第1章 4.3 诱导公式与对称(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 课标要求 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式（数学抽象）. 2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题（数学运算、逻辑推理）. 　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，圆有很好的对称性：既是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　诱导公式 终边关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin（－α）＝　－sin α　； cos（－α）＝　cos α sin（π＋α）＝　－sin α　； cos（π＋α）＝　－cos α　； sin（α－π）＝　－sin α　； cos（α－π）＝　－cos α sin（π－α）＝　sin α　； cos（π－α）＝　－cos α 特点 （1）公式两边的函数名称一致； （2）将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 　　提醒：诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式中角α是任意角.（　√　） （2）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（　×　） （3）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（　×　） （4）cos（－α－β）＝cos（α＋β）.（　√　） 2.cos 300°＋sin 450°＝（　　） A.－1＋　　B.　　C.－1－　　D. 解析：D　原式＝cos（360°－60°）＋sin（360°＋90°）＝cos（－60°）＋sin 90°＝cos 60°＋1＝. 3.若cos（π－α）＝，则cos α＝－. 解析：∵cos（π－α）＝－cos α， ∴－cos α＝，即cos α＝－. 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列三角函数式的值： （1）sin 495°·cos（－675°）； 解：sin 495°·cos（－675°） ＝sin（135°＋360°）·cos 675° ＝sin 135°·cos 315° ＝sin（180°－45°）·cos（360°－45°） ＝sin 45°·cos 45° ＝×＝. （2）sin＋cos . 解：sin＋cos ＝－sin ＋cos ＝－sin＋cos ＝－sin ＋cos ＝－sin－cos ＝sin －cos ＝－＝0. 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”——用sin（－α）＝－sin α，cos（－α）＝cos α转化； （2）“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角； （3）“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角； （4）“求值”——得锐角三角函数后求值. 【跟踪训练】 求下列各三角函数式的值： （1）sin 1 320°；（2）cos. 解：（1）法一　sin 1 320°＝sin（3×360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－. 法二　sin 1 320°＝sin（4×360°－120°）＝sin（－120°）＝－sin（180°－60°）＝－sin 60°＝－. （2）法一　cos＝cos ＝cos＝cos＝－cos ＝－. 法二　cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 题型二｜给值（式）求值问题 【例2】　（1）已知sin（π＋α）＝－0.3，则sin（2π－α）＝－0.3； 解析：∵sin（π＋α）＝－0.3，sin（π＋α）＝－sin α， ∴sin α＝0.3.∴sin（2π－α）＝－sin α＝－0.3. （2）已知cos＝，则cos＝－. 解析：∵＋α＝π－，∴cos＝cos＝－cos（－α）＝－. 通性通法 解决条件求值问题的策略 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系； （2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. 【跟踪训练】 已知sin β＝，cos（α＋β）＝－1，则sin（α＋2β）＝－. 解析：∵cos（α＋β）＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴α＋2β＝（α＋β）＋β＝2kπ＋π＋β.∴sin（α＋2β）＝sin（2kπ＋π＋β）＝sin（π＋β）＝－sin β＝－. 题型三｜三角函数式的化简 【例3】　化简下列各式： （1）·sin（π＋α）cos（－α）； 解：原式＝·（－sin α）cos α ＝·（－sin α）cos α＝sin2 α. （2）. 解：原式＝ ＝＝cos α. 通性通法 利用诱导公式化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等. 【跟踪训练】 　化简下列各式： （1）； 解：原式＝ ＝＝1. （2）. 解：原式＝ ＝＝＝＝－. 1.cos（－780°）＝（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　因为cos（－780°）＝cos 780°＝cos（2×360°＋60°）＝cos 60°＝，故选C. 2.已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（　　） A.sin α＝sin β B.sin（α－2π）＝sin β C.cos α＝cos β D.cos（2π－α）＝－cos β 解析：C　由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ（k∈Z），故sin α＝－sin β，cos α＝cos β.故选C. 3.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos（π－θ）的值为（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：C　∵角θ的终边与单位圆交于点P（－，），∴cos θ＝－.∴cos（π－θ）＝－cos θ＝. 4.若k为整数，则sincos＝－. 解析：分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k＝2n（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝－sin ·cos ＝－×＝－；当k＝2n＋1（n∈Z）时，原式＝sin·cos＝sin ·cos＝sin ＝×＝－.综上，sincos＝－. 1.sin＝（　　） A.　　　B.－　　　C.　　　D.－ 解析：D　由题意可得sin＝－sin ＝－. 2.sin 240°＋cos（－150°）＝（　　） A.－ B.－1 C.1 D. 解析：A　sin 240°＋cos（－150°）＝sin（180°＋60°）＋cos（180°－30°）＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－. 3.若sin（θ＋2π）＜0，cos（θ－π）＞0，则θ为（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：C　∵sin（θ＋2π）＝sin θ＜0，cos（θ－π）＝cos（π－θ）＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，∴θ为第三象限角. 4.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（　　） A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝－cos β 解析：B　对于A、B选项，因为α＋β＝180°，所以α＝180°－β.cos α＝cos（180°－β）＝－cos β，故A选项错误，B选项正确；对于C选项，sin α＝sin（180°－β）＝sin β，故C选项错误；对于D选项，由于sin α＝sin β，所以sin α＝－cos β不一定成立，故D选项错误. 5.〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（　　） A.cos 210° B.sin C.sin D.cos（－1 920°） 解析：AD　A.cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－＜0.B.sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝＞0.C.sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝＞0.D.cos（－1 920°）＝cos 1 920°＝cos（5×360°＋120°）＝cos 120°＝cos（180°－60°）＝－cos 60°＝－＜0. 6.〔多选〕已知n∈Z，则下列三角函数中，与sin 的值相同的是（　　） A.sin B.cos C.sin D.cos 解析：BC　对于A，当n＝2k，k∈Z时，sin＝sin＝sin π＝sin＝－sin ，所以A错误，对于B，cos＝cos ＝＝sin ，所以B正确，对于C，sin＝sin ，所以C正确，对于D，cos＝cos＝cos＝－cos ＝－＝－sin ，所以D错误，故选B、C. 7.计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0. 解析：原式＝（cos＋cos）＋（cos＋cos）＋（cos＋cos）＝［cos＋cos（π－）］＋［cos＋cos（π－）］＋［cos＋cos（π－）］＝（cos－cos）＋（cos－cos）＋（cos－cos）＝0. 8.若cos（π＋α）＝－，π＜α＜2π，则cos（α－2π）＝. 解析：由cos（π＋α）＝－，得cos α＝，故cos（α－2π）＝cos α＝. 9.如果A为△ABC的内角，sin（π＋A）＝－，那么cos（π－A）＝±. 解析：因为sin（π＋A）＝－，所以－sin A＝－，即sin A＝，又A为△ABC的内角，即0＜A＜π，所以A＝或A＝.因为cos（π－A）＝－cos A，cos A＝或cos A＝－，所以cos（π－A）＝－或cos（π－A）＝. 10.化简下列各式： （1）sincos π； （2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°sin（－210°）. 解：（1）sincos π ＝－sincos ＝sin cos ＝. （2）sin（－960°）cos 1 470°－cos 240°·sin（－210°） ＝－sin（180°＋60°＋2×360°）·cos（30°＋4×360°）＋cos（180°＋60°）·sin（180°＋30°） ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°·sin 30°＝1. 11.〔多选〕在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是 （　　） A.sin（α＋π）＝sin β B.sin（α－π）＝sin β C.sin（2π－α）＝－sin β D.sin（2π＋α）＝sin β 解析：CD　因为α与β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ（k∈Z），sin β＝sin（2kπ＋π－α）＝sin α，sin（α＋π）＝－sin α，则sin（α＋π）＝sin β不恒成立，A错误；sin（α－π）＝－sin α，则sin（α－π）＝sin β不恒成立，B错误；sin（2π－α）＝－sin α，则sin（2π－α）＝－sin β恒成立，C正确；sin（2π＋α）＝sin α，则sin（2π＋α）＝sin β恒成立，D正确. 12.〔多选〕在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是（　　） A.sin（A＋B）＋sin C B.cos（A＋B）＋cos C C.sin（2A＋2B）＋sin 2C D.cos（2A＋2B）＋cos 2C 解析：BC　A项，sin（A＋B）＋sin C＝2sin C；B项，cos（A＋B）＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；C项，sin（2A＋2B）＋sin 2C＝sin[2（A＋B）]＋sin 2C＝sin[2（π－C）]＋sin 2C＝sin（2π－2C）＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；D项，cos（2A＋2B）＋cos 2C＝cos[2（A＋B）]＋cos 2C＝cos[2（π－C）]＋cos 2C＝cos（2π－2C）＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.故选B、C. 13.已知函数f（x）＝sin 2x，若存在非零实数a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝，b＝－1（答案不唯一）.（只需写出一组） 解析：当a＝时，f＝sin（2x＋π）＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对任意x∈R都成立. 14.在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，求的值. 解：∵在直角坐标系中，角α的终边与单位圆相交于点P，由正弦函数、余弦函数的定义得cos α＝，sin α＝－，＝＝＝. 15.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a，则cos （＋）＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：B　根据“数字黑洞”的定义，任取数字0，第一步之后变为101，第二步之后变为123，接着变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，故cos（＋）＝cos（＋）＝cos（π＋）＝－cos ＝－.故选B. 16.已知f（x）＝（n∈Z）. （1）化简f（x）的表达式； （2）求f. 解：（1）当n为偶数，即n＝2k（k∈Z）时， f（x）＝ ＝＝ ＝sin2x； 当n为奇数，即n＝2k＋1（k∈Z）时， f（x）＝ ＝＝ ＝sin2x. 综上得f（x）＝sin2x. （2）由（1）知f＝sin2π ＝sin2（675π＋）＝sin2＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $