第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义（数学抽象、直观想象）. 2.能利用定义解决相关问题（数学运算、直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为 h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你 离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　锐角的正弦函数和余弦函数 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P（u，v），过点P向x轴作垂线，垂足为M. 在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有 sin α＝ ＝ ＝v， cos α＝ ＝ ＝u. 由此可知，对于锐角α来说，点P的 是该角的正弦值；点P 的 是该角的余弦值. 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标（u，v）与之对应，在弧度意义下， α∈（ 0， ），称v＝ 为锐角α的正弦函数，u＝ cos α为锐角α的 余弦函数. 纵坐标v　 横坐标u　 sin α　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　任意角的正弦函数和余弦函数 1. 单位圆中的任意角的正弦与余弦函数定义：如图，给定任意角α， 作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P（u，v），点P的纵坐标v、 横坐标u都是唯一确定的.仿照上述定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正 弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是在弧度意义下，对于 α∈R，称 为任意角α的正弦函数， ⁠为任意 角α的余弦函数. v＝ sin α　 u＝ cos α　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义：设角α终边上除原点 外的一点Q（x，y），则 sin α＝ 　 　， cos α＝ 　 　，其中r＝ . 　 　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 什么是单位圆？ 提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆. 2. 对于确定的角α，其正弦值与余弦值会随点P在α终边上的位置的改变而 改变吗？ 提示：不会.正弦函数、余弦函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；正弦函数值和余弦函数值只 与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定. 3. 根据任意角正弦函数、余弦函数的定义，终边相同的角的正弦函数、余 弦函数有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是第二象限角，且P（u，v）是其终边与单位圆的交点，则 cos α＝－u. （　×　） （2） sin α表示 sin 与α的乘积. （　×　） （3）同一个正弦函数值和余弦函数值分别能找到无数个角与之对应. （　√　） （4）设角α终边上的点P（x，y），r＝｜OP｜≠0，则 sin α＝ ，且y 越大， sin α的值越大. （　×　） × × √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α的终边与单位圆的交点为P ，则 cos α＝（　　） A. B. － C. － D. √ 3. 已知角α的终边经过点 ，则 sin α＝  　， cos α＝ ⁠. ​ － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜单位圆中三角函数定义的应用 【例1】　在平面直角坐标系内的单位圆中，α＝ . （1）画出角α； 解：因为α＝ ＝2π＋ ，所以角α的终边与角 的终边 相同.以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始 边，逆时针旋转 ，与单位圆交于点P，则角α如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：由（1）知，点P在第二象限，且在角 的终边上，所以点P的坐标 为 . （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：由（2）及正、余弦函数的定义可得 sin ＝ ， cos ＝－ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数 的定义求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－ π. （1）画出角α； 解：因为α＝－ π＝－2π－ ，所以角α的终边与－ 的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转 π，与单位圆交于点P，则角α如图所示. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：因为α＝－ π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝ ，过点 P作PM⊥x轴于点M， 则在Rt△MOP中，∠OMP＝ ，∠MOP＝ ，OP＝1， 由直角三角形的边角关系，得OM＝ ，MP＝ ， 所以得点P的坐标为 . （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ＝－ ， cos ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜已知角的终边上一点求正、余弦函数值 【例2】　若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），则 sin θ＋ cos θ＝ ⁠. 解析：∵角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），∴x＝－4a，y＝ 3a，r＝5｜a｜.当a＞0时，r＝5a， sin θ＋ cos θ＝ ＋ ＝－ ；当a ＜0时，r＝－5a， sin θ＋ cos θ＝ ＋ ＝ .故 sin θ＋ cos θ＝± . ± 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 已知角α终边上一点求正、余弦函数值的方法 （1）若已知角α终边上一点P（x，y）是以坐标原点为圆心的单位圆上的 点，则 sin α＝y， cos α＝x； （2）若已知角α终边上一点P（x，y）（x2＋y2≠0）不是以坐标原点为 圆心的单位圆上的点，先求r＝ ，则 sin α＝ ， cos α＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知角α的终边上一点P0（－3，－4），则 sin α＝ ， cos α ＝ ⁠. 解析：因为点P0（－3，－4）在角α的终边上，所以x＝－3，y＝－4，则 r＝｜OP0｜＝ ＝5（O为坐标原点），则 sin α＝ ＝ － ， cos α＝ ＝－ . － － 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α的终边上一点P（m， ），且 cos α＝ ，则m ＝ 　​ 　， sin α＝ 　​ 　. 解析：由题意得x＝m，y＝ ，∴r＝｜OP｜＝ ，∴ cos α＝ ＝ ＝ ，显然m＞0，解得m＝ ，∴ sin α＝ ＝ ＝ . ​ ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜已知角的终边在某一直线上，求正、余弦函数值 【例3】　已知角α的终边落在直线y＝－ x上，求 sin α， cos α的值. 解：因y＝－ x经过第二、第四象限.在第二象限取直线上的一点P0（－ 1， ），则r＝｜OP0｜＝ ＝2（O为坐标原点）， 所以 sin α＝ ， cos α＝－ ； 在第四象限取直线上的一点P1（1，－ ）， 则r＝｜OP1｜＝ ＝2， 数学·必修第二册（BSD） 目 录 所以 sin α＝－ ， cos α＝ . 综上， sin α＝ ， cos α＝－ 或 sin α＝－ ， cos α＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线， 应分两种情况处理. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，求 sin α， cos α的值. 解：设点P（a，2a）是角α终边上任意一点，其中a＞0.因为r＝｜ OP｜＝ ＝ a（O为坐标原点），所以 sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 已知角α的终边与单位圆交于点（－ ，－ ），则 sin α＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：根据三角函数的定义可知 sin α＝y＝－ . √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知角α的终边上有一点P（－7，24），则 sin α＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：　因为角α的终边上有一点P（－7，24），所以 sin α＝ ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若 cos α＝－ ，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x＝ （　　） A. 2 B. ±2 C. －2 D. －2 解析：　r＝ ，由题意得x＜0且 ＝－ ，所以x＝－ 2 .故选D. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知角α的终边在直线y＝x上，则 sin α＝ ⁠. 解析：由已知得角α的终边在第一或第三象限，当角α的终边在第一象限 时，在角α的终边上取一点P（1，1），则x＝1，y＝1，r＝ ，所以 sin α＝ ＝ ＝ ；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点P1 （－1，－1），则x＝－1，y＝－1，r＝ ，所以 sin α＝ ＝ ＝－ . 综上可知， sin α＝ 或 sin α＝－ . 或－ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 29 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知角α的终边与单位圆相交于点M ，则 sin α＝（　　） A. B. C. － D. － 解析：由任意角三角函数的定义知 sin α＝y＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若 ∠AOP＝θ，则点P的坐标是（　　） A. （ cos θ， sin θ） B. （－ cos θ， sin θ） C. （ sin θ， cos θ） D. （－ sin θ， cos θ） 解析：　由题意可知，点P的横坐标为 cos θ，纵坐标为 sin θ，故点P 的坐标为（ cos θ， sin θ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 已知角α的终边经过点P（2，－1），则 sin α＋ cos α＝（　　） A. B. － C. D. － 解析：因为角α的终边经过点P（2，－1），r＝ ＝ ，于是有 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，所以 sin α＋ cos α＝－ ＋ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 已知角α的终边经过点P（m，－6），且 cos α＝－ ，则m＝（　　） A. 8 B. －8 C. 4 D. －4 解析：　由题意得r＝｜OP｜＝ ＝ ，故 cos α ＝ ＝－ ，解得m＝－8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕若角α的终边过点P（－3，－2），则（　　） A. sin α＜0 B. cos α＜0 C. sin α cos α＞0 D. sin α cos α＜0 解析：由P（－3，－2），可得r＝ ， sin α＝－ ＜0， cos α＝ ＜0，所以 sin α cos α＞0.故A、B、C正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕若角α的终边在直线y＝－2x上，则 sin α的可能取值为（　　） A. B. － C. D. － 解析：设角α的终边y＝－2x上一点（a，－2a），当a＞0时，则r＝ a，此时 sin α＝ ＝－ ，当a＜0时，则r＝－ a，此时 sin α＝ ＝ ，故选C、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知角α的终边与单位圆相交于一点P（－ ，－ ），则 cos α＝ ⁠ ⁠. 解析：由三角函数的定义可知， cos α＝x＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，角β的终边上 一点Q与点A关于原点O中心对称，则 sin α＋ sin β＝ ⁠. 解析：因为角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，所以P （1，2）.因为角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，所以Q （1，－2）.由正弦函数、余弦函数的定义可知 sin α＝ ， sin β＝－ ， 所以 sin α＋ sin β＝ － ＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 若角α终边上一点P（a，9）在函数y＝3x的图象上，则a＝ ， sin α＋ cos α＝ ⁠. 解析：由题意知，3a＝9，∴a＝2，∴r＝ ＝ ，∴ sin α＝ ＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ＝ ，∴ sin α＋ cos α＝ ＋ ＝ . 2 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知角α的终边上一点P（－ ，y），y≠0，且 sin α＝ y，求 cos α的值. 解：由 sin α＝ ＝ y，得y2＝5，所以y＝± . 当y＝ 时， cos α＝ ＝－ ， 当y＝－ 时， cos α＝ ＝－ . 所以 cos α＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕若 cos α＝－ ，则下列各点是角α终边上的点的是（　　） A. （－ ， ） B. （－ ，－ ） C. （ ，－ ） D. （－ ， ） 解析：设点P（x，y）是角α终边上的点，则 cos α＝ ，结合选项选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧 的长为l，则r ＝1，l＝ ，所以 对应的圆心角α＝ ＝ ＝2π＋ .所以点Q在第一 象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝ cos ＝ ，y ＝ sin ＝ .所以点Q的坐标为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 若角α的终边与直线y＝3x重合且 sin α＜0，又P（m，n）是α终边上 一点，且｜OP｜＝ ，则m－n＝ ⁠. 解析：∵y＝3x且 sin α＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图 象上，∴m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝ ＝ ｜m｜＝ － m＝ ，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－ x上，求 sin α－3 cos α 的值. 解：当角α的终边在射线y＝－ x（x＞0）上时，取终边上一点P（4，－ 3）， 所以点P到坐标原点的距离r＝｜OP｜＝5， 所以 sin α＝ ＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ， 所以 sin α－3 cos α＝－ － ＝－3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 当角α的终边在射线y＝－ x（x＜0）上时，取终边上一点P'（－4，3）， 所以点P'到坐标原点的距离r＝｜OP'｜＝5， 所以 sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ， 所以 sin α－3 cos α＝ －3× ＝3. 所以 sin α－3 cos α＝±3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 设A是△ABC的一个内角，且 sin A＋ cos A＝ ，则△ABC是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 非等腰的直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：由正弦函数和余弦函数的定义及单位圆的性质易知，若A为锐角，则 sin A＋ cos A＞1；若A为直角，则 sin A＋ cos A＝1.而本题中 sin A＋ cos A＝ ＜1，从而A必为钝角.故△ABC是钝角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向 上平移2个单位长度后所得的图象过定点P，且角α的终边过点P，求 sin α ＋2 cos α的值. 解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再 向上平移2个单位长度后，得到y＝loga（x－3）＋2（a＞0且a≠1）的图 象，∴P（4，2）.又角α的终边过点P，∴ sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝ ，则 sin α＋2 cos α＝ ＋2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $