例2】　求下列各式的值： （1）tan ； 解：tan ＝－tan ＝－tan ＝－tan ＝tan ＝. （2）tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin（－606°）. 解：原式＝tan 10°＋tan （180°－10°）＋sin 1 866°－sin（－606°）＝tan 10°－tan 10°＋sin（5×360°＋66°）－sin [（－2）×360°＋114°]＝sin 66°－sin（180°－66°）＝sin 66°－sin 66°＝0. 通性通法 利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法 （1）正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值，即“给角求值”，关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值，通常是特殊角的正切函数值； （2）“给值求值”时，要注意分析已知角与未知角之间的内在关系，选择恰当的诱导公式求值. 【跟踪训练】 计算：tan（－870°）·tan 930°＋tan（－1 380°）·tan（－690°）. 解：原式＝tan（－5×180°＋30°）·tan（5×180°＋30°）＋tan（－8×180°＋60°）·tan（－4×180°＋30°） ＝tan 30°·tan 30°＋tan 60°·tan 30° ＝（）2＋×＝＋1＝. 题型三｜利用正切函数的诱导公式化简与证明 【例3】　求证：＝－tan α. 证明：左边＝＝＝＝－tan α＝右边.故原式得证. 通性通法 用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则 （1）“切化弦”，函数名称尽可能化少； （2）“大化小”，角尽可能化小. 【跟踪训练】 化简：. 解：原式＝＝＝. 1.tan 660°的值为（　　） A.－　　　　　　　　B. C.－ D. 解析：C　tan 660°＝tan（180°×3＋120°）＝tan 120°＝－tan 60°＝－. 2.下列各式成立的是（　　） A.tan（π＋α）＝－tan α B.tan（π－α）＝tan α C.tan（－α）＝－tan α D.tan（2π－α）＝tan α 解析：C　tan（π＋α）＝tan α；tan（π－α）＝－tan α；tan（－α）＝－tan α；tan（2π－α）＝tan（－α）＝－tan α.故选C. 3.若角α的终边经过点P（－2，3），则tan α＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：C　因为角α的终边经过点P（－2，3），所以tan α＝＝－.故选C. 4.已知tan（π－x）＝，则tan（x－3π）＝－. 解析：由tan（π－x）＝知，tan x＝－， 故tan（x－3π）＝－tan（3π－x）＝tan x＝－. 1.若点P（x，y）是330°角终边上异于原点的任意一点，则的值是（　　） A. B.－ C.－ D. 解析：C　依题意得＝tan 330°，又tan 330°＝tan（360°－30°）＝－tan 30°＝－，∴＝－，故选C. 2.tan（－1 560°）＝（　　） A.－　　　B. C.－　　　D. 解析：D　tan（－1 560°）＝－tan 1 560°＝－tan（4×360°＋120°）＝－tan 120°＝－tan（180°－60°）＝tan 60°＝.故选D. 3.已知a＝sin，b＝tan，c＝log4，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.a＞c＞b 解析：B　因为＜＜＜＜，所以＜sin＜1，tan＞1，又log4＝，所以b＞a＞c.故选B. 4.已知α∈[0，2π），点P（1，tan 2）是角α终边上的一点，则α＝（　　） A.2＋π B.2 C.π－2 D.2－π 解析：A　因为＜2＜π，所以tan 2＜0，所以α是第四象限角，又由tan α＝tan 2，α∈[0，2π），所以α＝2＋π. 5.cos2x＝（　　） A.tan x B.sin x C.cos x D. 解析：D　（tan x＋）cos2x＝（＋）·cos2x＝＝. 6.〔多选〕下列各函数值，其中符号为正的是（　　） A.sin（－ 1 000°） B.cos（－2 200°） C.tan（－10°） D. 解析：ABD　sin（－1 000°）＝sin（－3×360°＋80°）＝sin 80°＞0；cos（－2 200°）＝cos 2 200°＝cos（6×360°＋40°）＝cos 40°＞0；tan（－10°）＝－tan 10°＜0；sin ＞0，cos π＝－1＜0，tan ＝tan ＜0，故＞0. 7.若角α的终边经过点P（5，－12），则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 解析：因为x＝5，y＝－12，所以r＝＝13，则sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－. 8.tan＝. 解析：tan＝－tan ＝－tan＝－tan ＝tan ＝. 9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝. 解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（720°＋30°）＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. 10.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，y），且tan α＝－. （1）求y的值； （2）求的值. 解：（1）因为tan α＝＝－，所以y＝－4. （2）原式＝＝＝＝＝－10. 11.已知角α的终边过点（m，－2），若tan（π＋α）＝，则m＝（　　） A.　　　B.－10　　　C.10　　　D.－ 解析：B　因为tan（π＋α）＝tan α＝，角α的终边过点（m，－2），得tan α＝＝，解得m＝－10.故选B. 12.已知tan （π－α）＝－，则＝（　　） A. B. C. D.1 解析：B　由tan （π－α）＝－得，tan α＝. ∴＝ ＝＝. 13.已知cos（α＋β）＝－1，且tan α＝2，则tan β＝－2. 解析：由cos（α＋β）＝－1，知α＋β＝2kπ＋π（k∈Z），∴β＝2kπ＋π－α（k∈Z）.∴tan β＝tan （2kπ＋π－α）＝tan （π－α）＝－tan α＝－2. 14.已知sin（α＋β）＝1，试求tan（2α＋β）＋tan β的值. 解：因为sin（α＋β）＝1，所以α＋β＝2kπ＋（k∈Z）， 所以α＝2kπ＋－β（k∈Z）.故tan（2α＋β）＋tan β ＝tan＋tan β＝tan（4kπ＋π－2β＋β）＋tan β＝tan（4kπ＋π－β）＋tan β＝tan（π－β）＋tan β＝－tan β＋tan β＝0. 15.〔多选〕下列说法中正确的有（　　） A.正角的正弦值是正的，负角的余弦值是负的，零角的正切值是零 B.若tan α≥0，则kπ≤α≤＋kπ（k∈Z） C.tan（－945°）＝－1 D.对任意角α，都有｜tan α＋｜＝｜tan α｜＋ 解析：CD　正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负，故A错误；若tan α≥0，则kπ≤α＜＋kπ（k∈Z），故B错误；tan（－945°）＝－tan 945°＝－tan（225°＋2×360°）＝－tan 225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan 45°＝－1，故C正确；因为tan α，的符号相同，所以＝｜tan α｜＋，故D正确. 16.已知①角α的终边经过点P（4m，－3m）（m≠0）；②tan（－α）＝；③3sin α＋4cos α＝0.在这三个条件中任选一个，求的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解： ＝. 选①：由题意得，tan α＝＝－， ∴原式＝＝＝－. 选②：由tan（－α）＝＝， 得tan α＝， ∴原式＝＝＝－. 选③：由3sin α＋4cos α＝0，得tan α＝－， ∴原式＝＝＝. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $