第1章 6.2 探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 课标要求 1.结合实例，了解φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin（x＋φ）图象间的关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.掌握函数y＝sin（x＋φ）的有关性质及应用（数学运算、逻辑推理）. 　　上一节课我们研究了ω对函数y＝sin ωx（ω＞0）图象和性质的影响. 【问题】　你知道参数φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象和性质有什么影响吗？请借助函数y＝sin x，y＝sin和y＝sin的图象加以说明？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 1.φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响 函数y＝sin（x＋φ）与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点（0，0）平移到了点　（－φ，0）　. 函数y＝sin（x＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝sin x图象上的所有点　向左　（φ＞0）或　向右　（φ＜0）平移　｜φ｜　个单位长度得到的. 2.函数y＝sin（x＋φ）的性质 （1）周期T＝2π； （2）研究y＝sin（x＋φ）的单调性、最值和对称性时，令u＝x＋φ，然后按y＝sin u的性质来求解，这是“整体代换”思想的运用. 3.φ对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响 （1）函数y＝sin（ωx＋φ）与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点（0，0）平移到点　　.函数y＝sin（ωx＋φ）的图象，可以看作是将函数y＝sin ωx图象上的所有点　向左　（φ＞0）或　向右　（φ＜0）平移个单位长度得到的； （2）在函数y＝sin（ωx＋φ）中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称　φ　为初相，　ωx＋φ　为相位. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象.（　√　） （2）函数y＝sin的初相为，相位为x＋.（　√　） （3）函数y＝sin的图象是由y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的.（　√　） （4）要得到y＝sin的图象，只须把y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到.（　×　） 2.为了得到函数y＝cos的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　） A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度 解析：C　y＝cos x y＝cos（x＋）. 3.函数y＝sin的周期和初相分别是T＝2π和φ＝－. 解析：由题意得周期T＝＝2π，φ＝－. 题型一｜“五点法”作图 【例1】　用“五点法”作函数y＝sin的简图，并指出这个函数的周期、频率和初相. 解：（1）列表： x x－ 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 （2）描点：在直角坐标系中描出点，，，，. （3）连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示. （4）这样就得到了函数y＝sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度，得函数y＝sin的图象. 此函数周期为4π，频率为，初相为－. 通性通法 　　“五点法”作图的关键是列表，一般有下面两种列表方法： （1）分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想； （2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标. 【跟踪训练】 已知函数y＝sin.利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图. 解：下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象. 令X＝x＋，则x＝2X－. 先列表，后描点并画图. X 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 题型二｜图象平移变换 【例2】　函数y＝sin的图象，可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin的图象，可以看作是把函数y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的. 通性通法 　　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度. 【跟踪训练】 　要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：C　因为y＝sin＝sin， 所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin＝sin（2x＋）的图象. 题型三｜函数y＝sin（ωx＋φ）的性质与图象的应用 【例3】　设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x＝. （1）求此函数的解析式； 解：因为x＝是函数y＝f（x）的图象的对称轴，所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.因此y＝sin. （2）求函数y＝f（x）的单调递增区间. 解：由（1）知y＝sin. 由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数y＝sin的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）. 通性通法 函数y＝sin（ωx＋φ）单调性问题的解题策略 　　求y＝sin（ωx＋φ）的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围. 【跟踪训练】 函数y＝sin（ωx＋φ）在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时最大值为1，当x＝6π时，最小值为－1. （1）求此函数的解析式； 解：由题意得T＝5π，所以T＝10π， 所以ω＝＝，则y＝sin. 因为点（π，1）在此函数图象上，则sin＝1， 又因为0≤φ≤，有φ＝－＝， 所以y＝sin. （2）求此函数的单调递增区间. 解：当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，函数y＝sin单调递增. 所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]（k∈Z）. 1.函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式是（　　） A.y＝sin　　　　B.y＝sin C.y＝sin D.y＝sin 解析：D　函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后，所得的图象的函数解析式是y＝sin 2＝sin.故选D. 2.函数y＝sin在区间上的简图是（　　） 解析：A　当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C.故选A. 　　 3.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　） A.x＝－（k∈Z） B.x＝＋（k∈Z） C.x＝－（k∈Z） D.x＝＋（k∈Z） 解析：B　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象.由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即平移后图象的对称轴为x＝＋（k∈Z）. 4.若函数y＝sin（x－φ）（0≤φ≤π）是定义在R上的偶函数，则φ的值是（　　） A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D.π 解析：C　由题意，得sin（－φ）＝±1，即sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C. 5.已知函数y＝sin，则该函数的最小正周期、初相分别是10π，. 解析：由函数y＝sin的解析式知，最小正周期为T＝＝10π，初相为. 1.函数y＝2sin的频率和初相分别为（　　） A.， B.， C.， D.，－ 解析：A　函数y＝2sin的周期T＝＝π，频率为＝，初相是，故选A. 2.将函数f（x）＝sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（　　） A.y＝sin（2x＋） B.y＝sin（2x＋） C.y＝sin（2x－） D.y＝sin（2x－） 解析：B　将函数f（x）＝sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin ［2（x＋）］＝sin（2x＋）的图象.故选B. 3.为了得到y＝sin 2x，x∈R的图象，只需把y＝cos 2x，x∈R图象上所有的点（　　） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：B　由诱导公式可得y＝cos 2x＝sin＝sin 2，所以将函数图象上的点向右平移个单位长度，即可得到y＝sin 2x的图象.故选B. 4.如果函数f（x）＝sin（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（　　） A.3 B.6 C.12 D.24 解析：B　相邻两个零点之间的距离为，则周期为T＝2×＝，于是ω＝＝6. 5.〔多选〕要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin的图象（　　） A.先将图象向右平移，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 B.先将图象向右平移，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍 C.先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移 D.先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移 解析：AC　y＝sin＝sin 2向右平移个单位长度，得y＝sin 2x，再将横坐标扩大2倍得到y＝sin x，故A正确，B错误；y＝sin横坐标扩大2倍，得到sin，再向右平移个单位长度得到y＝sin x，故C正确，D错误.故选A、C. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝sin上一点P的横坐标为0，将y＝f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，那么下列选项中，t可能取的值为（　　） A.　　　　B.π C.　　　　D. 解析：BC　由题可知P，由f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数g（x）＝sin，因为函数g（x）＝sin的图象也过点P，所以sin＝，对A，sin＝1，错误；对B，sin＝，正确；对C，sin＝，正确；对D，sin＝－1，错误.故选B、C. 7.已知函数f（x）＝cos，则f（x）的最小正周期是4π；f（x）的对称中心是，k∈Z. 解析：由f（x）＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f（x）的对称中心是，k∈Z. 8.函数y＝2sin（－2x）＋1的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. 解析：y＝2sin（－2x）＋1＝－2sin（2x－）＋1，求它的单调递增区间，即求函数y＝sin（2x－）的单调递减区间.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z. 9.若将函数f（x）＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是. 解析：法一　f（x）＝sin的图象向右平移φ个单位长度得到函数y＝sin的图象，由函数y＝sin（2x＋－2φ）的图象关于y轴对称可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ＞0，所以φmin＝. 法二　由f（x）＝sin＝cos的图象向右平移φ个单位长度所得图象关于y轴对称可知2φ＋＝kπ，k∈Z，故φ＝－，又φ＞0，故φmin＝. 10.设函数f（x）＝sin，x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：（1）最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数f（x）的单调递增区间是 ［kπ－，kπ＋］（k∈Z）. （2）令t＝2x－， 则由≤x≤可得0≤t≤， 所以当t＝， 即x＝时，ymin＝－， 当t＝，即x＝时，ymax＝1. 11.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的一个值是（　　） A.　　　　　　　　　B. C. D. 解析：D　∵函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋），∴将y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin［2（x＋｜φ｜）＋］＝sin（2x＋2｜φ｜＋）.∵所得函数为偶函数，∴2｜φ｜＋＝kπ＋（k∈Z），解得｜φ｜＝＋（k∈Z），∴当k＝0时，｜φ｜＝.故φ的一个值是. 12.已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是（　　） A. B.（0，2] C. D. 解析：C　∵函数f（x）＝sin（ω＞0）在上单调递减，∴周期T＝≥π，解得0＜ω≤2.∵f（x）＝sin的单调递减区间满足＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，∴存在k∈Z，使＋≤，＋≥π均成立.此时＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z，∴≤ω≤，即ω的取值范围是，故选C. 13.已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）在一个周期内，当x＝时有最大值1，当x＝时有最小值－1，则ω＝2. 解析：由题意知T＝2×＝π，所以ω＝＝2. 14.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值. 解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x）， 即函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴f（x）在x＝0时取得最值.即sin φ＝±1， 又0≤φ≤π，∴φ＝， 由f（x）的图象关于点M对称， 可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z. 又∵f（x）在上是单调函数， ∴T≥π，即≥π，∴0＜ω≤2. ∴当k＝1时，ω＝，当k＝2时，ω＝2， 综上，可知φ＝，ω＝或2. 15.〔多选〕将函数f（x）＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　） A.函数g（x）的图象关于y轴对称 B.函数g（x）的最小正周期为2π C.函数g（x）在上单调递减 D.直线x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴 解析：AD　由题意g（x）＝sin＝sin＝－cos 2x，g（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝g（x），是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；最小正周期是T＝＝π，B错；x∈时，2x∈（0，π），y＝cos 2x单调递减，g（x）单调递增，C错；g（π）＝－cos 2π＝－1，x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴，D正确.故选A、D. 16.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象. （1）求函数f（x）的解析式； （2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的取值范围. 解：（1）将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin. （2）令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），则4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z），又x∈[0，3π]，所以x∈，f（x）单调递增，x∈，f（x）单调递减，x∈，f（x）单调递增，所以f（x）max＝1，f（x）min＝－1，当x＝0时，y＝，当x＝3π时，y＝－.故使方程f（x）＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1，1}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $