第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 课标要求 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义（数学抽象、直观想象）. 2.能利用定义解决相关问题（数学运算、直观想象）. 　　如图所示是某游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，按逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒. 【问题】　若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　锐角的正弦函数和余弦函数 对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P（u，v），过点P向x轴作垂线，垂足为M.在Rt△OMP中，OP＝1，OM＝u，MP＝v，有sin α＝＝＝v，cos α＝＝＝u. 由此可知，对于锐角α来说，点P的　纵坐标v　是该角的正弦值；点P的　横坐标u　是该角的余弦值. 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标（u，v）与之对应，在弧度意义下，α∈（ 0，），称v＝　sin α　为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数. 知识点二　任意角的正弦函数和余弦函数 1.单位圆中的任意角的正弦与余弦函数定义：如图，给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P（u，v），点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，于是在弧度意义下，对于α∈R，称　v＝sin α　为任意角α的正弦函数，　u＝cos α　为任意角α的余弦函数. 2.任意角的终边上任一点的正弦和余弦函数的定义：设角α终边上除原点外的一点Q（x，y），则sin α＝　　，cos α＝　　，其中r＝. 【想一想】 1.什么是单位圆？ 提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆. 2.对于确定的角α，其正弦值与余弦值会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：不会.正弦函数、余弦函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标（坐标的比值）为函数值的函数；正弦函数值和余弦函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定. 3.根据任意角正弦函数、余弦函数的定义，终边相同的角的正弦函数、余弦函数有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是第二象限角，且P（u，v）是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－u.（　×　） （2）sin α表示sin 与α的乘积.（　×　） （3）同一个正弦函数值和余弦函数值分别能找到无数个角与之对应.（　√　） （4）设角α终边上的点P（x，y），r＝｜OP｜≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大.（　×　） 2.已知角α的终边与单位圆的交点为P，则cos α＝（　　） A.　　　B.－　　　C.－　　　D. 答案：A 3.已知角α的终边经过点，则sin α＝，cos α＝－. 题型一｜单位圆中三角函数定义的应用 【例1】　在平面直角坐标系内的单位圆中，α＝. （1）画出角α； 解：因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同.以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示. （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：由（1）知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：由（2）及正、余弦函数的定义可得 sin ＝，cos ＝－. 通性通法 　　首先求出角的终边与单位圆交点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义求解. 【跟踪训练】 在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π. （1）画出角α； 解：因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示. （2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； 解：因为α＝－π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M， 则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1， 由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝， 所以得点P的坐标为. （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解：根据正弦、余弦函数的定义，得sin＝－，cos＝. 题型二｜已知角的终边上一点求正、余弦函数值 【例2】　若角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），则sin θ＋cos θ＝±. 解析：∵角θ的终边过点P（－4a，3a）（a≠0），∴x＝－4a，y＝3a，r＝5｜a｜.当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝＋＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝＋＝.故sin θ＋cos θ＝±. 通性通法 已知角α终边上一点求正、余弦函数值的方法 （1）若已知角α终边上一点P（x，y）是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x； （2）若已知角α终边上一点P（x，y）（x2＋y2≠0）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，先求r＝，则sin α＝，cos α＝. 【跟踪训练】 1.已知角α的终边上一点P0（－3，－4），则sin α＝－，cos α＝－. 解析：因为点P0（－3，－4）在角α的终边上，所以x＝－3，y＝－4，则r＝｜OP0｜＝＝5（O为坐标原点），则sin α＝＝－，cos α＝＝－. 2.已知角α的终边上一点P（m，），且cos α＝，则m＝，sin α＝. 解析：由题意得x＝m，y＝，∴r＝｜OP｜＝，∴cos α＝＝＝，显然m＞0，解得m＝，∴sin α＝＝＝. 题型三｜已知角的终边在某一直线上，求正、余弦函数值 【例3】　已知角α的终边落在直线y＝－x上，求sin α，cos α的值. 解：因y＝－x经过第二、第四象限.在第二象限取直线上的一点P0（－1，），则r＝｜OP0｜＝＝2（O为坐标原点）， 所以sin α＝，cos α＝－； 在第四象限取直线上的一点P1（1，－）， 则r＝｜OP1｜＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝. 综上，sin α＝，cos α＝－或sin α＝－， cos α＝. 通性通法 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，应分两种情况处理. 【跟踪训练】 已知角α的终边落在射线y＝2x（x≥0）上，求sin α，cos α的值. 解：设点P（a，2a）是角α终边上任意一点，其中a＞0.因为r＝｜OP｜＝＝a（O为坐标原点），所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝. 1.已知角α的终边与单位圆交于点（－，－），则sin α＝（　　） A.－　　　B.－　　　C.　　　D. 解析：B　根据三角函数的定义可知sin α＝y＝－. 2.已知角α的终边上有一点P（－7，24），则sin α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　因为角α的终边上有一点P（－7，24），所以sin α＝＝.故选C. 3.若cos α＝－，且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x＝（　　） A.2 B.±2 C.－2 D.－2 解析：D　r＝，由题意得x＜0且＝－，所以x＝－2.故选D. 4.已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＝或－. 解析：由已知得角α的终边在第一或第三象限，当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取一点P（1，1），则x＝1，y＝1，r＝，所以sin α＝＝＝；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取一点P1（－1，－1），则x＝－1，y＝－1，r＝，所以sin α＝＝＝－.综上可知，sin α＝或sin α＝－. 1.已知角α的终边与单位圆相交于点M，则sin α＝（　　） A.　　　　　　　　　B. C.－ D.－ 解析：B　由任意角三角函数的定义知sin α＝y＝. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（　　） A.（cos θ，sin θ） B.（－cos θ，sin θ） C.（sin θ，cos θ） D.（－sin θ，cos θ） 解析：A　由题意可知，点P的横坐标为cos θ，纵坐标为sin θ，故点P的坐标为（cos θ，sin θ）. 3.已知角α的终边经过点P（2，－1），则sin α＋cos α＝（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：C　因为角α的终边经过点P（2，－1），r＝＝，于是有sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α＋cos α＝－＋＝. 4.已知角α的终边经过点P（m，－6），且cos α＝－，则m＝（　　） A.8 B.－8 C.4 D.－4 解析：B　由题意得r＝｜OP｜＝＝，故cos α＝＝－，解得m＝－8. 5.〔多选〕若角α的终边过点P（－3，－2），则（　　） A.sin α＜0 B.cos α＜0 C.sin αcos α＞0 D.sin αcos α＜0 解析：ABC　由P（－3，－2），可得r＝，sin α＝－＜0，cos α＝＜0，所以sin αcos α＞0.故A、B、C正确. 6.〔多选〕若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α的可能取值为（　　） A. B.－ C. D.－ 解析：CD　设角α的终边y＝－2x上一点（a，－2a），当a＞0时，则r＝a，此时sin α＝＝－，当a＜0时，则r＝－a，此时sin α＝＝，故选C、D. 7.已知角α的终边与单位圆相交于一点P（－，－），则cos α＝－. 解析：由三角函数的定义可知，cos α＝x＝－. 8.已知角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，则sin α＋sin β＝0. 解析：因为角α的终边上一点P与点A（－1，2）关于y轴对称，所以P（1，2）.因为角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称，所以Q（1，－2）.由正弦函数、余弦函数的定义可知sin α＝，sin β＝－，所以sin α＋sin β＝－＝0. 9.若角α终边上一点P（a，9）在函数y＝3x的图象上，则a＝2，sin α＋cos α＝. 解析：由题意知，3a＝9，∴a＝2，∴r＝＝，∴sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，∴sin α＋cos α＝＋＝. 10.已知角α的终边上一点P（－，y），y≠0，且sin α＝y，求cos α的值. 解：由sin α＝＝y，得y2＝5，所以y＝±. 当y＝时，cos α＝＝－， 当y＝－时，cos α＝＝－. 所以cos α＝－. 11.〔多选〕若cos α＝－，则下列各点是角α终边上的点的是（　　） A.（－，） B.（－，－） C.（，－） D.（－，） 解析：AB　设点P（x，y）是角α终边上的点，则cos α＝，结合选项选A、B. 12.以原点为圆心的单位圆上一点P从（1，0）出发，沿逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为（　　） A. B. C. D. 解析：D　设单位圆的半径为r，点P运动所形成的圆弧的长为l，则r＝1，l＝，所以对应的圆心角α＝＝＝2π＋.所以点Q在第一象限，设Q（x，y），由任意角的三角函数定义，可得x＝cos＝，y＝sin＝.所以点Q的坐标为. 13.若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且｜OP｜＝，则m－n＝2. 解析：∵y＝3x且sin α＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，∴m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝＝｜m｜＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2. 14.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－x上，求sin α－3cos α的值. 解：当角α的终边在射线y＝－x（x＞0）上时，取终边上一点P（4，－3）， 所以点P到坐标原点的距离r＝｜OP｜＝5， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝， 所以sin α－3cos α＝－－＝－3， 当角α的终边在射线y＝－x（x＜0）上时，取终边上一点P'（－4，3）， 所以点P'到坐标原点的距离r＝｜OP'｜＝5， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－， 所以sin α－3cos α＝－3×＝3. 所以sin α－3cos α＝±3. 15.设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.非等腰的直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：B　由正弦函数和余弦函数的定义及单位圆的性质易知，若A为锐角，则sin A＋cos A＞1；若A为直角，则sin A＋cos A＝1.而本题中sin A＋cos A＝＜1，从而A必为钝角.故△ABC是钝角三角形. 16.函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得的图象过定点P，且角α的终边过点P，求sin α＋2cos α的值. 解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到y＝loga（x－3）＋2（a＞0且a≠1）的图象，∴P（4，2）.又角α的终边过点P，∴sin α＝＝，cos α＝＝，则sin α＋2cos α＝＋2×＝. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $