第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课标要求 1.能利用三角函数的定义，理解正弦函数、余弦函数的基本性质（数学抽象）. 2.初步运用性质解决相关问题（数学运算、逻辑推理）. 　　地球自转会引起昼夜的交替变化，而公转引起四季交替变化，角α的终边绕原点O旋转，其终边位置也呈现周期性变化. 【问题】　角α对应的正（余）弦函数的性质有哪些？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　正、余弦函数的性质 正弦函数（v＝sin α） 余弦函数（u＝cos α） 定义域 R 值域 [－1，1] 最小值 当α＝　－＋2kπ，k∈Z　时，vmin＝－1 当　α＝π＋2kπ，k∈Z　时，umin＝－1 最大值 当　α＝＋2kπ，k∈Z　时，vmax＝1 当α＝　2kπ，k∈Z　时，umax＝1 正弦函数（v＝sin α） 余弦函数（u＝cos α） 周期性 周期函数，最小正周期为　2π 单调性 在区间　［2kπ－，2kπ＋］　，k∈Z上单调递增；在区间　［2kπ＋，2kπ＋π］　，k∈Z上单调递减 在区间　[2kπ，π＋2kπ]　，k∈Z上单调递减；在区间　[－π＋2kπ，2kπ]　，k∈Z上 单调递增 　　提醒：正弦函数和余弦函数都具有周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系，即如果给定一个角，它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个正弦函数值和余弦函数值，却有无穷多个角与之对应. 知识点二　正弦函数值和余弦函数值的符号 　如图所示： 正弦：　一、二　象限正，　三、四　象限负； 余弦：　一、四　象限正，　二、三　象限负. 【想一想】 若sin α＞0，则α的终边一定在第一或第二象限吗？ 提示：不一定.α的终边也可能在y轴非负半轴上. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.（　√　） （2）正弦函数y＝sin α在R上不是单调函数.（　√　） （3）只有α＝＋2kπ，k∈Z时，sin α＝－1.（　√　） 2.已知sin θ·cos θ＜0，那么角θ是（　　） A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角 解析：D　∵sin θ·cos θ＜0，∴或 ∴θ在第二象限或第四象限. 3.函数y＝－2sin x的定义域是R，值域是[－2，2]，最小正周期是2π，在区间［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）上单调递增，在区间［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）上单调递减. 题型一｜正、余弦函数的定义域 【例1】　求下列函数的定义域： （1）y＝； 解：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即{x｜2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}. （2）y＝lg＋. 解：（由题意知，自变量x应满足不等式组 即 则不等式组的解集如图（阴影部分）所示， ∴{x｜2kπ＋≤x＜2kπ＋，k∈Z}. 通性通法 利用单位圆解三角不等式的方法 （1）求解形如sin α≥a，sin α≤a（｜a｜＜1）的不等式的具体方法为： ①如图，画出单位圆； ②在y轴上截取OM＝｜a｜，过点M（0，a）作y轴的垂线，交单位圆于P，P'两点，作射线OP，OP'； ③写出以射线OP与OP'为终边的角； ④图中阴影部分（包括边界）为满足不等式sin α≤a的角α的终边的范围，空白部分（包括边界）为满足不等式sin α≥a的角α的终边的范围. （2）求解形如cos α≥a，cos α≤a（｜a｜＜1）的不等式的具体方法为： ①如图，画出单位圆； ②在x轴上截取OM＝｜a｜，过点M（a，0）作x轴的垂线，交单位圆于P，P'两点，作射线OP，OP'； ③写出以射线OP与OP'为终边的角； ④图中阴影部分（包括边界）为满足不等式cos α≤a的角α的终边的范围，空白部分（包括边界）为满足不等式cos α≥a的角α的终边的范围. 【跟踪训练】 函数y＝的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 解析：要使有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－，结合单位圆（如图），知x的取值范围是［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z. 题型二｜正、余弦函数的单调性 【例2】　（1）在区间[0，2π]上，使y＝sin x与y＝cos x都单调递减的区间是（　　） A.［0，］ B.［，π］ C.［π，］ D.［，2π］ 解析：B　在区间[0，2π]上，y＝sin x的单调递减区间是［，］，y＝cos x的单调递减区间是[0，π]，所以y＝sin x和y＝cos x都单调递减的区间是［，］∩[0，π]＝［，π］.故选B. （2）求函数y＝－cos x，x∈［－，π］的单调区间. 解：函数y＝－cos x，x∈［－，π］与函数y＝cos x，x∈［－，π］的单调性相反，结合单位圆可知函数y＝cos x，x∈［－，π］在［－，0］上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以函数y＝－cos x，x∈［－，π］的单调递减区间为［－，0］，单调递增区间为[0，π]. 通性通法 　　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并. 【跟踪训练】 求下列函数的单调区间： （1）y＝sin x，x∈[－π，π]； 解：y＝sin x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为［－，］，单调递减区间为［－π，－］，［，π］. （2）y＝cos x，x∈[－π，π]. 解：y＝cos x在x∈[－π，π]上的单调递增区间为[－π，0]，单调递减区间为[0，π]. 题型三｜正、余弦函数的值域与最值 【例3】　（1）求函数v＝－2sin α，α∈［－，）的值域； 解：在单位圆中，［－，）范围内的角如图1中阴影部分所示. α＝－∈［－，），此时vmax＝－2sin（－）＝2； α＝∈［－，），此时vmin＝－2sin＝－2. 结合单位圆知函数的值域为[－2，2]. （2）求函数u＝－cos α，α∈［，］的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时的自变量α的值. 解：在单位圆中，［，］范围内的角如图2中阴影部分所示. 所以当α＝π时，u＝－cos α取到最大值，最大值为－cos π＝. 当α＝时，u＝－cos α取到最小值，最小值为－cos＝－×＝－. 通性通法 1.求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助单位圆结合正、余弦函数的单调性进行分析. 2.对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论. 【跟踪训练】 　函数y＝3＋2cos x的最小值为1. 题型四｜正、余弦函数值符号的判定及应用 【例4 】　（1）判断sin 340°cos 265°的符号； 解：因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°＜0，cos 265°＜0. 所以sin 340°cos 265°＞0. （2）若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限. 解：因为sin 2α＞0，所以2kπ＜2α＜2kπ＋π（k∈Z）， 所以kπ＜α＜kπ＋（k∈Z）. 当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），有2mπ＜α＜2mπ＋（m∈Z）； 当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z），有2mπ＋π＜α＜2mπ＋（m∈Z）. 所以α为第一或第三象限角. 又由cos α＜0，可知α为第三象限角. 通性通法 正弦、余弦函数值的正负规律 【跟踪训练】 （1）判断的符号； 解：∵2∈，3∈，4∈，6∈，∴sin 2＞0，cos 3＜0，sin 4＜0，cos 6＞0， ∴＞0. （2）若sin α＞0，cos α＜0，判断角α所在象限. 解：∵sin α＞0，∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上.∵cos α＜0，∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上. 故当sin α＞0且cos α＜0时，α在第二象限. 1.函数f（x）＝2sin x的最小正周期为（　　） A.2π　　　　　　　　 B. C.π D. 解析：A　∵函数y＝sin x的最小正周期为2π，∴函数f（x）＝2sin x的最小正周期为2π. 2.函数y＝cos x的一个单调递增区间为（　　） A.（－，） B.（0，π） C.（，） D.（π，2π） 解析：D　当x∈（－，0）时，y＝cos x单调递增；当x∈（0，π）时，y＝cos x单调递减；当x∈（π，2π）时，y＝cos x单调递增.故选D. 3.下列三角函数值的符号判断不正确的是（　　） A.cos（－280°）＜0 B.sin 500°＞0 C.sin（－）＜0 D.cos＞0 解析：A　∵－280°＝－360°＋80°，∴－280°是第一象限角，∴cos（－280°）＞0；∵500°＝360°＋140°，∴500°是第二象限角，∴sin 500°＞0；∵－＝－2π＋，∴－是第三象限角，∴sin（－）＜0；∵＝4π＋，∴是第一象限角，∴cos＞0. 4.y＝的定义域为：[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z），单调递增区间为［2kπ，2kπ＋］（k∈Z）. 解析：∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ（k∈Z）；当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增.∴其单调递增区间为［2kπ，2kπ＋］（k∈Z）. 5.y＝cos x＋1的最大值为，最小值为. 解析：因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x≤，所以≤cos x＋1≤，故y＝cos x＋1的最大值为，最小值为. 1.若－＜α＜0，则点Q（sin α，cos α）所在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　因为－＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0，所以点Q（sin α，cos α）在第二象限. 2.函数y＝2－sin x取最大值时，y，x的值分别为（　　） A.y＝3，x＝ B.y＝1，x＝＋2kπ（k∈Z） C.y＝3，x＝－＋2kπ（k∈Z） D.y＝3，x＝＋2kπ（k∈Z） 解析：C　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ（k∈Z）时，y取得最大值3. 3.已知角A，B是△ABC的两个内角，则点P（cos A，cos B）（　　） A.不可能在第一象限 B.不可能在第二象限 C.不可能在第三象限 D.不可能在第四象限 解析：C　当角A，B是锐角时，cos A＞0，cos B＞0，点P在第一象限，则A错误；当角A是钝角，角B是锐角时，cos A＜0，cos B＞0，点P在第二象限，则B错误；因三角形最多有一个钝角，故cos A与cos B不可能同时小于0，即点P不可能在第三象限，则C正确；当角A是锐角，角B是钝角时，cos A＞0，cos B＜0，点P在第四象限，则D错误.故选C. 4.下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是（　　） A.[0，π] B.［，］ C.［－，］ D.[π，2π] 解析：C　y＝sin x在［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上单调递增，所以使函数y＝sin x为增函数的是［－，］. 5.〔多选〕给出下列各三角函数值：①sin（－100°）；②cos（－220°）；③cos 2；④cos 1.其中符号为负的是（　　） A.① B.② C.③ D.④ 解析：ABC　对①：因为－100°为第三象限角，所以sin（－100°）＜0；对②：因为－220°为第二象限角，所以cos（－220°）＜0；对③：因为2弧度角为第二象限角，所以cos 2＜0；对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos 1＞0；故选A、B、C. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.y＝｜sin x｜的定义域为R B.y＝3sin x＋1的最小值为1 C.y＝－sin x为周期函数 D.y＝sin x－1的单调递增区间为［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） 解析：AC　对于B，y＝3sin x＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sin x－1的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z，故B、D错误，A、C正确. 7.函数y＝lg的定义域为（－＋2kπ，＋2kπ），k∈Z. 解析：要使函数y＝lg有意义，需cos x－＞0，即cos x＞.∴－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z. 8.函数y＝1＋sin α，α∈的单调递增区间是. 解析：如图，y＝1＋sin α在上单调递增，故单调递增区间为. 9.cos 0，cos ，cos ，cos 1，cos π的大小关系为　cos 0＞cos ＞cos ＞cos 1＞cos π. 解析：∵0＜＜＜1＜π，而y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，∴cos 0＞cos ＞cos ＞cos 1＞cos π. 10.求下列函数的值域： （1）y＝sin x，x∈； （2）y＝－2cos x，x∈. 解：（1）函数y＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又sin ＝1，sin＝－，sin ＝， 故函数y＝sin x的值域为. （2）函数y＝cos x在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又cos π＝－1，cos ＝，cos ＝－， 故函数y＝cos x的值域为. 所以函数y＝－2cos x的值域为（－，2]. 11.设α是第三象限角，且｜cos ｜＝－cos ，则所在象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：B　因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z.所以kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，所以在第二、四象限.又因为｜cos ｜＝－cos ，所以cos ＜0.所以在第二象限. 12.若函数y＝sin x和y＝cos x在区间D上都单调递增，则区间D可以是（　　） A.（0，） B.（，π） C.（π，） D.（，2π） 解析：D　函数y＝sin x和y＝cos x在区间D上都单调递增，则区间D为（2kπ＋，2kπ＋2π），k∈Z，当k＝0时即选项D. 13.已知（）sin θ＜1，且2cos θ＜1，则θ是第二象限角. 解析：由（）sin θ＜1，即（）sin θ＜（）0，得sin θ＞0　①；由2cos θ＜1，即2cos θ＜20，得cos θ＜0　②.由①②可知θ是第二象限角. 14.利用单位圆，写出满足下列条件的角α的集合： （1）sin α≥； （2）cos α≤. 解：（1）由图1知当sin α≥时，角α满足的集合为{α｜＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}. （2）由图2知当cos α≤时，角α满足的集合为{α｜＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z}. 15.〔多选〕函数y＝＋的值可能为（　　） A.－1 B.0 C.－2 D.2 解析：BCD　当x是第一象限角时，可得y＝＋＝1＋1＝2；当x是第二象限角时，可得y＝＋＝1－1＝0；当x是第三象限角时，可得y＝＋＝－1－1＝－2；当x是第四象限角时，可得y＝＋＝－1＋1＝0，故函数y＝＋的值域是{－2，0，2}.故选B、C、D. 16.已知函数f（x）＝. （1）判定函数f（x）是否为周期函数； （2）求函数f（x）的单调递增区间； （3）当x∈（－，］时，求f（x）的值域. 解：（1）函数f（x）的定义域是R. 因为f（x＋2π）＝＝＝f（x），所以f（x）是周期函数. （2）由正弦函数的基本性质，可知在区间［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）上，函数y＝sin x单调递增，而此时函数h（x）＝2－sin x单调递减，从而可知此时函数f（x）单调递增，故可知函数f（x）的单调递增区间为［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）. （3）设t＝sin x（x∈（－，］）， 则t∈（－，1］，所以1≤2－t＜， 则＜≤1.故f（x）的值域为（，1］. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $