1.7.1-1.7.2 正切函数的定义 正切函数的诱导公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦正切函数的核心知识点，通过“逐点清”结构系统梳理定义（借助单位圆及终边上点坐标）、诱导公式（利用单位圆对称性推导）及应用（化简与证明），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“多维理解+微点助解+微点练明”模块设计，通过单位圆抽象定义培养数学眼光，逻辑推导诱导公式发展数学思维，例题与表格巩固提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习与解析查漏补缺。

　　§7　正切函数 　　　7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 　[课时目标] 借助单位圆理解正切函数的定义并能画出其图象.借助单位圆的对称性, 利用定义推导出正切函数的诱导公式. 逐点清(一)　正切函数的定义 [多维理解] 1.正切函数的定义 根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x, 其中定义域为. 2.用角的终边上的点的坐标表示正切函数 若角α的终边上任取一点Q(x,y)(x≠0),则tan α=. 3.正切函数值的符号 由正切函数的定义知,当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负. |微|点|助|解| 若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解. [微点练明] 1.已知角α的终边与单位圆的交点为P,则tan α= (　　) A. B.- C. D.- 答案:B 2.已知角α的终边在直线y=2x上,则tan α的值为 (　　) A.2 B.±2 C. D.± 解析:选A　在角α的终边上任取一点(k,2k)(k≠0),则tan α==2. 3.若角θ的终边经过点A,且tan θ=,则m=__________.  解析:由tan θ===,解得m=-. 答案:- 4.请补充完整下表. α 0 π tan α 0 1 不存在 - -1 - 0 α 2π tan α 1 不存在 - -1 - 0 逐点清(二)　正切函数的诱导公式 [多维理解] 　　正切函数的诱导公式 角x 函数y=tan x 记忆口诀 kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限 -x -tan x π-x -tan x +x - 函数名改变, 符号看象限 -x |微|点|助|解| (1)利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想. (2)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取. [微点练明] 1.公式tan(π-x)=-tan x成立的条件是 (　　) A.x为锐角 B.x为不等于的任意角 C.x为任意角 D.x≠kπ+(k∈Z) 答案:D 2.tan 的值为 (　　) A. B.- C. D.- 答案:D 3.[多选]给出下列各函数值,其中符号为正的是 (　　) A.sin(-1 000°) B.cos(-2 200°) C.tan(-10) D. 解析:选ABD　sin(-1 000°)=sin(-3×360°+80°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos 2 200°=cos(6×360°+40°)=cos 40°>0;tan(-10)=-tan 10<0;sin>0,cos π=-1<0,tan=tan <0,故>0. 4.tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°)=__________.  解析:原式=-tan 870°·tan 930°+tan 1 380°·tan 690°=-tan(4×180°+150°)·tan(5×180°+30°)+tan(7×180°+120°)·tan(3×180°+150°)=-tan 150°·tan 30°+tan 120°·tan 150°=-×+(-)×=+1=. 答案: 5.tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°tan 60°tan 70°tan 80°=__________.  解析:原式=(tan 10°tan 20°tan 30°tan 45°)· =·tan 45° =tan 45°=1. 答案:1 逐点清(三)　利用诱导公式化简、证明 　　减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的分式问题,常采用分子分母同时除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan α的式子. [典例]　(1)已知tan=,则tan·tan=__________.  (2)化简:. 解析:(1)tan·tan =tan·tan =-tan· =tan =·=×3=1. 答案:1 (2) = = =-cos α. 　　|思|维|建|模| 1.三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为锐角α的三角函数. (2)一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 2.三角恒等式的证明策略 在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则. 定义法,化弦法,拆项折角法,公式变形法. 　　[针对训练] 1.已知tan α=-,则=__________. 解析:原式===tan 2α=. 答案: 2.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 证明:∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+,k∈Z. ∴α=2kπ+-β,k∈Z. ∴tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(-β)+tan β=-tan β+tan β=0. 学科网（北京）股份有限公司 $