第1章 4.4 诱导公式与旋转(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.4　诱导公式与旋转 课标要求 1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 　　我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？ 【问题】　（1）－α与α的终边有什么关系？ （2）如何求＋α的三角函数值？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　±α的诱导公式 　对任意角α，有下列关系式成立： sin＝　cos α　，cos＝　－sin α　. sin＝　－cos α　，cos＝　sin α　. 　　提醒：±α的诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法，±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀，“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”. 知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 　　函数 角 正弦 余弦 α＋2kπ（k∈Z） sin α cos α α＋π －sin α －cos α －α －sin α cos α π－α sin α －cos α α－π －sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）sin（90°＋α）＝－cos α.（　×　） （2）cos＝－sin α.（　×　） （3）cos（180°＋α）＝sin（90°＋α）.（　×　） （4）诱导公式中的角α只能是锐角.（　×　） 2.sin 95°＋cos 175°＝（　　） A.sin 5°　　B.cos 5°　　C.0　　D.2sin 5° 解析：C　原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 3.若sin α＝，则cos＝. 解析：cos＝sin α＝. 题型一｜利用诱导公式化简 【例1】　化简：，其中k∈Z. 解：当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），则 原式＝ ＝＝＝1. 当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z）. 仿上化简得：原式＝1.故原式＝1. 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽可能不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值. 【跟踪训练】 化简：. 解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α， cos＝cos＝cos＝－sin α，sin＝sin＝－sin α， cos（π－α）＝cos［4π－（＋α）］＝cos（＋α）＝－sin α，∴原式＝＝＝1. 题型二｜利用诱导公式求值 【例2】　（1）已知f（α）＝ ，则f的值为（　B　） A.－　　　B.　　　C.－　　　D. 解析：∵f（α）＝ ＝＝cos α， ∴f＝cos＝cos＝. （2）已知sin＝，则cos＝. 解析：cos＝cos ＝sin＝. 【母题探究】 （变条件，变设问）将本例（2）的条件中“－”改为“＋”，求cos的值. 解：cos＝cos ＝－sin＝－. 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名. 【跟踪训练】 1.已知sin＝，则cos＝（　　） A.　　　　　　　　B.－ C. D.－ 解析：D　cos＝cos＝－sin＝－. 2.已知sin＝，那么cos α＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　sin＝sin＝sin＝cos α＝. 题型三｜利用诱导公式证明恒等式 【例3】　求证：·sin（α－）cos（＋α）＝－cos2α. 证明：左端＝·sin［－（－α）］·（－sin α）＝·［－sin（－α）］（－sin α） ＝·（－cos α）（－sin α） ＝－cos2α＝右端，故原式成立. 通性通法 　　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： （1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子； （3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. 【跟踪训练】 已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证： cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）. 证明：cos（－）＝sin［－（－）］＝sin（＋）. ∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴＝－，即＝－， ∴cos（－）＝cos［－（－）］＝cos（－＋）＝cos（－）， ∴cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）. 1.若sin＜0，且cos＞0，则θ是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：B　由于sin＝cos θ＜0，cos＝sin θ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B. 2.若cos（2π－α）＝，则sin＝（　　） A.－ B.－ C. D.± 解析：A　∵cos（2π－α）＝，∴cos α＝，∴sin＝sin＝－sin＝－cos α＝－. 3.化简：sin（π＋α）cos＋cos·sin（π＋α）＝0. 解析：原式＝－sin α·sin α＋sin α·sin α＝0. 4.求证：＝sin θ. 证明：左边＝ ＝＝sin θ＝右边. ∴原等式成立. 1.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝（　　） A.a B.－a C.a2 D. 解析：A　cos 64.7°＝cos（90°－25.3°）＝sin 25.3°＝a. 2.若sin（3π＋α）＝－，则cos＝（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：A　∵sin（3π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝.∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－. 3.已知角α的终边经过点P（4，－3），则sin（＋α）·cos（－α）＝（　　） A.－　　　B. C.－　　　D. 解析：A　因为角α的终边经过点P（4，－3），所以sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin（＋α）·cos（－α）＝cos αsin α＝×（－）＝－. 4.若sin（＋α）＝，则cos（－α）＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析：B　因为（－α）＋（＋α）＝，所以cos（－α）＝cos［－（＋α）］＝sin（＋α）＝，故选B. 5.〔多选〕下列与cos的值相等的是（　　） A.sin（π－θ） B.sin（π＋θ） C.cos D.cos 解析：BD　cos＝cos＝－cos＝－sin θ；sin（π－θ）＝sin θ；sin（π＋θ）＝－sin θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ. 6.〔多选〕若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（　　） A.cos（A＋B）＝cos C B.sin（A＋B）＝sin C C.cos ＝sin B D.sin ＝cos 解析：BD　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，cos ＝cos＝sin ，sin ＝sin＝cos .故选B、D. 7.已知sin（π＋α）＝－，则cos＝－. 解析：因为sin（π＋α）＝－sin α＝－，所以sin α＝.cos＝cos＝－sin α＝－. 8.若对任意x∈R，cos（x－φ）＝sin x恒成立，则常数φ的一个取值为（答案不唯一）. 解析：因为对任意x∈R，cos（x－φ）＝sin［－（x－φ）］＝sin（－x＋φ）＝sin（π－x）恒成立，所以－x＋φ＝π－x＋2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，可得φ＝，常数φ的一个取值可以为. 9.已知sin（α－3π）＝2cos（α－4π），则＝－. 解析：∵sin（α－3π）＝2cos（α－4π），∴－sin（3π－α）＝2cos（4π－α），∴－sin（π－α）＝2cos（－α），∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－. 10.已知f（α）＝. （1）化简f（α）； （2）若cos（α－π）＝，求f（α）的值. 解：（1）f（α）＝＝－cos α. （2）因为cos（α－π）＝，所以cos α＝－， 所以f（α）＝－cos α＝. 11.已知cos（75°＋α）＝，则sin（α－15°）＋cos（105°－α）的值是（　　） A. B. C.－ D.－ 解析：D　∵cos（75°＋α）＝，∴sin（α－15°）＋cos（105°－α）＝sin[（α＋75°）－90°]＋cos[180°－（α＋75°）]＝－cos（75°＋α）－cos（75°＋α）＝－.故选D. 12.已知cos（α＋）＝，则cos（－α）＝－，sin（α－）＝－. 解析：cos（－α）＝cos［π－（α＋）］＝－cos（α＋）＝－.sin（α－）＝sin［（α＋）－］＝－cos（α＋）＝－. 13.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点（，－）. （1）若角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则sin β＝，cos β＝； （2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则sin β＝－，cos β＝－； （3）若角α的终边按顺时针方向旋转后与角β的终边重合，则sin β＝－，cos β＝－. 解析：因为角α的终边与单位圆交于点（，－），所以sin α＝－，cos α＝. （1）因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点（，），所以sin β＝，cos β＝. （2）因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点（－，－），所以sin β＝－，cos β＝－. （3）由题意得β＝α－＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin（α－＋2kπ）＝sin（α－）＝sin（α－－2π）＝sin（α－）＝－sin（－α）＝－cos α＝－，cos β＝cos（α－＋2kπ）＝cos（α－）＝cos（α－－2π）＝cos（α－）＝cos（－α）＝sin α＝－. 14.在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，n），且cos＝，α∈，求m的值. 解：cos＝cos＝cos＝－cos＝－sin α＝，即sin α＝－. 又因为角α的终边与单位圆交于点P（m，n）， 所以解得或 因为α∈，所以角α的终边在第三象限，故m＝－. 15.已知f（x）＝sin x＋cos x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x＋π）＝sin x＋cos x B.f（π－x）＝sin x＋cos x C.f＝sin x＋cos x D.f＝sin x＋cos x 解析：D　由f（x＋π）＝sin（x＋π）＋cos（x＋π）＝－sin x－cos x，f（π－x）＝sin（π－x）＋cos（π－x）＝sin x－cos x，f＝sin＋cos＝cos x－sin x，f＝sin＋cos＝cos x＋sin x，故选D. 16.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P（，），将角α的终边按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B，其中θ∈（0，）. （1）求的值； （2）记点B的横坐标为f（θ），若f（θ－）＝，求sin（－θ）－cos（θ－）的值. 解：（1）由题意得cos α＝， 所以＝＝2cos α＝1. （2）由（1）可知cos α＝，且α为锐角， 故α＝，f（θ）＝cos（θ＋）， 所以f（θ－）＝cos（θ＋）＝， 所以sin（－θ）－cos（θ－）＝cos［－（－θ）］－cos［（θ＋）－π］＝cos（＋θ）－［－cos（＋θ）］＝2cos（＋θ）＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $