第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（北师大版）

3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 1 1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化（数学抽象、数学运算）. 2.理解1弧度的角的定义，体会引入弧度制的必要性（数学抽象）. 3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的 .这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点一　弧度制与角度制 1. 度量角的两种制度 角度 制 定义 用度作为单位来度量角的方法 1度的角 1度的角等于周角的 ，记作1° 弧度 制 定义 以 ⁠作为单位来度量角的方法 1弧度 的角 在单位圆中，把 的弧所对的圆心角称为1 弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写） 　 弧度　 长度等于1　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 弧度数的计算 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 弧度与角度的换算 　　提醒：（1）用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可 以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可；（2）不管是以弧度还是以 度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【想一想】 1. 一个角的度数是否对应一个弧度数？ 提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的. 2. 在半径大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？ 提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在半径大小不同 的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 知识点二　扇形的弧长和面积公式 　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 （1）弧长公式：l＝ ⁠； （2）扇形面积公式：S＝ 　 lr　＝ 　 αr2　. αr　 　　提醒：在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧 度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧 度”，再代入计算. lr　 αr2　 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. （　√　） （2）1°的角是周角的 ，1 rad的角是周角的 . （　√　） （3）扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝rα＝1×30＝ 30（cm）. （　×　） √ √ × 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 〔多选〕下列转化结果正确的是（　　） A. 60°化成弧度是 B. － π化成度是－600° C. －150°化成弧度是－ π D. 化成度是15° √ √ √ 3. 圆心角为 弧度，半径为6的扇形的面积为 ⁠. 解析：扇形的面积为S＝ αr2＝ ×62× ＝6π. 6π 数学·必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜角度制与弧度制的互化 【例1】　（1）将下列各角度化为弧度： ①112°30'；②－315°. 解：①因为1°＝ rad， 所以112°30'＝112.5× rad＝ rad. ②－315°＝－315× rad＝－ rad. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）将下列各弧度化为角度： ①－ ；② . 解：①因为1 rad＝ ， 所以－ ＝－ × ＝－75°. ② ＝ × ＝1 140°. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 角度制与弧度制互化的原则和方法 （1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝ 进行 换算； （2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝α· ； n°＝n· rad. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 把下列角度化为弧度： （1）－300°＝ ⁠； 解析：－300°＝－300× ＝－ . （2）22°30'＝ ⁠. 解析：22°30'＝22.5°＝22.5× ＝ . － ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 把下列弧度化为角度： （1） ＝ ⁠； 解析： ＝ × ＝690°. （2）－ ＝ ⁠. 解析：－ ＝－ × ＝－40°. 690° －40° 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜用弧度制表示角的集合 【例2】　把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第 几象限角并写出与α终边相同的角的集合. （1）－ ； 解：－ ＝－8×2π＋ ，它是第二象限角，与 终边相同的角的集合 为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）－1 485°. 解：－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋ ， 它是第四象限角，与 终边相同的角的集合为 . 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 弧度制下与角α终边相同的角的表示 　　在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α， k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 提醒：（1）角度与弧度不能混用； （2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为 ⁠. 解析：150°＝150× ＝ ，故与150°角终边相同的角的集合为 . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 题型三｜扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧 度数. 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去. 当R＝4时，l＝2，此时，θ＝ ＝ （rad）. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【母题探究】 （变条件，变设问）已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值 时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为r，面 积为S， 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r ， 所以S＝ l·r＝ ×（4－2r）×r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，所以当 r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此，θ＝ ＝ ＝2（rad）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ lR＝ αR2（其中l是扇形 的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π）； （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问 题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、 扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 解：已知扇形的圆心角α＝60°＝ ，半径r＝10 cm， 则弧长l＝α·r＝ ×10＝ （cm）， 于是面积S＝ lr＝ × ×10＝ （cm2）. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 1.1 920°转化为弧度数是（　　） A. B. C. D. 解析：　1 920°＝1 920× ＝ . √ 2. 将 弧度化成角度为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： rad＝ × ＝120°.故选C. √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 若α＝－2 rad，则α的终边在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 √ 4. 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（　　） A. π B. － π C. π D. － π √ 解析：　显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了 周，转过 的弧度为－ ×2π＝－ π. 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为 ⁠. 解析：由题意可知 所以 所以S＝ lr＝ . ​ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. －120°化为弧度为（　　） A. － π B. － C. － π D. － π 解析：由于1°＝ rad，所以－120°＝－120× ＝－ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数学·必修第二册（BSD） 目 录 2. 角 终边所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　 ＝2π＋ ， 是第一象限角，故 是第一象限角. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 3. 集合 中角所表示的范围（阴影部分）是 （　　） 解析：k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分（包含边界），k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 4. 如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为 ，则A， B两点间的距离为（　　） A. R B. R C. R D. 2R 解析：　设 所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝ ，所以α＝ ， 所以AB＝2R sin ＝2R sin ＝2R× ＝ R，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 5. 〔多选〕与 终边相同的角的表达式中，正确的是（　　） A. 45°＋2kπ，k∈Z B. k·360°＋ ，k∈Z C. k·360°＋45°，k∈Z D. 2kπ－ π，k∈Z 解析：弧度和角度不能在同一个表达式中，A、B错误；与 终边相同的角的集合是{α｜α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝{α｜α＝m·360°＋45°，m∈Z}，经验证，C、D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 6. 〔多选〕若2π＜α＜4π，且角α的终边与角－ π的终边垂直，则α＝（　　） A. π B. π C. π D. π √ √ 解析：与角－ π的终边垂直的角可分为两类：一类是与角 的终边相同，其表示形式为 ＋2kπ（k∈Z）；另一类是与角 的终边相同，其表示形式为 ＋2kπ（k∈Z）.故当α∈（2π，4π）时，满足条件的角α可以是 π或 π，故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 7. －105°化为弧度为 　－ π　， 化为角度为 ⁠. 解析：－105°＝－105× ＝－ π， π＝ π× ＝660°. － π 660° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 8. 如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的 倍，则该弧所 对的圆心角是原来的 倍. 解析：设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为 .将半径变为原来的一半， 弧长变为原来的 倍，则弧度数变为 ＝3· ，即弧度数变为原来的3倍. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 9. 已知集合A＝{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x｜－4≤x≤4}， 则A∩B＝ ⁠. 解析：当k＝0时，A＝{x｜0≤x≤π}，此时A∩B＝{x｜0≤x≤π}；当k ＝－1时，A＝{x｜－2π≤x≤－π}，此时A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}； 当k≤－2或k≥1时，A∩B＝∅.综上可得A∩B＝{x｜－4≤x≤－ π}∪{x｜0≤x≤π}. [－4，－π]∪[0，π] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 10. 已知角α＝－920°. （1）把角α写成2kπ＋β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α的终边所 在的象限； 解：因为α＝－920°＝－3×360°＋160°，160°＝ ，所以α＝－920°＝（－3）×2π＋ . 因为角α与 终边相同，所以角α的终边在第二象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）若角γ与α的终边相同，且γ∈（－4π，－3π），求角γ. 解：因为角γ与α的终边相同， 所以设γ＝2kπ＋ （k∈Z）. 因为γ∈（－4π，－3π）， 由－4π＜2kπ＋ ＜－3π，可得－ ＜k＜－ . 又因为k∈Z，所以k＝－2. 所以γ＝－4π＋ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 11. 在如图所示的单位圆O中，当∠BOC的取值范围为（0，π）时， ∠BOC的“古典正弦”为弦BC的长.根据以上信息，当∠BOC所对的 的长为 时，∠BOC的“古典正弦”为（　　） A. 2 B. C. 2 sin D. sin 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：　由题意可得OB＝OC＝1，由弧长与半径的比值等于圆心角，可 得当∠BOC所对的 的长为 时，∠BOC＝ ，所以由勾股定理可得BC ＝ ，即当∠BOC所对的 的长为 时，∠BOC的“古典正弦”为 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个点，点B的坐标为（1，0）， ∠xOA＝ ，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方 向开始在单位圆上运动，则（　　） A. 1 s时，∠BOA的弧度数为 ＋3 B. s时，扇形AOB的弧长为 C. s时，扇形AOB的面积为 D. s时，点A、点B在单位圆上第一次重合 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为 －1，A不正确； s时，∠BOA的弧度数为 ＋ －2× ＝ ，故扇形AOB的弧长为 ×1＝ ，B正确； s时，∠BOA的弧度数为 ＋ －2× ＝ ，故扇形AOB的面积为S＝ × ×12＝ ，C正确；设t s时，点A、点B在单位圆上第一次重合，则t＋ ＝2t，解得t＝ ，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 13. 扇形圆心角为 ，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比 为 ⁠. 解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝ ，所以S圆＝π· ＝ ，S扇＝ a2· ＝ ，所以 ＝ . 2∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 14. 在一块顶角为 ，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形， 现有如图所示的两种方案. （1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：∵△OAB是顶角为 ，腰 长为2的等腰三角形，∴A＝B＝ ， OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2× ＝4＋ ， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1× ＝2＋ ， ∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为 ＝2－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）比较两种方案中扇形面积的大小. 解：方案一中扇形的面积S1＝ × ×22＝ ， 方案二中扇形的面积S2＝ × ×12＝ ， ∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 15. 斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建 筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩 形ABCD（ ＝ ）中作正方形ABFE，以F为圆心， AB长为半径作 ；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作 ；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记 ， ， 的长度分别为l，m，n，则l ⁠m＋n（填“＞”“＜”或“＝”）. ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解析：不妨设AB＝ －1，则BC＝2，所以l＝ ＝ ×（ －1）， ED＝2－（ －1）＝3－ ，所以m＝ ＝ ×（3－ ），CG＝ －1－（3－ ）＝2 －4，所以n＝ ＝ ×（2 －4）＝（ －2） π，所以m＋n＝ ×（3－ ）＋ ×（2 －4）＝ ×（ －1）＝l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 16. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧 田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和 弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差. （1）当圆心角的弧度数为 ，矢为2时，求“弧田”（如图阴影部分所 示）的面积； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 解：依题意，如图所示，其中CD＝2，∠AOB＝ ， 令圆弧的半径为R， 所以OD＝R cos ＝ ，即CD＝OC－OD＝R－ ＝2， 解得R＝4， 所以“弧田”面积S＝S扇形OACB－S△AOB＝ πR2－ ·OD·AB. 又AB＝2R sin ＝ R，所以S＝ －4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 （2）已知该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，扇形周长是一定值c（c ＞0），当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 解：由题意知弧长ACB为αr，即该扇形周长为αr＋2r＝c， 扇形面积S＝ r2， 所以S＝ ＝ ≤ ＝ ，当且仅 当α＝ ，即α＝2时，等号成立，故当α为2弧度时，该扇形 面积最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数学·必修第二册（BSD） 目 录 $