第1章 3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

3.1　弧度概念　3.2　弧度与角度的换算 课标要求 1.了解弧度制的概念，能进行角度与弧度之间的互化（数学抽象、数学运算）. 2.理解1弧度的角的定义，体会引入弧度制的必要性（数学抽象）. 3.掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式（数学运算）. 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算. 【问题】　按照上述定义30°是多少弧度？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　弧度制与角度制 1.度量角的两种制度 角度制 定义 用度作为单位来度量角的方法 1度的角 1度的角等于周角的　　，记作1° 弧度制 定义 以　弧度　作为单位来度量角的方法 1弧度的角 在单位圆中，把　长度等于1　的弧所对的圆心角称为1弧度的角，1弧度记作1 rad（rad可省略不写） 2.弧度数的计算 3.弧度与角度的换算 　　提醒：（1）用弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可；（2）不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值. 【想一想】 1.一个角的度数是否对应一个弧度数？ 提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的. 2.在半径大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？ 提示：不相等.这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在半径大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同. 知识点二　扇形的弧长和面积公式 　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则 （1）弧长公式：l＝　αr　； （2）扇形面积公式：S＝　lr　＝　αr2　. 　　提醒：在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.（　√　） （2）1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.（　√　） （3）扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝rα＝1×30＝30（cm）.（　×　） 2.〔多选〕下列转化结果正确的是（　　） A.60°化成弧度是 B.－π化成度是－600° C.－150°化成弧度是－π D.化成度是15° 答案：ABD 3.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为6π. 解析：扇形的面积为S＝αr2＝×62×＝6π. 题型一｜角度制与弧度制的互化 【例1】　（1）将下列各角度化为弧度： ①112°30'；②－315°. 解：①因为1°＝ rad， 所以112°30'＝112.5× rad＝ rad. ②－315°＝－315× rad＝－ rad. （2）将下列各弧度化为角度： ①－；②. 解：①因为1 rad＝， 所以－＝－×＝－75°. ②＝×＝1 140°. 通性通法 角度制与弧度制互化的原则和方法 （1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝进行换算； （2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n°，则α rad＝α·；n°＝n· rad. 【跟踪训练】 1.把下列角度化为弧度： （1）－300°＝－； 解析：－300°＝－300×＝－. （2）22°30'＝. 解析：22°30'＝22.5°＝22.5×＝. 2.把下列弧度化为角度： （1）＝690°； 解析：＝×＝690°. （2）－＝－40°. 解析：－＝－×＝－40°. 题型二｜用弧度制表示角的集合 【例2】　把下列角化成2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合. （1）－； 解：－＝－8×2π＋，它是第二象限角，与终边相同的角的集合为. （2）－1 485°. 解：－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋， 它是第四象限角，与终边相同的角的集合为. 通性通法 弧度制下与角α终边相同的角的表示 　　在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β｜β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍. 提醒：（1）角度与弧度不能混用； （2）在任意角范围内，表示终边相同的角需加2kπ，k∈Z. 【跟踪训练】 　用弧度制表示与150°角终边相同的角α的集合为. 解析：150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为. 题型三｜扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】　已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l cm，半径为R cm， 依题意有 ①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad＞2π rad舍去. 当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝（rad）. 综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad. 【母题探究】 （变条件，变设问）已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？ 解：设扇形圆心角的弧度数为θ（0＜θ＜2π），弧长为l，半径为r，面积为S， 则l＋2r＝4，所以l＝4－2r， 所以S＝l·r＝×（4－2r）×r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此，θ＝＝＝2（rad）. 通性通法 扇形的弧长和面积的求解策略 （1）记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2（其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π）； （2）找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解. 【跟踪训练】 　已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积. 解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm， 则弧长l＝α·r＝×10＝（cm）， 于是面积S＝lr＝××10＝（cm2）. 1.1 920°转化为弧度数是（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　1 920°＝1 920×＝. 2.将弧度化成角度为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　 rad＝×＝120°.故选C. 3.若α＝－2 rad，则α的终边在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 4.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为（　　） A.π B.－π C.π D.－π 解析：B　显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π. 5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为. 解析：由题意可知所以 所以S＝lr＝. 1.－120°化为弧度为（　　） A.－π 　B.－　　　C.－π　 　D.－π 解析：C　由于1°＝ rad，所以－120°＝－120×＝－，故选C. 2.角终边所在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　＝2π＋，是第一象限角，故是第一象限角. 3.集合中角所表示的范围（阴影部分）是（　　） 解析：C　k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分（包含边界），k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分（包含边界）.故选C. 4.如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为（　　） A.R B.R C.R D.2R 解析：C　设所对的圆心角为α.则由题意，得αR＝，所以α＝，所以AB＝2Rsin＝2Rsin ＝2R×＝R，故选C. 5.〔多选〕与终边相同的角的表达式中，正确的是（　　） A.45°＋2kπ，k∈Z B.k·360°＋，k∈Z C.k·360°＋45°，k∈Z D.2kπ－π，k∈Z 解析：CD　弧度和角度不能在同一个表达式中，A、B错误；与终边相同的角的集合是{α｜α＝2kπ＋，k∈Z}＝{α｜α＝m·360°＋45°，m∈Z}，经验证，C、D正确. 6.〔多选〕若2π＜α＜4π，且角α的终边与角－π的终边垂直，则α＝（　　） A.π B.π C.π D.π 解析：AC　与角－π的终边垂直的角可分为两类：一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）；另一类是与角的终边相同，其表示形式为＋2kπ（k∈Z）.故当α∈（2π，4π）时，满足条件的角α可以是π或π，故选A、C. 7.－105°化为弧度为－π，化为角度为660°. 解析：－105°＝－105×＝－π，π＝π×＝660°. 8.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的3倍. 解析：设圆的半径为r，弧长为l，其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍. 9.已知集合A＝{x｜2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{x｜－4≤x≤4}，则A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]. 解析：当k＝0时，A＝{x｜0≤x≤π}，此时A∩B＝{x｜0≤x≤π}；当k＝－1时，A＝{x｜－2π≤x≤－π}，此时A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}；当k≤－2或k≥1时，A∩B＝∅.综上可得A∩B＝{x｜－4≤x≤－π}∪{x｜0≤x≤π}. 10.已知角α＝－920°. （1）把角α写成2kπ＋β（0≤β＜2π，k∈Z）的形式，并确定角α的终边所在的象限； （2）若角γ与α的终边相同，且γ∈（－4π，－3π），求角γ. 解：（1）因为α＝－920°＝－3×360°＋160°，160°＝，所以α＝－920°＝（－3）×2π＋. 因为角α与终边相同，所以角α的终边在第二象限. （2）因为角γ与α的终边相同， 所以设γ＝2kπ＋（k∈Z）. 因为γ∈（－4π，－3π）， 由－4π＜2kπ＋＜－3π，可得－＜k＜－. 又因为k∈Z，所以k＝－2. 所以γ＝－4π＋＝－. 11.在如图所示的单位圆O中，当∠BOC的取值范围为（0，π）时，∠BOC的“古典正弦”为弦BC的长.根据以上信息，当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为（　　） A.2 B. C.2sin 　D.sin 2 解析：B　由题意可得OB＝OC＝1，由弧长与半径的比值等于圆心角，可得当∠BOC所对的的长为时，∠BOC＝，所以由勾股定理可得BC＝，即当∠BOC所对的的长为时，∠BOC的“古典正弦”为，故选B. 12.〔多选〕如图，A，B是单位圆上的两个点，点B的坐标为（1，0），∠xOA＝，点A以1 rad/s的角速度、点B以2 rad/s的角速度均按逆时针方向开始在单位圆上运动，则（　　） A.1 s时，∠BOA的弧度数为＋3 B. s时，扇形AOB的弧长为 C. s时，扇形AOB的面积为 D. s时，点A、点B在单位圆上第一次重合 解析：BC　1 s时，点A按逆时针方向运动1 rad，点B按逆时针方向运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为－1，A不正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，B正确； s时，∠BOA的弧度数为＋－2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，C正确；设t s时，点A、点B在单位圆上第一次重合，则t＋＝2t，解得t＝，D不正确. 13.扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为2∶3. 解析：如图，设内切圆半径为r，则r＝，所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，所以＝. 14.在一块顶角为，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案. （1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； （2）比较两种方案中扇形面积的大小. 解：（1）∵△OAB是顶角为，腰长为2的等腰三角形，∴A＝B＝，OM＝ON＝1. 方案一中扇形的周长L1＝2＋2＋2×＝4＋， 方案二中扇形的周长L2＝1＋1＋1×＝2＋， ∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为＝2－. （2）方案一中扇形的面积S1＝××22＝， 方案二中扇形的面积S2＝××12＝， ∴S1＝S2，即两种方案中扇形的面积相等. 15.斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD（＝）中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记，，的长度分别为l，m，n，则l＝m＋n（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：不妨设AB＝－1，则BC＝2，所以l＝＝×（－1），ED＝2－（－1）＝3－，所以m＝＝×（3－），CG＝－1－（3－）＝2－4，所以n＝＝×（2－4）＝（－2）π，所以m＋n＝×（3－）＋×（2－4）＝×（－1）＝l. 16.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角的弧度数为，矢为2时，求“弧田”（如图阴影部分所示）的面积； （2）已知该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，扇形周长是一定值c（c＞0），当α为多少弧度时，该扇形面积最大？ 解：（1）依题意，如图所示，其中CD＝2，∠AOB＝， 令圆弧的半径为R， 所以OD＝Rcos＝，即CD＝OC－OD＝R－＝2，解得R＝4， 所以“弧田”面积S＝S扇形OACB－S△AOB＝πR2－·OD·AB. 又AB＝2Rsin＝R，所以S＝－4. （2）由题意知弧长ACB为αr，即该扇形周长为αr＋2r＝c， 扇形面积S＝r2， 所以S＝＝≤＝，当且仅当α＝，即α＝2时，等号成立，故当α为2弧度时，该扇形面积最大. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $